Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Так как в окрестности точки

x = 0

sin x > 0 , то умножим неравенст-

во на

> 0 , следовательно, 1 <

или

cos x <

sin x

<1. Но

sin x

cos x

lim cos x = 1,

lim 1 = 1,

тогда

по

теореме

2.13.3

«зажатой» функции

x→0

lim

sin x

=1.

x→0

В силу чётности функции y =

sin x

имеем

lim

sin x

= 1 lim

sin x

=1.

x→0

x<0

Следствие 2.15.1.

lim

=1.

x→0 sin x

Доказательство:

lim

= lim

=1.

x→0 sin x

®1

Следствие 2.15.2.

lim

sin kx

= k .

x→0

Следствие 2.15.3.

lim

tg mx

= m .

x→0

Следствие 2.15.4.

lim

arcsin mx

= m .

x→0

Доказательство:

arcsin mx

arcsin mx = y, y → 0

lim

mx = sin y,

x → 0

= lim

= m .

→0

y →0 sin y

Замечание 2.15.1. Первый замечательный предел применяется для

раскрытия неопределенностей вида 0 , содержащих тригонометрические

0

функции.

Замечание 2.15.2. lim				cos x

		x→0			x
Пример 10.		sin 7x			0
	lim		=

	x→0 sin 2x				0

= ¥ .
	sin 7x		× 7x

		7x
= lim
	sin 2x
x→0			× 2x

		2x

=7 .

121

Пример 20.

lim

p - x tgx = lim

p - x

tgx = 0 × ¥ =

x →

π 2

x →

π 2

p - x ×sin x

p - x = y

y ® 0

1 способ:

= lim

cos x

x = p - y

x ® p

x→ 2

y sin p - y

y cos y

= lim

=1,

cos p - y

y→0

y→0 sin y

p - x tgx =

p - x

sin x

2 способ:

= lim

lim

= lim sin x =1.

x →

x→

sin

- x

x→ 2

2.16. Число е

Теорема 2.16.1. Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

	Доказательство:		Рассмотрим функции
			y1 = loga x,	a > 0,	a ¹ 1,
			y2 = logb x,	b > 0,	b ¹ 1.
	Согласно	основному логарифмическому тождеству: x = aloga x ,
			a > 0, a ¹ 1. По свойству логарифмов будем
	y		иметь
	y
		y = ln x		logb x = loga x × logb a = k loga x .
	450		Таким образом, все графики логарифми-
0	1	x	ческих функций получаются из одного путём
			равномерного растяжения от оси OX или сжа-
			тия к этой оси.
	Каждый из графиков логарифмической функции имеет свой угол
наклона в точке пересечения его с осью					OX (углом между кривыми в

точках их пересечения называется угол между касательными к ним, проведенными в этой точке).

122

При растяжении графиков касатель-
ная поворачивается, причём для очень			у
больших а, она наклоняется к	OX весьма		а = 2 log	2 x
полого (угол маленький). При	а, близких		а = 1, 2
полого (угол маленький). При	а, близких		а = еloge x
к 1 – весьма круто.			а = еloge x
к 1 – весьма круто.			а = 4 log4 x
Значит при некотором значении		а,	а = 4 log4 x
угол пересечения графика логарифмиче-
ской функции с осью OX будет равным			1	х
450. Это значение обозначим е.			1	х
450. Это значение обозначим е.
Точные подсчёты показывают,		что

е ≈ 2,718281828. Обозначение числа е ввел
Эйлер. Логарифм по снованию е			называют натуральным логарифмом.
2.17. Второй замечательный предел
Теорема 2.17.1.	lim	ln(1 + h)		= 1.

	h→0 h
Доказательство:	Рассмотрим функцию y = ln x .
Возьмем на графике точку				B(1 + h , ln (1 + h) ), где	h > 0 . Проведем
через точку х =1 касательную.			ÐCAB = 45°. Рассмотрим		DABC - прямо-
Из пункта 2.16 ясно, что
угольный.

tgβ = CB AC

или

tgβ = ln (1 + h) . h

α=45°

	A	β	ln (1+ h)
	A	β
0	1	C	x
		1+h

y = ln x

Из геометрических соображений ясно, что при h ® 0 b ® 45°


tgb ® tg 45° =1, т.е. lim tgβ = 1, значит, lim				ln (1 + h)	= 1.

h→0		h→0 h
Аналогично, при h < 0	lim	ln (1 + h)	= 1.

	h→0 h

123

Следствие 2.17.1. lim (1 + h)h = e . (*)

h→0

Доказательство: Согласно основному логарифмическому тождест-

ln(1+h)

loga b

ln(1+h)h

ву a

= b будем иметь, что (1 + h)h = e

= e

. Перейдем к пре-

делу в этом равенстве при

h → 0 ,тогда

lim (1 + h)

= e (*) или по другому,

h→0

ln(1+h)

lim

lim (1 + h)h = lim eln (1+ h)h

= eh→0

= e .

h →0

→0

Следствие 2.17.2.

lim 1

= e

(**)

y→∞

Доказательство:

В (*) введем замену y =

, тогда

h =

при

h → 0 y → ∞ и

lim

1 +

= e .

y→∞

Замечание 2.17.1. Формулы (*) и (**) часто принимают за опреде-

ление числа е и называют вторым замечательным пределом.

Замечание 2.17.2.

Пределы (*) и (**) применяют к раскрытию не-

(

)

определённостей вида

1∞

Замечание 2.17.3.

Если

f ( x) -

элементарная функция и в окрест-

ности

точки

f ( x) > 0 ,

также

lim f ( x) = A > 0 ,

то

lim ln f ( x) = ln lim f ( x) .

x→x0

2.18. Некоторые важные пределы

1. lim (1 + kx)x = ek .

x→0

Доказательство: lim (1 + kx) x

x→0

= (1∞ ) = lim	(1 + kx)kx	k
= (1∞ ) = lim	(1 + kx)kx	= ek .
	1
x→0

124

ла, то

= ek .

lim 1 +

x→∞

loga (1 + x)

lim

= loga e .

x→0

loga (1 + x)

= lim

ln (1 + x)

= loga e .

Доказательство: lim

→0

x→0 ln a × x

ln a

ax -1

= ln a .

lim

x→0

ax -1

Доказательство:

lim

x→0

ax -1 = y, y ® 0

ax = y + 1, x ® 0

= lim

= ln a .

loga e

x = loga ( y + 1)

y →0 loga ( y + 1)

Из (4) следует

lim

-1

=1.

x→0

(1 + x)α -1

= a .

lim

x→0

Упражнение. Пределы 5, 6 доказать самостоятельно.

2.18.1.Пределы от функции y = u ( x) v( x)

При вычислении пределов вида lim u ( x) v( x)			полезно помнить:

		x→
1. Если	lim u ( x) = A,	lim v ( x) = B , где	А и В – конечные чис-
	x→a	x→a
lim u ( x) v( x) = AB .
x→a

125

2.	Если	lim u ( x) = A ¹ 1,		lim v ( x) = +¥ , то
		x→a		x→a
		lim u ( x) v( x) = +¥, A >1
		x → a			0, 0 < A <1.
3.	Если	lim u ( x) = A ¹ 1,		lim v ( x) = -¥ , то
		x→a		x→a
			v( x)		0, A >1
		lim u ( x)			=
		x → a			+¥, 0 < A <1.

4. Если

lim u ( x) =1, lim v ( x) = ¥ , то lim uv = (1∞ ) .

x→a

→a

Неопределённость вида (1∞ )

раскрывается с помощью числа е.

lim u ( x) v( x)

v ( x)×(u ( x)-1)

lim v x × u x

-1

(1¥ ) = lim

(u ( x) -1) u( x)-1

= ex→a ( ) (

( )

) .

x®a

Примеры.

10. lim (2x - 3)

= (1)¥ =

x2 -5 x+6

x®2

x(2 x−4)

2 x( x−2)

−5x+6

(

)(

)

lim

x−2

x−3

= lim 1 +

(2x - 4)

2 x−4

= ex→2

= e−4.

x→2

5x - 2

x+3

= (1)

5x - 2

x+3

. lim =

= lim

1 +

-1

+ 4

x®¥

5x+ 4

−6

( x+3 )

-6

5x+

−6 lim

x+3

−

−6

= lim 1

= e

x→∞ 5x+ 4 = e 5 .

x→∞

5x + 4

-1

e 7

lim

= lim

y®0

× 7

126

2.19. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Рассмотрим отношение двух бесконечно малых величин. Это неоп-

	0			α ( x)		0	0
ределенность	0	и	lim	α ( x)	=	0	= ∞ .

	0			β( x)		0
	0		x → x0	β( x)		0

							const

Определение 2.19.1. Если предел отношения двух бесконечно ма- лых функций равен постоянному числу, то бесконечно малые функции

имеют одинаковый порядок малости.


Определение 2.19.2. Если	lim	α ( x)	=		0	= 1, то	α ( x) и	β( x)

	x→ x0	β( x)		0
называются эквивалентными	бесконечно			малыми			функциями	при
x → x0 . Записывают α ( x) ≈ β( x) или α ( x)						β( x) .
x→ x0				x→ x0

Свойства эквивалентных бесконечно малых величин:

1. if α β , то β α .

Доказательство:	По условию lim						α ( x)
Доказательство:	По условию lim						β( x)
			x	→ x0			β( x)
Рассмотрим lim	β( x)	= lim	1		=	1	= 1
Рассмотрим lim	α ( x)	= lim	α ( x)		=		= 1
x→ x0	α ( x)	x→ x0	α ( x)	1
			β( x)

2. if α β и β γ , то α γ .

= 1.

β( x) α ( x) .

x→ x0

Доказательство:

По

условию α ( x) β( x) lim

α ( x)

= 1,

β( x)

x→ x0

β( x) γ ( x) lim

β( x)

= 1.

γ ( x)

x→ x0

α ( x)

α( x)

Рассмотрим

lim

= lim

β( x)

= 1 α ( x) γ ( x).

γ ( x)

γ( x)

x→ x0

β( x)

127

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин

Из рассмотренных ранее замечаний, а также важных пределов следует:

Тригонометрические

Обратнотригонометрические

Логарифмические

Показательные

Степенные

1.	sin y		y ;
	y	→0
2.	tg y		y ;
	y→0
3.	1 - cos y					y	2	;

					2
		y→0			2
4.	arcsin y			y ;
		y	→0
5.	arctgy			y ;
		y→0
6.	ln (1 + y )					y ;
			y→0
7.	loga (1 + y )								y	;
7.	loga (1 + y )									;
				y	→0 ln a
8.	e y -1			y ;
		y→0
9.	a y -1			y × ln a ;
		y→0
10.	(1 + y )α -1							ay ;
				y	→0
11.	Ayn + Byn−1 + ... + Cy										Cy .
										y→0

Замечание 2.19.1. Таблицу эквивалентных бесконечно малых ве- личин используют для нахождения пределов. Например,

-1

1 + 2x

1 . lim

(1 + 2x)

-1

× 2x = x

= lim

=1.

x→0

x→0 x

y=2 x

20. lim

arcsin 7x

= lim

= -7 .

-x

x→0 x3

+ 3x2 - x 0

x→0

sin ( x - 3)

( x - 3)

. lim

x→3

- 5x + 6

x2 - 5x + 6 = ( x - 2)( x - 3)

x→3 x2

128

= lim

( x − 3)

= 1.

( x − 2)( x − 3)

x→3

40. lim

sin x + x2 − x4

sin x x

= lim

x + x2 − x4

x→0

2x − x3

x→0

x→0 2x − x3

(

) 1

= lim

x 1 + x − x3

x (2 − x2 )

x→0

Определение 2.19.3.

Если lim

α ( x)

= 0 , то говорят, что бесконечно

x→x0

β( x)

малая функция α ( x) более высокого порядка малости, чем бесконечно ма-

лая функция β( x) . Записывают: α ( x) = 0

(β( x)) или α ( x) β( x) .

1 − cos x

50. lim

1 − cos x

= lim

= 0

1 − cos x = 0( x) .

x→0 x

x→0 2

x→0 x

Определение 2.19.4. Если

lim

α ( x)

= ∞ ,

то

говорят, что α ( x)

x→x0

β( x)

меньшего порядка малости, чем β( x) , либо β( x) большего порядка мало-

сти, чем α ( x) . Очевидно, β( x) = 0(α ( x)) .
Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.
	α ( x)		∞		0
	α ( x)		∞
Сравнение бесконечно больших функций lim		=		=		∞
Сравнение бесконечно больших функций lim		=		=		∞
x →∞ β( x)			∞

					const

Определение 2.19.5. Если lim	α ( x)	= 0 , то бесконечно большая
	β( x)
x→∞

функция β( x) называется бесконечно большой более высокого порядка,

чем α ( x) , α ( x) β( x) .

Определение 2.19.6. Если lim	α ( x)	= ∞ , то бесконечно большая
	β( x)
x→∞

функция α ( x) является бесконечной большой более высокого порядка,

чем β( x) , т.е. β( x) α ( x) .

129

Определение 2.19.7.

Если

lim

( x)

= const ,

то бесконечно боль-

x→∞ f2

( x)

шие f1 ( x) и

f2 ( x) являются бесконечно большими одного порядка нео-

граниченного роста.

f ( x)

Определение 2.19.8.

Если

lim

= 1, то

f ( x) g ( x) . Имеет

x→∞ g ( x)

x→∞

место эквивалентность A xn + A

xn−1 + …+ A x + A A xn

при x → ∞ .

n−1

10. lim

7x3 − 6x2 + 7x + 3

= ∞

= lim

7x3

= lim

= 0 .

x→∞

8x7 − 7x + 1

∞

x→∞ 8x7

x→∞ 8x4

∞

Замечание 2.19.2. Можно доказать, что при x → +∞ , n N , a > 1

loga x xn ax xx .

2.20. Понятие односторонних пределов. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции

Определение 2.20.1. Если				x < x0 , то		lim f ( x) называют левосто-
						x→ x0
						x< x0
ронним пределом или пределом слева в точке x0 . Обозначают
		lim	f	( x),	lim	f ( x).
		x→ x0 −		x	→ x0−0
Определение 2.20.2. Если				x > x0 , то lim			f ( x) называют	право-
						x→ x0
сторонним пределом. Обозначают
		lim	f	( x),	lim	f ( x).
		x→ x0	+	x→ x0+0
Определение 2.20.3. Левосторонний и правосторонний пределы на-
зывают односторонними пределами.
Теорема 2.20.1. Если				односторонние			пределы	равны
lim f ( x) =	lim f ( x) = A , то предел функции						f ( x) в точке х0	суще-
x → x0 + 0	x → x0	+ 0
ствует и равен	lim	f ( x) = A .
	x→ x0

Замечание 2.20.1. Если односторонние пределы различны или хотя бы один из них не существует, то функция в рассматриваемой точке пре- дела не имеет.

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 3613 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf