Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

		3
	2 cos	3	t,
x = 3	2 cos		t,
1)
y = 3	2 sin3 t;

x = 4cos3 t,

y = 4sin3 t;

x = 8cos3 t,

y = 8sin3 t;

		3
	5 cos	3	t,
x =	5 cos		t,
1)
y =	5 sin3 t;

x = 9cos3 t,

y = 9sin3 t;

x = 2 5 cos3 t,

y = 2 5 sin3 t;

		3
	7 cos	3	t,
x =	7 cos		t,
1)
1)	7 sin3 t;
y =	7 sin3 t;

		3
	7 cos	3	t,
x = 2	7 cos		t,
1)
y = 2	7 sin3 t;

Вариант 17

x = 4cost,

2) = +

y 8(1 sin t);

Вариант 18

x = 9(1 + sin t),

2)=

y 3cos t;

Вариант 19

x = 3sin t,

2) = +

y 9(1 cost);

Вариант 20

x = 7(1 + sin t),

2)=

y 5cost;

Вариант 21

x = 3cos t,

2) = +

y 2(1 sin t);

Вариант 22

x = 1 + sin t,

2)=

y 4cost;

Вариант 23

x = 4cost,

2) = +

y 3(1 sin t);

Вариант 24

x = 1 + sin t,

2)=

y 7 cost;

151

	x = 9 tg t,
3)		5
3)		5
	y =				.
	y =				.
				cos t
		4
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 5 tg t.
		4
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = tg t.
		8
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 4ctg t.
		3
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 7 tg t.
		8
	x =
3)	x =			sin t,
3)				sin t,

	y = ctg t.
	x = tg t,
3)		5
3)		5
	y =				.
	y =				.
				cos t
		1
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

y = 7 tg t.

				3
		5 cos		3	t,
1)	x = 3	5 cos			t,
1)
	y = 3	5 sin3 t;

				3
		6 cos		3	t,
1)	x = 2	6 cos			t,
1)
	y = 2		6 sin3 t;

x = 4cos3 t,

y = 4sin3 t;

x = 11cos3 t,

y = 11sin3 t;

x = 7cos3 t,

y = 7sin3 t;

x = 15cos3 t,

y = 15sin3 t;

Вариант 25

x = 2sin t,

2) = +

y 8(1 cos t);

Вариант 26

x = 8(1 + sin t),

2)=

y cost;

Вариант 27

x = 7cost,

2) = +

y 8(1 sin t);

Вариант 28

x = 9(1 + sin t),

2)=

y 4cost;

Вариант 29

x = 11cost,

2) = +

y 5(1 sin t);

Вариант 30

x = 11(1 + sin t),

2)=

y 3cost;

		5
	x =
3)	x =			cost,
3)				cost,

	y = tg t.
		7
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 2ctg t.
		7
	x =
3)	x =			cost,
3)				cost,

	y = 7 tg t.
		8
	x =
3)	x =			sin t,
3)				sin t,

	y = ctg t.
	x = 13tg t,
3)		5
3)		5
	y =				.
	y =				.
			cost
		9
	x =
3)	x =			cost,
3)				cost,

y = 7 tg t.

III. Предел последовательности и его вычисление

1. Краткое обсуждение теоретического материала с использова- нием графической схемы и информационных таблиц. Оперативный оп- рос каждого студента по теме «Определение предела числовой последо- вательности».

2. Доказать по определению, что lim 2n + 1 = 2 (студент).

n→∞ n

3. Cформулировать правило раскрытия неопределенности ∞ .

∞

152

4. Работа по основной методической схеме I. На доске записать все

планируемые номера:

lim

3n2 − 7n + 1

;

6n2

n→∞ 2 − 5n −

2n -1

1 + 2n2

lim

;

n→∞

5n + 7

2 + 5n

sin (n2 )

lim

;

n -1

n→∞

lim

;

n ×(n +1)

n→∞

1× 2 2 ×

lim

(n + 2)!− (n + 1)!

;

n→∞

n!+ 2(n +1)!

(2n2 +1)(3

- 3

);

lim

n3 + 5

n3 + 4

n→∞

Ответ: - 1 2

Ответ: 0

Ответ: 1

Ответ: ∞

Ответ: 2 3

IV. Предел функции. Предел суммы, произведения и частного функций. Правила раскрытия неопределенностей, содержащих отношение многочленов, иррациональности

1. Определение предела функции по Гейне и Коши. Беглый опрос

аудитории по правилам раскрытия неопределенностей	0	, содержащих
	0

отношение двух многочленов, иррациональности. Обратить внимание на теоремы о предельном переходе в равенствах.

2. Со всей аудиторией (преподаватель у доски) решить:


1)	lim		2 ×3x + 5x+1				.	Ответ:	-	5	;
						×5x				2
	x→∞ 4x - 2
2)	lim	x2		- 4	.			Ответ:	4 ;
				- 2
	x→2 x
3)	lim (5x2 − 4).							Ответ:	16 ;
	x→2

153

			3x2 − 5x + 1						13
4)	lim					.		Ответ:		;
									9
	x→3			2x + 3
5)	lim		x2	+ 5	.			Ответ:	∞ ;

	x→1 x			−1
		5x4 − 4x3 + 3x2 − 2x − 2
6)	lim						.	Ответ:	4 .

	x→1				x3 −1
Сделать выводы:
1.	Предел – удобный инструмент для изучения поведения процесса

в окрестности некоторой точки.

2. Вычисление предела необходимо начинать с подстановки вместо независимой переменной значения в интересующей нас точке, чтобы оце- нить процесс в первом приближении.

3. В случае неопределенности – раскрыть ее по соответствующим правилам. В противном случае воспользоваться теоремами о предельном переходе в равенствах. При этом удобно пользоваться информационной таблицей.

	∞	основная информация за-
4. При раскрытии неопределенности		основная информация за-
	∞

ключена в выражениях, содержащих старшую степень. Обобщая этот ре- зультат, отметим:

−если старшая степень в числителе больше старшей степени зна- менателя, то предел отношения многочленов будет равен ∞ ;

−если старшая степень в числителе меньше старшей степени зна- менателя, то предел отношения многочленов будет равен 0;

−если старшая степень в числителе равна старшей степени знаме- нателя, то предел отношения многочленов будет равен отношению коэф- фициентов при старших степенях числителя и знаменателя.

3. Основная методическая схема I. Выписать номера на доске и решить:

	(x − 2 )5 ( x − 3)3					1
1) lim				.	Ответ:		;
x→∞ 3x8		− x6	+ 7x3 − 9		3

154

5x3

− 3x2

+ 1

lim

Ответ:

0 ;

+ 3x2

x→∞ 8x5

+ 1

− 2

+ 4

lim

Ответ:

;

x→0

x2 + 9 − 3

lim

5x9

− 3x7

+ 1

Ответ: ∞ ;

+ 3x2

+ 5

x→∞ 8x7

−

2 + x

2 − x

lim

Ответ: 3

;

x→0

3 2 + x − 3

2 − x

(

− 2x).

Ответ: −

;

lim

4x2 − 7x + 4

x→∞

(

−

x3 + 2

lim x 2

Ответ:

2 .

x→∞

Домашнее задание

Изучить теоретический материал для следующего практического за- нятия «Первый замечательный предел». Вычислить:

lim

x + h

−

x > 0 .

h→0

5x5

− 4x4 −1

lim

x3 −1

x→1

lim

1 − x3

− x −

x→1 4x2

lim

−1

;

m, n .

x→1 m x −1

(

−

lim

x − a

x→+∞

lim

x +

x −

x .

x→+∞

−1

lim

x −1

x→1

x2 −1

Ответ: 1 ; 2 x

Ответ: 3 ;

Ответ: − 3 ; 7

Ответ: m ; n

Ответ: 0 ;

Ответ: 1 ; 2

Ответ: 2 . 2

155

V. Первый замечательный предел, следствия из него

1. Записать на доске			lim		sin x	= 1.

			x →0 x
Обратить внимание, что первый замечательный предел раскрывает
		0	, что очень важно, чтобы x → 0 .
неопределенность вида

		0
Рассмотреть	lim		sin x	.

	x→3		x
	x→0
	x→∞

2. Вместе со всей аудиторией вычислить (преподаватель у доски):

			arcsin		x				3πx
	sin 7x							lim ( x + 1) tg
1) lim		2) lim		3			3)

				3
x→0 sin 9x		x→0						x→−1	2
			ctg x +			π
				2

Сделать вывод: в случае необходимости, удобно вводить замену так, чтобы новая переменная стремилась к нулю, и осуществлялся переход на первый замечательный предел.

Основная методическая схема I. Выписать номера на доске и решить:

			sin2			3x									9
1)	lim								.					Ответ:					;
1)	lim								.					Ответ:	25				;
	x→0 sin2					5x									25
		1						− ctg x
2)	lim										.			Ответ: 0;
2)	lim										.			Ответ: 0;
	x→0	sin x
3)	lim		cos5x − cos3x										.	Ответ: -8;
3)	lim												.	Ответ: -8;
	x→0						x2
4)	lim			sin 2x				.						Ответ: −				1		;
4)	lim							.						Ответ: −						;
	x→ π tg 4x														2
	2
5)	lim				(1 − cos α)2							.		Ответ:		1	;
5)	lim											.		Ответ:	2		;
	α→0 tg2 α − sin2 α														2
6)	lim		arctg 7x							.				Ответ:		7	;
6)	lim									.				Ответ:	5		;
	x→0 5x														5
7)	lim		sin 7x				.							Ответ:		7	;
7)	lim						.							Ответ:	3		;
	x→π tg 3x														3

156

8) lim	1 − cos 2x	.	Ответ: 4.

x→0 x2

Домашнее задание

Изучить теоретический материал для следующего практического за-

нятия «Второй замечательный предел». Вычислить:

lim x ctg πx .

Ответ:

;

x→0

lim

3arcsin x

Ответ:

;

x→0 4x

lim tg

πx

sin

x − α

Ответ: −

;

x→α

2α

lim

cos x

Ответ: −

;

x→

2x − π

sin 2α − tg 2α

lim

Ответ: 4;

α→0

α3

lim

sin 6πx

Ответ: -6;

x→1 sin πx

− 2cos x

lim

Ответ: −

;

x→

π − 4x

1 + cos5x

lim

Ответ:

x→π 1 − cos 4x

VI. Второй замечательный предел, следствия из него

	1				y
1. Выписать на доске lim (1 + x ) x = e ;				1
		lim 1	+			= e .

x →0		y→∞		y

Вопрос к аудитории: «Для раскрытия какой неопределенности ис- пользуется второй замечательный предел?» В это же время студент у доски выполняет номера из домашнего задания:

1) lim		2	− 2cos x	;	2) lim	1	+ cos5x	.
1) lim				;	2) lim			.
x→	π	π − 4x			x→π 1		− cos 4x
	4

2. Вместе со всей аудиторией (преподаватель у доски) с использова- нием информационных таблиц решить:

157

1) lim (3 − 2x)1− x ;

x→1

3x + 4 2 x−1 2) lim ;

x→∞ x + 6

3) lim ( x + 2) ln (3x −1) − ln (3x + 5) .
x→∞

3. Основная методическая схема I. Выписать номера на доске:

						3x + 4						2 x−1
1)	lim											.
1)	lim											.
	x→∞					3x + 2
						x + 4						7 x−1
2)	lim														;
2)	lim														;
	x→∞					3x + 2
								1
3)	lim (cos x)													.
3)	lim (cos x)										x2			.
	x→0

4)	lim		1		ln				1 + x							.
4)	lim				ln											.
	x→0 x							1 − x
							1			−
5)	lim x						x
5)	lim x					a						1 .
	x→∞
		a x − a
6)	lim									.
6)	lim			x −1						.
	x→1			x −1
7)	lim			loga x −1											.
7)	lim														.
	x→a					x − a
				eax − ebx
8)	lim												.
8)	lim					x							.
	x→0					x

Ответ: e 3 .

0, if x → +∞

Ответ: .

+∞, if x → −∞

− 1

Ответ: e 2 .

Ответ: 1.

Ответ: ln a .

Ответ: a ln a .

Ответ: 1 loga e . a

Ответ: a − b .

Домашнее задание

Изучить теоретический материал для следующего практического за- нятия «Сравнение бесконечно малых функций и бесконечно больших функций. Таблица эквивалентных». Вычислить:

x + 3 2 x+1

1) lim .

x→∞ x − 2

2) lim (1 + tg2 x )x .

x→0

Ответ: e10 ;

Ответ: e3 ;

158

3)	x→∞			(	ln		(	2			+ x			)		− ln x	)	.
3)	lim x				ln			2			+ x					− ln x		.
4)	lim (cos x)										1				.
4)	lim (cos x)								sin2 x						.
	x→0
5)	lim	ln cos x								.
5)	lim									.
	x→0			x2
			x2 + 5									x2
6)	lim											.
6)	lim					2						.
	x→∞					2	− 5
	x→∞		x				− 5
7)				1 − 5x								7 x+2
	lim															.
	lim					− 3x										.
	x→∞		2			− 3x
8)	lim (7x − 27)												2 x

													x2 −16
	x→4

Ответ: 2;

− 1

Ответ: e 2 ;

Ответ: − 1 ; 2

Ответ: e10 ;

Ответ:	0, if	x → −∞	;
		x → +∞
	+∞, if

Ответ: e7 .

VII. Сравнение функций (0-символика). Порядок бесконечно больших и бесконечно малых функций. Эквивалентность функций, их использование при вычислении пределов

1. Беглый опрос аудитории по основным определениям. Написание по памяти таблицы эквивалентных БМФ и ББФ. Два студента у доски ре- шают номера из домашнего задания:

	x2			+ 5	x2
1)	lim						;
			2
				− 5
	x→∞ x
	x→0 (	+ tg2					)	3
2)	lim 1					x		x ;

3) lim x (ln (2 + x) − ln x) ;

x→∞

4) lim (cos x)sin x .

x→0

2. Основная методическая схема I. Выписать на доске номера:

1)	Определить порядок малости α ( x) = 3	x2	−	x3	относительно
β( x) = x	при x→0.

Ответ: 2 . 3

2) Определить порядок малости α ( x) = 3sin3 x − x4 относительно

β( x) = x при x→0.

Ответ: 3.

159

3) Приближенно вычислить 1 ;

1,03

Ответ: 0,97.

Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относи-

x → ∞:

A( x) =

;

тельно В(х) = х

при

x2 + 3x + 5

Ответ: 1.

У доски два человека решают:

lim

1 − x

;

Ответ: -ln10 .

x→1 lg x

lim

cos x − cos 2x

;

Ответ: 3.

x→0 1 − cos x

lim

4x2 -1

;

Ответ: −2 .

arcsin (1

- 2x)

x→

arctg x2

lim

;

Ответ:

x→0 arcsin 3x ×sin

1 + x4

+ 23 1 + x6

lim

Ответ: 0,75.

(x +

x→+∞

1 + x2

lim

1 − cos x2

Ответ: 1

(1 − cos x)

x→0 x2

Найти эквивалентные функции:

а)

a3x − cos9x

…

Ответ: 3x × ln a .

x→0

Ответ: -

б)

7 1 - 3x - 5x2 -1

…

x→0

Домашнее задание

Изучить теоретический материал для следующего практического за- нятия «Непрерывность». Обратить внимание на три определения непре- рывности.

1)	Определить порядок малости a( x) =	1 − cos x	относительно

b( x) = x		x
	при x®0;

Ответ: 1.

160

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf