Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika
.pdf334 |
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА |
[ГЛ. IX |
тельно нее — абсолютным. В формуле (63.1) речь идет об ускорении при абсолютном движении именно в таком смысле. Не следует вкладывать в понятия «неподвижная система отсчета» и «абсолют ное движение» что-либо большее по сравнению с тем, что содер жится в приведенном определении. Оба понятия чисто условны и не противоречат утверждению, что всякое движение относительно. Тело, покоящееся в движущейся системе отсчета, увлекается по следней в ее движении относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение тела называется переносным. Абсолютное движение тела складывается из его относительного и переносного движений.
Цель настоящей главы — изучить относительное движение. Для этого прежде всего следует установить уравнения относитель ного движения. Под уравнениями дви жения мы понимаем соотношения, которыми определяются ускорения всех материальных точек механической си стемы в той системе отсчета, отно сительно которой рассматривается движение. Когда система отсчета дви жется относительно неподвижной си стемы отсчета прямолинейно и равно мерно, она сама является инерциаль ной системой отсчета. В этом случае
Рис. 182. уравнения относительного движения совпадают с уравнениями абсолют ного движения, т. е. даются законами Ньютона. Поэтому достаточно
ограничиться рассмотрением только тех случаев, когда рассмат риваемая система отсчета движется относительно неподвижной
системы отсчета |
с |
ускорением. |
|
3. Возьмем |
две |
системы отсчета: неподвижную систему |
5 Х |
с началом координат в точке 0Х и движущуюся систему S с началом |
|||
координат в точке О (рис. 182). Обозначим /?„ радиус-вектор |
ОхО, |
||
проведенный из неподвижного начала 0\ к движущемуся началу О.
Пусть М — какая-либо |
материальная точка. Ее положение |
в |
не |
|||
подвижной |
системе отсчета определяется |
радиусом-вектором |
R, |
|||
а |
в движущейся — радиусом-вектором г = |
ОМ. Векторы R, |
R0, |
г |
||
в |
каждый |
момент времени связаны соотношением |
|
|
||
|
|
|
R = R0+r. |
|
(63.2) |
|
Дважды дифференцируя |
это соотношение по времени, получим |
|
||||
|
|
|
R = R0+r, |
|
(63.3) |
|
|
|
|
R = R0 + r. |
|
(63.4) |
|
Чтобы лучше выявить идейную сторону вопроса, рассмотрим сначала частный случай, когда система 5 движется относительно
§ 6 3 ] |
ПОСТУПАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА |
|
335 |
||
неподвижной системы 5 Х поступательно. |
Вектор R, |
очевидно, |
|||
всегда |
дает абсолютную скорость ©а б с , а |
вектор R — абсолютное |
|||
ускорение а а б с движущейся точки М. Вектор |
v0 = R0 |
есть абсо |
|||
лютная |
скорость, а а0 = R0 — абсолютное |
ускорение |
начала |
||
координат О системы S. При поступательном движении |
э т и вели |
||||
чины совпадают соответственно со скоростью и ускорением |
любой |
||||
точки системы S. Таким образом, v0 и а0 должны быть интерпре тированы как переносные скорость и ускорение. Точно так же при поступательном движении г я г дают соответственно относительную скорость и относительное ускорение, т. е. значения этих величин в движущейся системе отсчета S. Итак, при поступательном дви жении
Яабс = |
»отн + |
Япер. |
(63.5) |
й а б € = |
Оотн + |
Опер. |
(63.6) |
причем д п е р = а6, ©пер = «„.
4. Подставим теперь выражение (63.6) в уравнение (63.1) и
перенесем член, содержащий а п е р , в правую часть. |
Получим |
maO7a = F—ma0. |
(63.7) |
Это и есть уравнение относительного движения материальной точки. На правую часть этого уравнения формально можно смот реть как на некоторую «Силу», действующую на материальную точку в Движущейся системе отсчета. Таким образом, в каждой системе отсчета сила определяется как вектор, равный произведе нию массы материальной точки на ее ускорение в этой системе отсчета. Не обязательно, чтобы «сила» в Т а к о м смысле была резуль татом взаимодействия тел. Однако необходимо располагать каким- т о независимым способом, позволяющим выразить «силу» через координаты и скорости движущейся точки. Только при этом усло в и и мы в состоянии написать уравнение движения типа (63.7), а к этому в конце концов сводится реальное содержание законов механики.
«Сила» F — nta0 слагается Из двух существенно различных составляющих. Первая составляющая F есть «настоящая сила» в том смысле, что она является результатом взаимодействия тел. Она зависит Т о л ь к о от разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих материальных точек. В нерелятивистской кине матике все эти разности не меняются при переходе о т одной системы отсчета к другой, произвольно движущейся системе. Поэтому не меняется и сила F. Она инвариантна относительно такого пере хода.
Совсем иной характер имеет составляющая |
та0- Эта состав |
|
ляющая Возникает не из-за взаимодействия тел, а |
из-за ускорен-' |
|
ного движения системы отсчета. Она называется |
силой инерции, |
|
336 |
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА |
[ГЛ. IX |
точнее поступательной силой инерции, поскольку сейчас мы огра ничиваемся лишь поступательными движениями систем отсчета. При переходе к другой ускоренной системе отсчета меняются и силы инерции. Они не инвариантны относительно такого перехода. Этим силы инерции отличаются от «настоящих сил», возникающих при взаимодействии тел. Второе отличие состоит в том, что силы инерции не подчиняются закону равенства действия и противодей ствия. Если на какое-либо тело действует сила инерции, то не существует противодействующей силы, приложенной к другому телу. Движение тел под действием сил инерции аналогично, таким образом, движению во внешних силовых полях. Силы инерции всегда являются внешними по отношению к любой движущейся системе материальных тел.
5. Реальны или фиктивны силы инерции? Ответ на этот вопрос зависит от смысла, который вкладывается в слова «реальный» и «фиктивный». Если придерживаться ньютоновской механики, согласно которой все силы должны быть результатом взаимодей ствия тел, то на силы инерции надо смотреть как на фиктивные силы, исчезающие в инерциальных системах отсчета. Однако такая точка зрения не обязательна. Все взаимодействия осуществляются посредством силовых полей и передаются с конечными скоростями. И на силы инерции можно смотреть как на действия, которым под вергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей. Правда, эти поля определенным образом преобразуются при пере ходе от рассматриваемой системы отсчета к другой системе, движу щейся относительно нее ускоренно. Но это не является основанием считать эти силы фиктивными. Ведь электрические и магнитные силы также преобразуются при переходе к другой системе отсчета (даже от инерциальной к инерциальной). И тем не менее никто не сомневается в реальном существовании электромагнитных полей.
Независимо от того, какую из этих точек зрения мы примем, существует много явлений, которые могут быть интерпретированы как проявление сил инерции. Когда поезд набирает скорость, пас сажир в вагоне испытывает действие силы, направленной против движения поезда. Если пассажир сидит по ходу поезда, то эта сила прижимает его к спинке сиденья. Это и есть сила инерции. При торможении поезда сила инерции меняет направление и стре мится отделить тело пассажира от стенки сиденья. Если в ускоренно движущемся вагоне висит маятник, то сила инерции стремится отклонить его в сторону, противоположную ускорению. В состоя нии равновесия сила инерции уравновешивается силами тяжести и натяжением нити подвеса. Особо заметно проявляются силы инерции при внезапном быстром торможении поезда. Силы инерции вызывают перегрузки, действующие на летчика или космонавта при больших ускорениях самолета или при запуске и торможении космического корабля.
§ 6 4 ] |
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА |
337 |
Конечно, все эти явления можно понять, не пользуясь представ лением о силах инерции, а рассматривая движения относительно инерциальной системы отсчета. Так, в примере с маятником маят ник движется ускоренно относительно инерциальной системы отсчета.
Маятник должен отклониться назад, чтобы возникла сила натяжения с горизонтальной составляющей, направленной вперед. Эта составляющая и сообщает маятнику ускорение. Однако во мно гих случаях бывает проще рассматривать явления непосредственно
вдвижущейся системе отсчета, не переходя к инерциальной. Кроме того, иногда затруднительно разделить полную силу, действующую
внеинерциальной системе отсчета, на «реальную» силу, возникаю щую из-за взаимодействия тел, и «фиктивную» силу инерции, свя
занную с ускоренным движением системы отсчета.
§ 64. Силы инерции при произвольном ускоренном движении системы отсчета
1. Допустим теперь, что система отсчета S (см. рис. 182) дви жется относительно неподвижной системы Sx совершенно произ вольно. Это движение можно разложить на два: поступательное движение со скоростью ©0, равной скорости движения начала коор динат О, и вращательное движение вокруг мгновенной оси, прохо дящей через это начало. Угловую скорость этого вращения обозна чим to. Она может меняться как по величине, так и по направлению. Пусть /, j , k — единичные векторы (орты) координатных осей системы координат S, которую мы будем предполагать прямоуголь ной. Длины этих векторов, поскольку они единичные, остаются неизменными. Но их направления с течением времени могут изме няться. Это — переменные векторы. Каждый из них вращается с угловой скоростью со. Их производные по времени определяются формулами (46.11). Выпишем эти формулы еще раз:
* = [«/], I [ < о / | , - £ = [ * * ] . (64.1)
Ход рассуждений остается в точности таким же, как и в преды дущем параграфе. Усложняются только вычисления. Формулы (63.2), (63.3) и (63.4), разумеется, остаются без изменения. Остается
неизменной |
и интерпретация |
слагаемых R0 и R0. |
Первое |
есть |
|
абсолютная |
скорость |
©„, а |
второе — абсолютное |
ускорение |
а0 |
начала координат О. |
Меняются только слагаемые г |
и г, которые |
|||
мы и должны найти.
2. Пусть х, у, z — координаты движущейся точки М в движу щейся системе S. Тогда
(64.2)
340 ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА [ГЛ. IX
направленные вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соот ветственно. Так как [агц] = 0, то
|
а ц = |
[ю[(о,-]] = [(»[(о,-1]]. |
|
|
Раскрыв |
по известной формуле двойное векторное |
произведение |
||
и приняв |
во внимание, |
что («/"jJ = 0, получим |
|
|
|
|
а ц |
= _ ю 2 / - ± . |
(64.13) |
Эта формула и доказывает |
наше утверждение. |
|
||
4. Можно было бы теперь перейти к написанию уравнения относительного движения материальной точки. Однако мы хотим еще раз на частном примере получить теорему Кориолиса. Таким путем мы лучше выясним происхождение кориолисова ускорения и других членов, из которых складывается абсолютное ускорение.
Пусть шарик М (рис. 183) движется вдоль жесткого стержня, вращающе гося вокруг неподвижной оси с угловой скоростью (о, перпендикулярной к пло
скости рисунка. Его абсолютная скорость я а д с |
|
складывается из двух взаимно |
перпендикуляр |
ных скоростей: скорости вдоль |
стержня и ско |
рости, к нему перпендикулярной. Первая есть относительная скорость в системе отсчета, в ко торой стержень покоится. Вторая возникает из-за вращения стержня и потому является переносной скоростью. Таким образом, ©a gc =
"пер> |
а потому а а б с = v0TH + *>„ ер- |
Пусть за время dt стержень повернулся на угол |
|
d(f = tadt. За то же время шарик перешел из |
|
положения М в положение М'. Найдем прира |
|
щение, которое |
претерпевает за то же время |
вектор Ч)ош. Если бы не было вращения стержня, то это |
приращение возникало |
бы только из-за неравномерности движения вдоль стержня |
и было бы равно amHdt. |
Но из-за поворота вектор г>о т н получает дополнительное приращение |
[dq> г>0 Т 1 1 ]. |
||
Полное приращение вектора г>о т н будет |
|
|
|
dv0TU |
= a0Tadt+[<Й©ОТН] |
dt. |
|
Теперь найдем приращение |
вектора г>п е р = [*>г]. |
Очевидно dvnep = |
[d<or ] + |
+ [ю dr]. Первое слагаемое возникает из-за неравномерности вращения и равно [шг] dt. Второе связано с перемещением точки М в (абсолютном) пространстве и
дается выражением [и ^ а б с ] dt = [шогн] dt + [ftK>n e p ] dt. |
Таким образом, |
||
d © n e p = [&r] dt + [etv0TB] |
dt + [юг>„ер] dt. |
||
Сложив приращения обоих векторов, vOTa |
и я>п е р, найдем |
окончательно |
|
Яабс = Я°™ + 2 [ Ю 0 0 Т Н ] + |
[«•> [ W ] ] + |
[ |
< И - |
Как ясно из вывода, в рассматриваемом случае кориолисово ускорение сла гается из двух равных членов. Первый возникает йз-за вращения вектора г>о т н вместе со стержнем. Второй появляется из-за приращения переносной скоро сти г»п е р , которое получается вследствие приближения шарика к оси вращения или удаления от нее. Очевидно, вывод применим и в том случае, когда направле ние оси вращения меняется с течением времени.
Кориолисово ускорение 2 [шг>отн] направлено перпендикулярно к вращаю щемуся стержню. Для того чтобы сообщить такое ускорение телу М, стержень
§ 64] |
ПРОИЗВОЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА |
341 |
||
должен |
оказывать на него боковое давление. Сила бокового давления равна |
|||
2т [й)г>о т н ], где т — масса тела М. В свою очередь тело |
М действует на стер |
|||
жень с |
равной и |
противоположно направленной силой |
F = 2т [г»о т н со]. Если |
|
тело удаляется от |
оси вращения (рис. 184, а), то сила F направлена противопо |
|||
ложно вращению и замедляет его. При этом стержень изгибается таким образом, что он выпуклой стороной обращен в сторону вращения, как показано пунктир ной линией. Напротив, если тело приближается к оси вращения (рис. 184, б), то сила F направлена в сторону вращения стержня. В этом случае угловая скорость
F-Zm Ротн
О
иотн
F-2m[i
«)
Рис. 184.
вращения стержня увеличивается, а сам стержень изгибается так, что в сторону вращения обращена его вогнутая сторона. В опыте со скамьей Жуковского, опи санном в § 34 (рис. 60), возникают такие же силы бокового давления, с которыми гири действуют на демонстратора, когда он приближает или удаляет их от оси вращения. Эти силы и изменяют угловую скорость вращения скамьи Жуковского вместе с демонстратором, сидящим на ней. Вообще действием таких сил объяс няются все явления, связанные с изменением угловой скорости вращения изо лированного тела при изменении его момента инерции.
5 . Обратимся теперь к написанию уравнений относительного движения. Поступим в точности так же, как в предыдущем пара графе. В уравнение (63.1) подставим выражение (64.10) и все члены перенесем в правую часть за исключением члена, содержащего относительное ускорение. Таким путем получим
ma0T„ |
= F-maK09-manep, |
(64.14) |
или более подробно |
|
|
та0ТН = F+2m |
[v0TH<a] - mv0 + /ясо |
— m [cor]. (64.15) |
К «настоящей» силе F добавились две силы инерции: так называе мая кориолисова сила
F K o p = |
—т а к о р |
= 2m [©отнсо] |
(64.16) |
и переносная сила инерции |
|
|
|
FneV = — т а п е р |
= —mvQ |
+ mcoV_|_ — m [cor]. |
(64.17) |
Разумеется, к этим силам инерции относятся все общие замечания, которые были высказаны в предыдущем параграфе применительно к силам инерции, возникающим при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
342 |
ДВИЖЕНИЕ ОТНОСИТ. НЕИНЕРЦ. СИСТЕМ ОТСЧЕТА |
[ГЛ. IX |
||
6. |
Переносная сила инерции в общем случае состоит |
из трех |
||
слагаемых. С |
первым слагаемым —mv0 мы уже |
познакомились |
||
в предыдущем |
параграфе. Это есть поступательная |
сила |
инерции, |
|
возникающая из-за ускоренного движения начала координат О. Последнее слагаемое —т [<яг] обусловлено неравномерностью вра щения системы отсчета. Оно не получило специального названия. Второе слагаемое
Fa = m&2r± |
(64.18) |
называется центробежной силой инерции или просто центробежной силой. Действию центробежной силы подвергается, например, пас сажир в движущемся автобусе на поворотах. Перегрузки, испы тываемые летчиком при выполнении фигур высшего пилотажа на больших скоростях, также в основном вызываются центробеж ными силами. Если на центробежной машине подвесить несколько шариков на нитях и привести машину в быстрое вращение, то цент робежные силы отклонят шарики от оси вращения. Угол отклонения тем больше, чем дальше шарик отстоит от оси. Центробежные силы используются в центробежных сушилках для отжима белья и в се параторах для отделения сливок от молока.
7. Центробежные силы, как и всякие силы инерции, сущест вуют лишь в ускоренно движущихся (вращающихся) системах отсчета и исчезают при переходе к инерциальным системам. Забыв это, можно прийти к парадоксам, которые часто ставят в тупик школьников. Вот один из самых распространенных парадоксов такого типа. Пусть тело движется по окружности. На него дейст вуют две силы: центростремительная Fl9 направленная к центру окружности, и центробежная F2, направленная в противополож ную сторону. Эти силы равны по величине и уравновешивают друг друга: Fx + F2 = 0. По закону инерции тело должно двигаться
прямолинейно |
и равномерно. |
Противоречие |
возникло потому, |
что движение |
стали относить к |
неподвижной |
(инерциальной) си |
стеме отсчета. А в этой системе никаких центробежных сил не суще ствует. Есть только одна центростремительная сила Fi, которая и сообщает телу ускорение. Это может быть, например, натяжение шнура, к которому привязано тело. Вводить центробежную силу можно лишь тогда, когда движение рассматривается во вращаю щейся системе отсчета. В этой системе на тело действительно дей ствует центробежная сила, и она уравновешивается центростреми тельной силой. Однако это не приводит к противоречию, так как во вращающейся системе отсчета тело покоится.
Путаница происходит из-за того, что в технической механике термин «центробежная сила» иногда употребляют в совершенно дру гом смысле. Центробежной силой называют силу реакции, с которой тело А, вращающееся по окружности, действует на тело В, принуж дающее его совершать это вращение. Равную ей и противоположно