Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Уровень I

1. Найдите полярные координаты точек A(0; 1 ), B(1; 1), C( 3 ; 1),

F( −2sin π ; 2cos π ), заданных координатами в соответ-

D(–3; 3),

E(1; 3 ),

ствующей прямоугольной системе координат.

π ), B(

π ), C(2; π ), D(3

3π

), E(2;

5π

), F(2;

11π

Ответ: A(

;

π ), B(

3π

), C(5; π ),

Зная полярные координаты точек A(2;

D(3; π ), E(2; π ), постройте их в полярной системе координат и найдите

6 4

координаты этих точек в соответствующей прямоугольной системе коор- динат.

								3 3			3
Ответ: A(1; 3 ), B(–1; 1),							C(0; 5), D(	3 3	;		3	), E( 2; 2 ).
Ответ: A(1; 3 ), B(–1; 1),							C(0; 5), D(		;	2		), E( 2; 2 ).
							2			2
3.	Как расположены точки, полярные координаты которых удовле-
творяют одному из следующих уравнений:										ϕ = π ;
1)	ρ = 1;						5)			ϕ = π ;
2)	ρ = 5;									3
3)	ρ = а;						6)			ϕ = π ;
4)	ϕ = π ;						7)			2
	6						7)			ϕ = const.
Ответ:			1), 2), 3) –			на окружностях с центрами в полюсе и радиу-
сами, соответственно, 1, 5, а.							4), 5), 6), 7) – на лучах, выходящих из по-
люса и образующих с полярной осью углы в 300 ,600 ,900 ,ϕ .
4.	Найти		полярные			координаты точек,					симметричных точкам
A(1; π ), B(3;		2π	), C(	2	; π ), M(ρ; ϕ):
A(1; π ), B(3;			), C(		; π ), M(ρ; ϕ):
4	3		3		6

1)относительно полюса;

2)относительно полярной оси.

Ответ: A′(1;	5π	),	B′(3;	5π	),	С′(	2	;	5π	), M′(ρ; ϕ + π).
									6
4			3			3

5. Записать уравнение заданных кривых в декартовых прямоуголь- ных координатах и построить эти кривые:

1) ρ = 5;

141

2)tg ϕ = –1;

3)r cos ϕ = 2.

Ответ: 1) x2 + y2 = 25 ; 2) y = −x ; 3) x = 2 .

6. Построить кривую: ρ = 2sin 3ϕ .

Домашнее задание

Изучение теоретической части методического пособия. К домашне- му заданию остаются те задания I уровня, которые не были решены в ау- дитории.

II.Функции, заданные параметрически, их графики

1.Вместе со всей аудиторией изучить обучающие задачи, позво- ляющие уяснить понятие функции, заданной параметрически.

Обучающая задача 1. Построить линию, заданную параметрически, записать ее уравнение в декартовой системе координат:

																		3	t,
													x = a cos						t,

													y = a sin3 t.

	Решение.
	1. Составим таблицу значений заданной линии

t		0						π		π						π				π	π − π				π − π				π − π		π
					6					4				3					2		3						4		6

																a								a
x			a		a	3 3			a	2						a			0					a	−a		2		−a	3 3	−a
						3 3				2																	2
														8							8
										4																	4
					8					4																	4		8

								a																						a
y		0						a	a	2				a	3 3					a	a		3 3		a		2			a	0
										2																	2
					8																								8
										4																	4
										4				8							8						4


t		π + π			π + π				π + π							3π	2π − π				2π − π				2π − π				2π
t		π + π			π + π				π + π					2			2π − π				2π − π				2π − π				2π
		6			4					3				2					3		4						6

										−		a								a
x		−a	3 3		−a		3 2					a		0						a	a	3 2			a	3 3				a
																			8			3 2				3 3

		8			4					8											4						8

				a																					−			a
y		−		a	−a			3 2	−a		3 3				– a		−a			3 3	−a			3 2				a	0
								3 2			3 3									3 3				3 2

		8			4					8									8		4						8

142

2.В декартовой прямоуголь- ной системе координат построим полученные точки и соединим их плавной линией, которую принято называть астроидой.

3.Составим уравнение аст- роиды в декартовой системе коор- динат. Выразим из параметриче- ских уравнений

cos3 t =

sin3 t =

Тогда

= 1

или

– a

2 2 2

x 3 + y 3 = a 3 .

Обучающая задача 2. Выяснить, какую линию задают параметри- ческие уравнения:

	2	t
x = 2sin		t
		– ∞ < t < +∞.

y = 5cos2 t,

Решение. Из параметрических уравнений легко получить уравне- ние линии в декартовой системе координат.

t =

sin

Так как

то

x ³ 0

cos2 t =

y ³ 0.

Значит получен отрезок прямой, пересе-

1 2

кающий ось

в точке

А(2; 0),

ось Oy – в

точке В(0; 5).

Обучающая задача 3. Исключив параметр t из данных параметри- ческих уравнений кривой на плоскости, записать их уравнения в декарто- вых координатах, определить тип кривой.

x = 2a cos2 t,

y = a sin 2t.

143

x = a + a cos 2t,

y a sin 2t.

Решение. Так как 2cos2 t = 1 + cos 2t , то параметрические уравнения

можно переписать в виде

Возведем оба уравнения в квадрат

				cos 2t =					x − a		,
				cos 2t =							,
Тогда										a
Тогда									y
				sin 2t =					y	.
				sin 2t =						.
								a
								a
	2t =		(x − a)			2
cos2			(x − a)				,
cos2					a2		,
					a2
			y2
sin2	2t =		y2		.
sin2	2t =				.
		a		2
		a

			Сложим полученные уравнения и при-
			дем к каноническому уравнению окружности
			дем к каноническому уравнению окружности
О	a	2a	x с центром в точке C (a;0) и радиусом a:
О	a	2a	x с центром в точке C (a;0) и радиусом a:
			(x − a)2 + y2 = a2.

2. Работа по пособию или УМК на уровне II с выполнением своего варианта.

Уровень II

Вариант I

1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

1) y = x ;	2)	x2 + y2 = a2 .
Ответ:	1) tg ϕ = 1; 2)	ρ = a .

2. Написать в полярных координатах уравнения:

а) прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней отрезок, равный 2;

	б) луча, исходящего из полюса под углом						π к полярной оси;
							6
	в) прямой, проходящей через полюс под углом π к полярной оси.
						б) ϕ = π ;	3
			а) ρcos ϕ = 2 ;				в) tg ϕ =		.
	Ответ:		а) ρcos ϕ = 2 ;				в) tg ϕ =	3	.
						6
	3. В полярной системе координат даны координаты двух вершин
А(3; −	4π	) и	В(5;	3π	) параллелограмма АВСD, точка пересечения диаго-
А(3; −		) и	В(5;		) параллелограмма АВСD, точка пересечения диаго-

9 14

144

налей которого совпадает с полюсом. Вычислите полярные координаты двух других вершин параллелограмма.

Ответ: С(3; 5π ), D(5; −11π ). 9 14

4. Построить кривую ρ = 3(1 − sin ϕ) и найти ее уравнение в прямо- угольной системе координат.

5. Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = 2sin ϕ и y = 2x , содержащую точку А(0; 2).

Вариант II

1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

1) y = 2 ;	2) x2 − y2 = a2
Ответ:	1) ρsin ϕ = 2 ;	2) ρ2 =	a2	.
			cos 2ϕ

2. Написать в полярных координатах уравнения:

а) прямой, параллельной полярной оси и отстоящей от нее на рас- стоянии 4 единиц масштаба;

б)

луча, исходящего из полюса под углом

5π

к полярной оси;

в)

прямой, проходящей через полюс под углом

к полярной оси.

5π

Ответ:

а) ρsin ϕ = ±4 ; б) ϕ =

; в) tg ϕ = 1.

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

ρ =

( x + 5)2

4 − 5cos ϕ

Ответ:

−

= 1.

2π

π ). Вычис-

Даны полярные координаты точек А(8; −

)

В(6;

лите полярные координаты середины отрезка АВ.

Ответ:

(1; −

2π

Построить лемнискату Бернулли ρ2 = 6sin 2ϕ и найти ее уравне-

ние в прямоугольной системе координат.

Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = 4cos ϕ

и y = 3x ,

содержащую точку А(0; 4).

145

Вариант III

1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

1) x = 3 ;

2) x2 + y2 = ax .

Ответ:

1) ρcos ϕ = 3 ;

2) ρ = a cos ϕ .

Написать в полярных координатах уравнения:

а)

прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на ней

отрезок, равный 5;

π к полярной оси;

б)

луча, исходящего из полюса под углом

3π

в)

прямой, проходящей через полюс под углом

к полярной оси.

б) ϕ = π ;

Ответ:

а) ρcos ϕ = 5 ;

в) tg ϕ = −1.

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

ρ =

1 − cos ϕ

Ответ:

y2 = 6(x +

) .

2π

π ). Вычис-

Даны полярные координаты точек А(8; −

) и В(6;

лите полярные координаты середины отрезка АВ.

Ответ:

(1; −

2π

Построить кардиоиду ρ = 2a(1 + cos ϕ),

(a > 0)

и найти ее урав-

нение в прямоугольной системе координат.

Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = 3sin ϕ

и y = 4x ,

содержащую точку А(0; 3).

Вариант IV

1. Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

1) y = 2x ;			2) x2 + y2 = 2x .
Ответ:		1) tg ϕ = 2 ;	2) ρ = 2cos ϕ .
2.	Написать в полярных координатах уравнения:
а)	прямой,	параллельной полярной оси, лежащей в верхней полу-

плоскости и отстоящей от полярной оси на расстоянии 5 единиц масштаба;

б) луча, исходящего из полюса под углом 7π к полярной оси; 8

146

в)

прямой, проходящей через полюс под углом π к полярной оси.

7π

Ответ:

а) ρsin ϕ = 5 ;

б) ϕ =

;

в) tg ϕ =

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

ρ =

1 − cos ϕ

Ответ:

y2 = 8(x + 2) .

Зная полярные координаты точек

А(5; π )

и В(8;

−

вычис-

лите

Ответ:

=7.

Построить лемнискату Бернулли ρ2 = 2a2 cos 2ϕ

и найти ее урав-

нение в прямоугольной системе координат.

y = 2x ,

Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = cos ϕ и

содержащую точку А(1; 0).

Вариант V

Записать уравнения заданных кривых в полярных координатах:

1) y = −3x ;

2) x2 + y2 = 4 y .

Ответ:

1) tg ϕ = −3 ;

2) ρ = 4sin ϕ .

Написать в полярных координатах уравнения:

а) прямой, лежащей в нижней полуплоскости, параллельной поляр-

ной оси и отстоящей от нее на расстоянии 3 единиц масштаба;

б)

луча, исходящего из полюса под углом π

к полярной оси;

2π

в)

прямой, проходящей через полюс под углом

к полярной оси.

б) ϕ = π ;

а) ρsin ϕ = −3 ;

в) tg ϕ = −

Ответ:

3 .

Написать каноническое уравнение кривой второго порядка

ρ =

1 + cos ϕ

Ответ:

(x + 2)2

= 1.

147

4. Определить полярные координаты вершин правильного шести- угольника, сторона которого равна a, приняв за полюс одну из его вершин, а за полярную ось – сторону, через нее проходящую.

Ответ: О(0; 0), А(a; 0), В( a 3; π ), С( 2a; π ), D( a 3; π ), Е( a; 2π ).

			6	3		2	3
5.	Построить кардиоиду		ρ = 2a(1 − sin ϕ),		(a > 0)	и найти ее урав-
нение в прямоугольной системе координат.
6.	Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = 2cos ϕ и						y =	x	,
6.	Построить фигуру, ограниченную кривыми ρ = 2cos ϕ и						y =		,
							3
содержащую точку А(2; 0).
			Уровень III
1.	Чтобы уравновесить тело, вес которого равен					P, на наклонной
			плоскости, образующей с горизонтальной
			плоскостью угол		α, нужно применить
			плоскостью угол		α, нужно применить
			силу Q = P sin α . Сила			Q при одном и
		Q	том же грузе	P зависит от угла наклона
		Q	том же грузе	P зависит от угла наклона
	P		α. Выразить эту зависимость графически,
	α		пользуясь полярными координатами.
			пользуясь полярными координатами.
			Ответ:	график		представляет со-

бой полуокружность, диаметр которой равен P.

2. Выведите формулу расстояния между двумя точками на плоско- сти, заданными в полярной системе координат. Найдите расстояние между


точками А(2;	π	)	и В(1;			5π		).
точками А(2;		)	и В(1;					).
12					12
				ρ	2		+ ρ 2		− 2ρ ρ		cos(ϕ			− ϕ ); АВ =		.
Ответ: АВ =				ρ	2		+ ρ 2		− 2ρ ρ	2	cos(ϕ		2	− ϕ ); АВ =	3	.
			1				2		1	2			2	1
3. Прямая			x = a		пересекает ось							Ox		в точке А и произвольный

луч ОВ в точке В. На луче от точки В по обе стороны отложены отрез- ки ВМ1 и ВМ2 , равные АВ. Написать уравнение геометрического места

точек М1 и М2 в полярных и прямоугольных декартовых координатах. (Кривая эта называется строфоидой).

Ответ: ρ =	a(1 ± sin ϕ)	;	y2 =	x(x − a)2	.
	cos ϕ			2a − x

Домашнее задание

Изучение теоретического материала по теме «Предел последователь- ности и его вычисление». Завершить выполнение своего варианта на уровне II, а также выполнить свой вариант индивидуального домашнего задания. Задания третьего уровня сложности студенты выполняют по желанию.

148

Индивидуальное домашнее задание

Построить следующие линии, заданные параметрически. Записать их уравнения в декартовой системе координат.

x = 3cos3 t,

y = 3sin3 t;

x = 5cos3 t,

y = 5sin3 t;

x = 4cos3 t,

y = 4sin3 t;

x = 6cos3 t,

y = 6sin3 t;

x = 7cos3 t,

y = 7sin3 t;

x = cos3 t,

y = sin3 t;

x = 7cos3 t,

y = 7sin3 t;

		3
	5 cos	3	t,
x =	5 cos		t,
1)
y =	5 sin3 t;

Вариант 1

x = 2sin t,

2) = +

y 3(1 cos t);

Вариант 2

x = 3(1 + sin t),

2)=

y 2cost;

Вариант 3

x = 3cos t,

2) = +

y 2(1 sin t);

Вариант 4

x = 2(1 + sin t),

2)=

y 4cost;

Вариант 5

x = 4cost,

2) = +

y 3(1 sin t);

Вариант 6

x = 2(1 + sin t),

2)=

y 3cost;

Вариант 7

x = 3sin t,

2) = +

y 2(1 cost);

Вариант 8

x = 7(1 + sin t),

2)=

y 2cost;

		5
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 3tg t.
		7
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 4ctg t.
		4
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 7 tg t.
		8
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 5ctg t.
	x = 3tg t,
3)		5
3)		5
	y =				.
	y =				.
				cos t
		7
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 4 tg t.
		3
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 5 tg t.
		7
3)	x =
	x =	sin t,
		sin t,

y = 5ctg t.

149

				3
		3 cos		3	t,
1)	x =	3 cos			t,
1)
	y =		3 sin3 t;

				3
		7 cos		3	t,
1)	x =	7 cos			t,
1)
	y =		7 sin3 t;

				3
		2 cos		3	t,
1)	x =	2 cos			t,
1)
	y =		2 sin3 t;

x = 9cos3 t,

y = 9sin3 t;

			3
		6 cos	3	t,
1)	x =	6 cos		t,
1)
	y =	6 sin3 t;

			3
		5 cos	3	t,
1)	x =	5 cos		t,
1)
	y =	5 sin3 t;

x = 2 2 cos3 t,

y = 2 2 sin3 t;

		3
	2 cos	3	t,
x = 3	2 cos		t,
1)
1)	2 sin3 t;
y = 3	2 sin3 t;

Вариант 9

x = 3cos t,

2) = +

y 7(1 sin t);

Вариант 10

x = 2(1 + sin t),

2)=

y 3cost;

Вариант 11

x = 5cos t,

2) = +

y 3(1 sin t);

Вариант 12

x = 2(1 + sin t),

2)=

y 5cost;

Вариант 13

x = 4sin t,
2)	+ cos t);
y = 3(1

Вариант 14

		7
	x =
	x =	sin t,
	2)	sin t,

y = 4ctg t;

Вариант 15

x = 5cost,

2) = +

y 7(1 sin t);

Вариант 16

x = 2(1 + sin t),

2)=

y 4cost;

150

		4
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

	y = 3tg t.
		6
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 5ctg t.
	x = 3tg t,
3)		7
3)		7
	y =				.
	y =				.
				cos t
		6
	x =
3)	x =	sin t,
3)		sin t,

	y = 5ctg t.
		5
	x =
3)	x =		cost,
3)			cost,

y = 6 tg t.

x = 5(1 + sin t),
3)
y = 2cost.
	4
x =
x =	cost,
3)	cost,

		7 tg t.
y =		7 tg t.

		5
	x =
	x =	sin t,
	3)	sin t,

y = 8ctg t.

<<< < Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 3615 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf