Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4606 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пензенский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf
Скачиваний:
38
Добавлен:
18.05.2015
Размер:
5.38 Mб
Скачать
☆

= lim

t →0

= lim

t →0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

x

4

+

 

 

1

x

4

 

 

-

 

1

 

 

 

 

x

4

 

+ o(x

4

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

o(x

4

)

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

4

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

24

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

+

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

x4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e(1 + x)−

1

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5)

 

lim

x

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1+

x

 

+o( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+o( x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

+ o(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e × e

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

e 2

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim x (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6)

 

 

x2 + 2x - 2

 

 

x2 + x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введем замену x=1/t, тогда t® 0

при x®¥, поэтому будем иметь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

- 2

 

 

 

 

 

+

+

= lim

 

 

 

 

 

 

1 + 2t

- 2

 

1 + t +1 =

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0 t

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

t

t →0 t 2 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

+

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2t )2 + o(

4t )2 −

2 1 +

 

 

+

2

 

 

 

 

 

 

t2 + o(t 2 ) +

1

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + t −

t 2

− 2 − t +

t2

+ 1 + o(t2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

−

t2

 

+ o(t2 )

 

 

 

 

 

 

 

−

t2

+ o(t2 )

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

4

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= −

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t →0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7)

 

 

 

 

lim e x

x

 

 

 

 

- x

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

-

 

 

1

+ x

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

x3 +

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

+ o

 

 

 

 

-

x3 +

 

 

 

 

 

 

 

 

+ o

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x9

 

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→∞

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6 8x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Упражнение. Вычислить

 

2x4

+ x3

lim

 

 

.

 

 

 

x→0 ln (1 + 3x)

- 3x +

9

x2

 

 

 

 

 

2

 

 

40. Вычисление производных произвольного порядка с помощью формулы Тейлора

1) Вычислить f (15) ( x) от f ( x) = x7 cos x в точке x = 0. 3

231

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x7 cos

x

= x7

1 -

(x 3 )

+ (x 3 )

 

- ...

 

= x7 -

 

 

x3

 

 

 

+

 

x4

-

 

x13

 

+

x15

-…,

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

4

 

 

8

 

3

 

 

 

 

 

 

2!

 

 

4!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

× 2!

 

 

6

× 6!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

3

× 4!

3

 

3 ×8!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

так как

 

 

 

f (15) (0) = c

×15!,

то f (15) (0) =

15!

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

15

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

388!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

 

Найти f (n) (-2),

 

f (x) =

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2 + 4x + 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

∞

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

=

×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

∑ (-1)n (

x+2

)

 

 

=

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

+ 4x + 8 (x

+ 2)

+ 4

 

 

4 (

x+2

)

+1

 

 

4 n=0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∞

 

(

-

1)n

(x + 2)2n . Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

(

-1)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ∑

 

 

 

 

 

 

c

=

 

 

 

 

 

 

 

,

 

c

= 0,

 

n =1, 2,...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n=0 22(n+1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

22(n+1)

 

 

 

 

 

2n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (2n) (-2) = c

 

(2n)! =

(-1)n × (2n)!

,

 

 

 

f (2n −1) (-2) = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22(n +1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.20. Графическое дифференцирование (интегрирование) (информация для самостоятельного изучения)

Задача 1. Дан график функции y = y ( x) . Найти график ее произ-

водной.

y

y = y(x)

A

0

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y’(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

232

1. Разбивают интервал на части точками (x1, x2, x3, …).

2. В точках с абсциссами x1, x2, x3, … строят касательные к графику функции y = y ( x) .

3.На оси абсцисс берут точку А с координатами (–1, 0). Проводят через точку А прямые, параллельные полученным касательным.

4.Производные в точках равны тангенсу углов между осью Ох и касательной, а тангенсы равны отрезкам, отсекаемым от оси ординат пря- мыми, проходящими через точку А.

Задача 2.

По

графику

 

производ-

у’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ной y′ выяснить вид графика функции

у

 

 

 

 

 

 

 

 

на промежутке [0, 5], если у(0) = – 1.

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2 3 4 5 х

Из графика

y′ видно, что знаки

y′

–1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

на интервале (0, 5) распределены следующим образом:

y'

 

–

+

 

+

 

–

 

 

–

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

0

1

 

2

-

 

3

4

 

5

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

xmin = 1,

 

 

xmax = 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исследуем функцию на выпуклость

 

 

 

 

 

 

 

 

y′′ = ( y′)′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x (4, 5) , y′′ = 0 , y′ = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = 2 –

точка перегиба.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y”

 

+

+

 

–

 

–

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

y

0

1

 

2

 

3

4

 

 

5

 

x

∩

у

0

1

 

 

 

 

 

 

х

2

3

4

5

 

 

–1

233

ВЫВОДЫ

К понятию производной приводит задача:

−вычисления скорости в данный момент времени при неравномер- ном движении,

−о проведении касательной к плоской кривой в некоторой ее точке,

−об определении силы тока в данный момент времени, если заряд распределен неравномерно во времени и т.п.

Можно говорить о скорости накопления биомассы, о скорости хими- ческой реакции, скорости нагревания и остывания тела, скорости переме- щения потоков жидкости или воздуха. Таким образом, к производной при- водят многочисленные задачи из различных областей теории и практики, в

которых требуется определить скорость изменения процесса.

Действие нахождения производной называется дифференцировани- ем. Общее правило дифференцирования дает возможность получить гото- вые формулы для нахождения производных основных элементарных функций. Используя это правило, а затем правило дифференцирования сложной функции, получены формулы для вычисления производной слож- ной функции.

Среди многих задач, решаемых с помощью производных, наиболее важной является задача нахождения экстремума функции и связанная с ней задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения производ- ственных функций. Задача об организации производственного процесса с целью получения максимальной прибыли и другие задачи, связанные с поиском оптимального решения, приводят к развитию и усовершенство- ванию методов отыскания наибольших (наименьших) значений. Решени- ем таких задач занимается особая ветвь математики – линейное програм- мирование.

Большую роль при изучении функциональной зависимости (а значит, процесса) играет формула Тейлора, которая позволяет исследование диф- ференцируемой функции свести к работе с многочленом.

234

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОВЕДЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Учебно-информационный блок для проведения практических занятий

 

Тема занятия

 

 

Тип занятия

 

Кол-во

 

 

 

 

час

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Производные элементарных функций.

 

Повторение

и

обобщение

 

Таблица производных. Производные сум-

 

имеющихся знаний. Усвоение и

 

мы, произведения и частного. Бесконечная,

 

закрепление

 

изученного на

2

левая и правая производные функции в

 

лекции нового материала

 

точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Производная сложной функции. Ло-

 

Углубление

и

расширение

 

гарифмическая производная

 

 

полученных

знаний.

Усвоение

2

 

 

 

 

 

 

нового материала.

Текущий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контроль

 

 

 

 

 

III.Дифференцирование параметрически

 

Усвоение и закрепление но-

 

заданных и неявных функций. Производ-

 

вого материала. Текущий кон-

2

ные высших порядков

 

 

троль

 

 

 

 

 

IV. Касательная и нормаль к графику

 

Углубление

и

расширение

 

функции. Применение дифференциала в

 

полученных

знаний.

Обобще-

2

приближенных вычислениях

 

 

ние и применение полученных

 

 

 

 

 

 

 

 

 

знаний. Текущий контроль

 

V. Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа

 

Усвоение и закрепление ново-

2

 

 

 

 

 

 

го материала. Текущий контроль

 

 

 

 

 

 

 

VI.

Правило Лопиталя (неопределенно-

 

Усвоение и закрепление но-

 

 

0

∞

 

 

вого материала.

Применение

 

сти вида 0 ×¥,

 

, ¥ , степенные неопреде-

 

полученных

знаний.

Текущий

2

0

ленности 0∞ , ¥0 ,1∞ )

 

 

контроль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

VII. Условия

возрастания и

убывания

 

Углубление, обобщение, сис-

 

функций. Достаточные условия локально-

 

тематизация и применение по-

 

го экстремума. Нахождение наибольших и

 

лученных знаний

 

 

2

наименьших значений функции на отрезке.

 

 

 

 

 

 

 

Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба

 

 

 

 

 

 

 

VIII.

. Вертикальные и наклонные асим-

 

Повторение

и

обобщение

 

птоты графика функции. Общая схема ис-

 

имеющихся знаний. Усвоение и

2

следования и построения графика функции

 

закрепление нового материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

Текущий контроль

 

 

 

IX.

Физические и механические при-

 

Углубление, обобщение, сис-

 

ложения дифференциального исчисления

 

тематизация и применение по-

2

 

 

 

 

 

 

лученных

знаний.

Текущий

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контроль

 

 

 

 

 

X. Дифференциалы высших

порядков.

 

Углубление, обобщение, сис-

 

Формула Тейлора, ее приложение к при-

 

тематизация и применение по-

2

ближенным вычислениям

 

 

лученных

знаний

 

Итоговый

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

контроль

 

 

 

 

 

 

 

 

 

235

 

 

 

 

 

 

Используемая литература

1.Бугров, Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Буг- ров, С.М. Никольский. – М. : Наука, 1980.

2.Гусак, А.А. Справочник по высшей математике / А.А. Гусак, Г.М. Гу- сак. – Мн. : Навука і тэхніка, 1991.

3.Задачник по курсу математического анализа: учеб. пособие для студ. заочных отделений физ.-мат. факультетов педин-тов / Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан, И. А. Марон и др.; под ред. Н.Я. Виленкина. – М. : Про- свещение, 1971.

4.Методические указания по типовому расчету по теме «Исследование функции одной переменной и построение ее графика» курса «Высшая математика» / Е.А. Куприянович. – Новополоцк: НПИ, 1990.

5.Методическое пособие с трехуровневыми заданиями для организации самостоятельной работы студентов всех специальностей по теме «Диф- ференциальное исчисление функции одной переменной» / В.С. Вакуль- чик, В.А. Жак, В.М. Кулага, Н.В. Цывис, Ф.Ф. Яско. – В 2-х частях. Ч. 1. – Новополоцк: ПГУ, 1999.

6.Методическое пособие с трехуровневыми заданиями для организации самостоятельной работы студентов всех специальностей по теме «Диф- ференциальное исчисление функции одной переменной» / В.С. Вакуль- чик, В.А. Жак, В.М. Кулага, Н.В. Цывис, Ф.Ф. Яско. – В 2-х частях. Ч. 2. – Новополоцк: ПГУ, 1999.

7.Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике / А.Д. Мышкис. – М.:

Наука, 1973.

8.Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Н.С. Пискунов. В 3 томах. Т. 1. – М.: Наука, 1978.

9.Пушкарева, Т. М. Дифференциальное исчисление функции одной пе- ременной. Программированный задачник для студентов втузов / Т. М. Пушкарева, Н. Н. Третьякова и др. – Мн. : Минский радиотехниче- ский институт, 1989.

10.Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича. –

М.: Наука, 1986.

236

ОСНОВНАЯ МЕТОДИЧЕСКАЯ СХЕМА II

I. Производные элементарных функций. Таблица производных. Производные суммы, произведения и частного. Бесконечная, левая и правая производные функции в точке

1. Определение производной функции в точке. Функции, диффе- ренцируемые в точке

Производной функции

f ( x) в

точке

x0 называется

 

 

 

 

 

 

lim

 

f ( x0 ,

x)

= lim

f ( x0 +

 

x) − f ( x0 )

=

 

x

 

 

 

 

 

x→0

 

x→0

 

 

x

 

 

= lim

f ( x) − f ( x0 )

,

(

x = x − x

) .

 

 

 

x→x0

x − x0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

Обозначения:

f ′( x ) ,

y′( x ) ,

 

dy ( x0 )

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Производная функции в нуле:

1.

f ′(0) = lim

f ( x) − f (0)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

x

2.

f ′(0) =

lim

 

f (

x) − f (0)

;

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

x

3. (sin x )′

 

 

= lim

sin x

= 1

 

 

 

 

 

 

 

x=0

 

x→0

x

 

 

 

 

Обучающая задача. Пользуясь только определением производной,

найти

10.

f ′(8)

для f ( x) = 3

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

- 3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

- 2

=

 

a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 )

 

=

f ¢(8) = lim

x

8

= lim

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→8 x - 8

 

 

 

 

 

 

x→8 x - 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3

 

- 2)(3

 

 

+ 23

 

 

 

+ 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

( x - 8)

 

 

 

 

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→8 ( x - 8)(3 x2 + 23

 

+ 4)

 

 

 

 

x→8 ( x - 8)(3 x2 + 23

 

+ 4)

 

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

=

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→8 (3 x2 + 23

 

+ 4)

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

20

(повышенный уровень). Пользуясь только определением произ-

 

f ′(0) для

1 - cos x ×sin

1

 

,

 

 

водной, найти

f ( x) =

 

x

 

 

0,

x ¹ 0

.

x = 0.

237

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f ( x) - f (0)

 

 

1 - cos x

×sin

 

 

- 0

 

 

 

 

f ¢(0) = lim

 

x

Решение:

 

= lim

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x→0

 

 

x→0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a = x × sin

1

® 0,

x ® 0

 

x

2

× sin

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б.м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

=

 

 

 

 

= lim

 

 

x

=

 

x × sin2

= 0

 

огр.

 

 

 

 

 

 

 

lim

 

 

 

 

 

 

2x

 

 

 

 

 

1 - cos a a

2

 

 

x →0

 

 

 

 

 

 

2 x →0 б.м.

 

 

 

x

 

,

a ® 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

огр.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

30 . Найти по определению производную

 

y′( x ),

если

y ( x) = x2 -1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

x0 = −1 (преподаватель у доски).

Исходя из определения производной, найти (самостоятельно, ка- ждому свой вариант, два студента у доски выполняют свои задания):

1)y ( x) = x3 ,

2)y ( x) = x ,

3)y ( x) = lg x ,

4)y ( x) = cos x ,

5)y ( x) = x2 + 2x ,

6) y ( x) = 1 , x

7)y ( x) = ex ,

8)y ( x) = 2x2 - x ,

9)y ( x) = 1 ,

x2

10) y ( x) =

1

 

,

x +1

 

 

11)y ( x) = cos 2x ,

12)y ( x) = x3 - x2 ,

13)y ( x) = - 1 ,

x

14) y ( x) = ln x ,

x0 = 1.

x0 = 1.

x0 = 100 .

x0 = 0 . x0 = 2 .

x0 = 1.

x0 = 1. x0 = 1.

x0 = 1.

x0 = 0 .

x0 = 0 . x0 = 1.

x0 = 2 .

x0 = 1.

Ответ: 3;

Ответ: 1 ; 2

1

Ответ: ; 100 ln10

Ответ: 0;

Ответ: 6;

Ответ: - 1 ; 2

Ответ: е;

Ответ: 3;

Ответ: -2;

Ответ: –1;

Ответ: 0;

Ответ: 1;

Ответ: 1 ; 4

Ответ: 1.

238

2.

Дифференцирование функции, заданной явно

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица производных

 

 

 

 

 

 

 

1.

(un )¢ = n ×un−1 ×u¢ ;

12.

(ln u )¢ = 1 ×u¢ .

 

 

 

 

x′ = 1;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

2.

 

 

 

 

13.

(arcsin u )¢ =

1

 

×u¢ ;

3. (

u )¢ = 1 ×u¢ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- u2

 

 

 

2

u

 

14.

(arccos u )¢ = -

 

1

×u¢ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 ¢

 

 

 

 

 

 

4.

 

1

 

×u¢ ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1- u2

 

= -

u2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

u

 

 

15.

(arctg u )¢ =

×u¢ ;

5.

(sin u )¢ = cos u ×u¢ ;

1+ u2

 

(cos u )¢ = -sin u ×u¢ ;

16.

(arcctg u )¢ = -

1

×u¢ ;

6.

1+ u2

 

 

¢

 

 

1

 

17.

(

sh u ¢

= ch u ×u¢;

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

(tg u ) = cos2 u ×u¢;

 

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

18.

(ch u )¢ = sh u ×u¢;

 

8.

(ctg u )¢ = - sin2 u

×u¢ ;

19.

(th u )¢ =

1

×u¢;

 

9.

(au )¢ = au ×ln a ×u¢;

 

 

 

 

 

 

ch2 u

 

 

 

20.

(cth u )¢ = -

1

×u¢ .

 

(eu )¢ = eu ×u¢ ;

 

sh2 u

10.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Правила дифференцирования

 

(loga u )¢

 

 

1

 

11.

=

 

×u¢ ;

1.

(u ± v)¢ = u¢ ± v¢;

 

 

u ×ln a

 

 

 

 

 

 

 

2. (u ×v)¢ = u¢v + v¢u ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

u ¢

=

u¢v - v¢u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

2

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

(cu )¢ = cu¢;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

(c)¢ = 0 , c = const .

 

Обучающая задача. Найти производную функции

y = 2ex sin x − x + 3 tg x

Решение: Воспользуемся правилами дифференцирования и табли- цей производных.

′

y′( x) = 2(ex sin x)′ − x + 3 =

tg x

239

= 2(ex )¢ sin x + 2ex (sin x)¢ - ( x + 3)¢ tg x - ( x + 3)(tg x)¢ tg2 x

 

tg x - ( x + 3) ×

1

 

 

= 2ex sin x + 2ex cos x -

cos2 x

.

 

 

tg

2 x

 

 

 

 

 

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, та у доски выполняют свои задания).

Найдите y¢( x) :

=

два студен-

1)

y =

sin x

- 3ex

 

 

 

 

.

 

 

 

Ответ:

x cos x − sin x

- 3ex ×

2x +

1

;

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

2)

y =

ch x

+ 2x ln x .Ответ:

x sh x + ch x

 

+ 2x ln 2 × ln x +

1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

sh x − x ch x

+ ex (sin x + cos x) ;

3)

y =

 

 

x

+ ex sin x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sh x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

x ×sh2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4)

y = x2 ln x +

sh x

.

 

 

 

 

 

Ответ: x (2ln x + x) +

x ×sh x - ch x

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ex ( x - 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

5)

y =

ex

+ th x ×

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

+

2x + sh

x

ch x

;

 

x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

2

 

 

 

x

 

6)

y =

tg x

+ ex ch x .

 

 

 

Ответ:

x − sin x cos x

+ ex (ch x + sh x) ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 cos2 x

 

 

 

 

 

 

cos x − x sin x

 

 

 

7)

y = x2 × ln x +

sec

x

.

 

 

 

 

Ответ: x (2ln x +1)

-

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( x cos x)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

arcsin x

 

 

 

ch x + 2x sh x

 

x - 2

1 - x2 arcsin x

 

 

y =

 

x × ch x +

 

+

 

8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 1 - x2

 

9)

y =

arcsin x

+

(3x + 2) th x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x - 2 1 - x

2 arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 3th x +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 1 - x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ch2 x

 

10)

y = (x2 +1)sec x + sh x × arctg x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ:

2x cos x + (x2 +1)sin x

+ cosec x -

( x -1)cos x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin2 x

 

240

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности