10.5. Исследования гидродинамической устойчивости с использованием теории автоматического регулирования

В начале 60-х годов в нашей стране и за рубежом появились первые исследования устойчивости процессов парогенерации, основанные на использовании достижений теории автоматического регулирования [6, 30]. Осново-положником нового направления исследований гидродина-мической устойчивости в парогненерирующих каналах по праву следует считать И. И. Морозова. Созданная им модель первого приближения [30] впоследствии заменяется более сложными одномерными моделями потока [31, 32]. Парогенерирующий канал рассматривается как динами-ческая система с распределенными параметрами. Считается, что все нелинейности в изучаемой динамической системе линеаризованы. При исследовании устойчивости кипящих аппаратов «в малом» принята справедливость стационарных зависимостей по теплообмену и гидравлическому сопротивлению. Это допущение наиболее справедливо при изучении низкочастотной устойчивости, так как скорость изменения теплотехнических параметров при низко-частотных пульсациях мала. Принимается допущение, что на обогреваемом участке коэффициент теплообмена, истинное паросодержание, касательное напряжение, плотности жидкости и пара, энтальпии жидкости и пара зависят только от локального давления, расхода и средней энтальпии потока. При этих допущениях записываются си-

стемы уравнений движения гомогенного и двухфазного ра-бочих тел.

Для гомогенного потока рабочего тела:

уравнение неразрывности

S ∂ρ'/∂τ+∂M/∂z=0; (10.43)

уравнение энергии

Sρ' ∂i/∂τ+Μ ∂i/∂z=AS ∂р/∂τ+qΠ; (10.44)

уравнение количества движения

∂М/∂τ+∂ (М w)/ ∂z=—gS∂p/∂z—qΠτ_κ—ρgS sin θ; (10.45)

уравнение состояния

ρ'=f(p, i). (10.46)

уравнение количества движения

(10.49)

(10.47)

(10.48)

уравнение энергии

Для двухфазного потока рабочего тела: уравнение неразрывности

где М'=S(1—φ)ρ'w' — массовый расход жидкости; M"=Sφρ"w" — массовый расход пара; φ = φ(q, ρ, Μ, i). Тепловая инерционность стенки канала на нестационарном режиме учитывается дифференциальным уравнением теплопроводности

∂Т_ст/∂τ=а_стΔТ_ст+q_вп/(с_рρ)_ст (10.50)

при следующих граничных условиях третьего рода: ∂Т_ст.в/∂п= —q/λ_cт с внутренней стороны для трубчатого твэла и с внешней для стержневого; n — нормаль к поверхности твэла; ∂T_ст/∂n = q_п/λ_ст— с наружной стороны для трубчатого твэла.

Системы уравнений (10.43) — (10.46) и (10.47) — (10.49) отличаются друг от друга по структуре, что приводит к значительным усложнениям программы для ЭВМ. Для устранения этого недостатка система уравнений (10.47) — (10.49)) приводится к виду (10.43) — (10.46).

Уравнение неразрывности

S ∂ρ/∂τ+∂М/∂z=0, (10.51)

где ρ=(1— φ)ρ'+φρ"; М= S(l—φ)ρ'w'+Sφρ"w".

При условии х=М"/М и i=(l—x)i'+xi" второй член левой части уравнения энергии (10.48) преобразится следующим образом:

Использовав уравнения неразрывности и выполнив некоторые преобразования, запишем уравнение энергии в окончательном виде:

Sγ₁ + M∂i/∂z = qΠ+ AS∂p/∂z — Sæ_p∂p/∂i — Sæ_м∂M/∂τ,

(10.52) где

Если учесть выражение для массового расходного паросо-держания, то второй член левой части уравнения количества движения потока (10.49) преобразуется так:

(10.53) где

М = М' + М";

1/γ₂ = (1—х)²/[(1—φ)ρ']+х²/φρ''.

(10.54)

С учетом (10.53) запишем в окончательном виде урав-нение количества движения потока:

где τ_к=ξMw/(8gS)—касательное напряжение гидравлического трения; для двухфазной смеси

Дополнив систему уравнений (10.51) — (10.53) входными и выходными граничными условиями для парогенерирующей системы, уравнениями теплопроводности и теплообмена, получим замкнутую систему уравнений. Отыскать границы устойчивости в парогенерирующих каналах аналитическим путем можно двумя методами. Первый заключается в решении приведенных систем уравнений (10.51) — (10.53) непосредственно на ЭВМ. Но этот способ громоздкий, требует больших затрат машинного времени. Второй метод, предложенный И. И. Морозовым, основан на использовании качественной теории дифференциальных уравнений. В этом случае исследуемые нестационарные процессы представляются уравнениями возмущенного движения, т. е. уравнениями, в которых зависимые переменные являются отклонениями параметров от их стационарных значений. Используя принцип Д-разбиения и линеаризацию систем уравнений, зависимости (10.51) — (10.53) в общем случае можно записать в виде

(10.55)

где δΜ, δі, δр, δγ, δτ_κ — соответственно возмущение массы, энтальпии, давления плотности и касательного напряжения.

Из преобразованной системы уравнений (10.55) полу-чают частотные характеристики, позволяющие найти ам-плитуду и фазу колебаний расходов, давлений, энтальпий и т. п. С помощью частотных характеристик можно решать вопросы исследования устойчивости и переходных процессов.

Глава одиннадцатая

БАРБОТАЖ ПАРА

ЧЕРЕЗ СЛОЙ ЖИДКОСТИ