Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

													−2	3		5
3. Найти матрицу,							обратную к матрице						-7	-1		4 . Проверить
														-8
													9	-8		-6
выполнимость равенства							А-1×А = АА-1 = Е.
			1	38	-22			17
Ответ:			1	-6	-33 -27
Ответ:		231		-6	-33 -27
		231				11		23
				65		11		23
4. Решить систему с помощью формул Крамера и матричным методом
x1 + 2x2 - 3x3 = -3
-2x + 6x + 9x					= -11				Ответ: (4, -2,1) .
	1	2		3
-4x - 3x + 8x = -2
	1	2		3
5. Исследовать систему на совместность, найти ее решение
3x1 + 2x2 - x3 + 2x4 = -3
-x - 3x				+ 2x = -3					Ответ: система не совместна.
	1	2			4		= 0		Ответ: система не совместна.
	x		- 4x + x				= 0
	1			3	4
	x - x + 3x + 3x = 6
	1	2		3		4
								Уровень II
								2	0	3
								2	0	3
1.	Решить уравнение:							-1	7	x - 3		= 0	Ответ: {5}.
								5	-3	6
															sin2 a		cos2 a	1
															sin2 a		cos2 a	1
2.	Вычислить, используя свойства определителей														sin2 b		cos2 b	1
															sin2 g		cos2 g	1
Ответ: {0}.
								1	2	-3	4
3.	Вычислить А-1:						5		6	7	-2 .
								-1	0	1	2
								3	4	5	6


			− 1			− 1			− 61		23
					6			5		60		60

				1			3		11		− 11


				3		10			15		30
Ответ:			−		1					1		1		.
						0
									12		12
			6
			0			−	1		−	1		3

											20
						10			20
4. Найти ранг матрицы приведением к ступенчатому виду.
−2		0	8			1			−5
	3	−1	7			2			4
	−8 2		−6			−3 −13							Ответ: {3}.



11		−3	13			5			17

5.	Исследовать систему на совместность и определенность. В слу-
чае совместности, найти решение.
2x − x + x + 2x + 3x = 2
	1	2	3	4	5
6x1 − 3x2 + 2x3 + x4 + 5x5 = 3
6x − 3x + 4x + 8x + 13x = 9
	1	2	3	4	5
4x − 2x + x + x + 2x = 4
	1	2	3	4	5
Ответ: совместна и неопределенна, (с1, с2; 5 – с1 + 4с2; –3; 1 + 2 с1 – с2).
						5x + 6x − 2x + 7x + 4x = 0
							1		2	3	4	5
6.	Решить однородную систему					2x1 + 3x2 −				x3 + 4x4 + 2x5 = 0
						5x + 9x − 3x + x + 6x = 0
							1		2	3	4	5
						7x + 9x − 3x + 5x + 6x = 0
							1		2	3	4	5
Ответ: (0; с1 – 2 с2; 3с1; 0; 3с2).
					Уровень III
1. Найти ранг матрицы:
	1	n n … n						0 1		1 1

	n	2 n …		n					1 0	1		1
а)	n	n 3 … n			;	б)			1 1	0 1 .


		n n …								1
	n	n n …		n				1 1		1		0

	Ответ:					а)	n;	б)		n.
	2. Решить матричное уравнение
																			-		1		4		1

	1 -2					3		1 2				3		1		2 3					7		7
	1 -2					3		1 2				3		1		2 3					7		7
																			2					1
		2			3	-1 × X		×	4 5		6		=		4	5 6		Ответ:					-		-1
		2			3	-1 × X		×	4 5		6		=		4	5 6		Ответ:	7				-	7	-1
		0			-2				7 8		0				7	8 0			7					7
		0			-2	1			7 8		0				7	8 0				4				2
																				4			-	2
																			7				-	7	-1
																			7					7
	3. Вычислить определители приведением к треугольному виду:
					-n 1 - n 2 - n … -2 -1
					-n 1 - n 2 - n … -2 -1
				1 - n 2 - n 3 - n … -1 0																		n(n−1)
				2 - n 3 - n 4 - n							…			0 0				Ответ: (-1)				n(n−1)
	а)			2 - n 3 - n 4 - n							…			0 0			,						2 .
	а)																,						2 .

					-2		-1			0	…			0		0
					-1		0			0	…			0		0
				1 - n			1	1		… 1
				1 - n			1	1		… 1
	б)				1	1 - n		1		… 1		,						Ответ: 0.
	б)											,						Ответ: 0.

					1		1	1		… 1
	Числа 255, 391, 578 делятся на 17. Не вычисляя значение определи-
	2		5		5
	2		5		5
теля	3		9		1	доказать, что он тоже делится на 17.
	5		7		8
	4. Исследовать систему на совместность и определенность.
							x1 + x2 + ... + xn = n - 2
							x + x			+ ... + x			= n - 3
							1	3				n
Найти решение							x + x			+ x	+ ... + x				= n - 3
							1	2		4				n
							....................................
										+ ... + x				= n - 3
							x + x			+ ... + x				= n - 3
							1	2				n−1

Ответ: система совместна и определенна, единственное решение

(-1;1;1;...;1) .

ГЛОССАРИЙ

Матрица

–

прямоугольная

прямоугольная таблица из

m× n

элементов,

таблица порядка

m × n,

где первое число m равно числу строк, а n –

обозначаемая

числу столбцов матрицы

А; кратко матрица А

a11

a12 ...

a1n

обозначается Amn = (aij )

...

A = 21

...

... ...

...

am2 ...

am1

amn

числа

aij ,

из которых состоит матрица; ин-

Элементы матрицы

дексы определяют положение элемента в таб-

лице: первый индекс –

число строк; второй ин-

декс –

число столбцов

Квадратная матрица поряд-

матрица, число строк которой равно числу ее

ка n

столбцов и равно числу n

Главная

диагональ

квад-

образуется элементами с одинаковыми индек-

ратной матрицы

сами

а11, а22, …, ann.

квадратная матрица, элементы которой, симмет-

Симметричная матрица

ричные относительно главной диагонали, равны

aij = a ji , i = 1, 2,..., m;

j = 1, 2,..., n .

квадратная матрица, на главной диагонали кото-

Единичная матрица (Е)

рой стоят единицы, а остальные элементы нуле-

вые

Произведение матрицы Amхn

матрица Cmk (порядка m × k), элементы кото-

рой вычисляются по формуле

(порядка m × n) на матрицу

Cij = ai1 × b1 j + ai2 ×b2 j + ... + ain × bnj ,

Bnхk (порядка n × k)

i = 1, 2,..., m;

j = 1, 2,..., k

Определитель

квадратной

число, которое ставится в соответствие матри-

матрицы

це А и вычисляется по ее элементам

величина A = (−1)i + j

, где M

– определи-

Алгебраическое

дополнение

тель порядка (n – 1),

полученный вычеркива-

Aij элемента

aij

нием

i-той строки и

j-того столбца, на пересе-

чении которых стоит элемент aij

Вырожденная матрица

матрица, у которой определитель равен нулю.

квадратная матрица

A−1 ,

которая удовлетворяет

Обратная

матрица

для

условию A × A−1 = A−1 × A = E ;

обратная матрица

матрицы А.

A−1 существует тогда и только тогда, когда исход-

ная матрица невырожденная, det A ¹ 0

Ранг матрицы А

наибольший из порядков миноров данной мат-

рицы, отличных от нуля

−перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

−умножение всех элементов ряда матрицы

Элементарные

преобразо-

на число, отличное от нуля;

вания матрицы А

− прибавление ко всем элементам ряда мат-

рицы соответствующих элементов параллель-

ного ряда, умноженных на одно и то же число

матрица, обладающая следующими свойством:

если в i-той строке матрицы левее элемента aij

Ступенчатая матрица

стоят только нули (aij

первый отличный от

нуля элемент в

i-той строке),

то ниже этого

элемента в j-том столбце стоят только нули

метод приведения произвольной матрицы к

Метод Гаусса

ступенчатому виду с помощью элементарных

преобразований

первые отличные от нуля элементы каждой

Угловые элементы ступен-

строки, «стоящие на углах» ступенчатой мат-

чатой матрицы

рицы; число угловых элементов ступенчатой

матрицы равно рангу исходной матрицы

система вида

+ a12 x2

+ ... + a1n xn

= b1

a11x1

+ a

+ ... + a

= b

Система из

линейных

21 1

2n n

............................................

= b

уравнений с n

неизвестны-

+ a

+ ... + a

ми

m1 1

mn n

где

= ( x1; x2 ; ...; xn )

–

вектор

неизвестных,

подлежащих определению

матрица коэффициентов при неизвестных

a11

a12

… a1n

Матрица системы

… a

A =

…

am2

am1

… amn

матрица, полученная присоединением столбца

из свободных членов

b1, b2 , ...,

bm к матрице

системы

Расширенная

матрица

… a

системы

= a21

a22

… a2n

…

… a

Векторно-матричная за-

запись системы в виде

пись системы

Система уравнений, в которых вектор правых

вектором:

;

Однородная система

частей является

нулевым

= 0

Неоднородная

система

система, в которой хотя бы в одном уравнении

справа стоит ненулевой элемент:

уравнений

такой вектор

= ( x1, x2 , …,

xn ) , что при под-

Решение системы

становке чисел

x1, x2 , …, xn

в уравнения сис-

темы, получаются верные равенства

Совместная система

система, у которой существует решение

Несовместная система

система, у которой нет решений

Критерий

(необходимое

равенство рангов основной и расширенной

и достаточное

условие)

матрицы

совместности системы

Общее решение системы

совокупность всех решений системы

решение, которое получается из общего реше-

Частное решение системы

ния путем подстановки вместо свободных пе-

ременных конкретных численных значений

метод, состоящий из прямого и обратного хода:

прямой ход метода Гаусса – приведение

Метод Гаусса для решения

системы к ступенчатому виду с помощью эле-

ментарных преобразований;

системы уравнений

обратный ход – выбор свободных и базис-

ных переменных и получение формул общего

решения

Общее решение

неоднород-

решение, состоящее из суммы общего решения

ной системы

однородной

системы и некоторого частного

решения неоднородной

Определенная система или

система, которая имеет единственное решение

(у которой число угловых элементов в ступенча-

имеющая единственное ре-

той форме равно числу переменных, т.е. ранг

шение

системы равен числу переменных)

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 2. ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Введение

Математический анализ – общее название для ряда математи- ческих дисциплин, основанных на понятиях функции и предельного перехода. К нему относятся дифференциальное и интегральное исчисления, теория рядов, дифференциальных уравнений и др.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

Студент должен знать		Студент должен уметь

− определение функции, способы	− узнавать основные классы эле-
ее задания ;	ментарных функций;
− определение предела числовой	− строить графики основных эле-
последовательности;	ментарных функций;
− определение предела функции по	−	доказывать по определению, что
Гейне и по Коши;	существует предел числовой по-
− определения бесконечно малой,	следовательности;
бесконечно большой функции;	−	выделять неопределенности;
− связь между бесконечно малой и	−	пользоваться правилами раскры-
бесконечно большой функциями;	тия неопределенностей;
− необходимое и достаточное ус-	−	выделять первый замечательный
ловие существования предела	предел;
функции;	−	выделять второй замечательный
− теоремы о предельном переходе	предел;
в равенствах;	−	пользоваться таблицей эквива-
− теоремы о предельном переходе	лентных бесконечно малых функ-
в неравенствах;	ций, бесконечно больших функций
− первый замечательный предел;	при вычислении пределов;
− второй замечательный предел;	−	исследовать на непрерывность
− три определения функции, не-	различные функции;
прерывной в точке;	− определять характер точек раз-
− основные свойства непрерывных	рыва;
на отрезке функций	−	схематически изображать пове-
	дение функции в окрестностях то-
	чек разрыва

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ 2

	Номер	Нагляд-	Формы
Название вопросов,	практи-	ные и	кон-
Название вопросов,	практи-	методи-	кон-
которые изучаются на лекции	ческого	методи-	троля
	занятия	ческие	знаний
	занятия	пособия	знаний

1. Множество действительных чисел.
Функция. Область ее определения. Спосо-
бы задания. Сложные и обратные функ-	I	1, 2, 4, 7,	Опрос,
ции, их графики. Основные элементарные	I	8	ПДЗ
ции, их графики. Основные элементарные		8	ПДЗ
функции. Гиперболические функции, их
графики

2. Числовые последовательности. Спо-
собы задания и виды последовательности.	II, III	2, 4, 7, 8	Опрос,
Существование предела монотонной огра-			ПДЗ
ниченной последовательности

3. Предел функции в точке. Предел
функции в бесконечности. Односторонние
пределы, их связь с пределом функции.	IV	2, 4, 7, 8	ПДЗ
Свойства функций, имеющих предел. Пре-	IV	2, 4, 7, 8	ПДЗ
Свойства функций, имеющих предел. Пре-
дел суммы, произведения и частного
функций. Предел сложной функции

4. Первый и второй замечательные пре-	V, VI	2, 4, 7, 8	Опрос,
делы, их следствия			ПДЗ
5. Бесконечно малые и бесконечно
большие функции, их свойства и взаимо-	VII	2, 4, 7, 8	Опрос,
связь. Эквивалентность функций, их ис-			ПДЗ
пользование при вычислении пределов

6. Непрерывность функции в точке. Не-
прерывность основных элементарных
функций. Свойства функций, непрерыв-	VIII, IX	2, 4, 7, 8	КР
ных не отрезке: ограниченность, сущест-
вование наибольшего и наименьшего зна-
чений

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ 2

ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Основные понятия

Множество		Функция	Предел	Непрерывность
			функции
Аналитический способ задания				Точки разрыва
Явно	В	Заданные		I	II
заданные	ДПС	парамет-		рода	рода
		рически

В	Неявно
ПСК	заданные

Числовая	Предел	Предел	БМФ ББФ
Числовая	функции	функции	БМФ ББФ
последовательность	по Гейне	по Коши

Критерий существова- ния предела функции

Информационная таблица « Введение в математический анализ»

		натуральных чисел –
Множества	Числовые множества	целых чисел –
Множества	Числовые множества	рациональных чисел –
		рациональных чисел –

действительных чисел –

Переменная величина y называется функцией Правый (левый) односторонний предел:

от независимой переменной x (аргумента),

lim

f ( x) = f ( x0 ± 0) = A

если указан закон (правило), по которому каж-

x> x0

x→x0

дому элементу x некоторого множества ставит-

( x< x0 )

ся в соответствие единственный элемент y того

Бесконечно малые функции

же или другого множества.

lim a( x) = 0

Способы задания: аналитический, табличный,

x→x0

графический, словесный, программой на ЭВМ

Бесконечно большие функции

Возрастающая

Убывающая

lim f ( x) = ¥

x→x0

Правила вычисления пределов

y = f ( x)

lim f ( x) = A ,

lim f ( x) = B

x→x0

lim c = c,

c = const ;

x→x0

( x) ± f

( x) = A ± B

Четная

Нечетная

lim f

x→ x0 1

f ( x) = f (−x)

f ( x) = − f (−x)

lim ( f1 ( x) × g ( x)) = A × B ;

x→ x0

lim c × f1 ( x) = c × A ;

y = x3

x→ x0

f1 ( x)

y = x2 +1

lim

, B¹0.

x→x0 f2 ( x)

НЕПРЕРЫВНОСТЬ

y = f (u ) ,

u = ϕ( x)

Опр.1 f ( x) C{x0 }

y = f (ϕ( x)) = F ( x)

1) f(x0);

2) lim f ( x) = f ( x0 ) .

х – независимая переменная

x→x0

u –

промежуточная переменная

Опр.2 f ( x) C{x0 }

ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ lim f ( x) = A

1) f(x0);

lim

f ( x) = 0 .

x→a

x→0

(По

Гейне) Число A

называется

пределом

Опр.3 f ( x) C

функции

y = f ( x)

при

x → x0 , если для любой

lim f ( x) =

{x0 }

f ( x) = f ( x0 )

lim

числовой последовательности { xn }n N , сходящейся

x< x0

−0

x> x0

x→ x0

x0 ,

соответствующая

последовательность

x0 –

точка разрыва,

if в x0 не вы-

значений функции { f ( xn )}

n N

сходится к A .

полняется

хотя

бы

одно

условие

непрерывности.

(По Коши). Число

является

пределом

x0 –

точка разрыва I рода, if оба

функции

y = f ( x)

при x → x0 , если для любого

односторонних

предела

сущест-

сколь угодно малого числа ε > 0 существует число

вуют и конечны.

dε

> 0

(зависящее от e), такое, что для всех x ¹ x0 ,

x0 –

точка разрыва II рода, if хотя

удовлетворяющих

неравенству

x − x

< δ

бы один из односторонних преде-

лов равен ¥ или не существует

выполняется неравенство

f (x) − A

< ε

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 368 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf