Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Определение 3.17.1. Нормалью к кривой в точке M 0 ( x0 , y ( x0 )) на-

зывается перпендикуляр к касательной, проведенной в этой точке.

Задача 2. Составить уравнение нормали, проведенной к графику

функции в точке

M 0

( x0 , y ( x0 )) .

По (*) уравнение искомой прямой

у(х0)

М0

y − y ( x0 ) = kн ( x − x0 ) ,

kн = tg ϕ

Выразим угловой коэффициент нормали

х0

через угловой коэффициент касательной.

ϕ = 900 + α

kн = tg ϕ = tg (900 + α)

= − ctg α = −

= −

tg α

y′( x0 )

y − y ( x0 ) = −

( x − x0 )

– уравнение нормали к графику в точке

y′

( x0 )

M 0 (x0 , y ( x0 )).

Замечание.				у
Замечание.	Если касательная	в точке
( x0 , y ( x0 )) параллельна оси Ох, то		y′( x0 ) = 0 .	у(х0)		М0
Тогда			0		х0 х
y = y ( x0 ) –	уравнение касательной,		0		х0 х
y = y ( x0 ) –	уравнение касательной,
x = x0 – уравнение нормали.
					x = x (t ),
Задача 3.
Задача 3.	Точка движется в плоскости		хОу по закону		y = y (t ).

Найти скорость движения в некоторый момент времени, найти величину и направление скорости при t = t0 .

M 0 (x (t0 ), y (t0 ))

t0 М0

v = (x′(t ), y′(t )),

t =t0

= (x′(t0 ), y′(t0 ));

= ( x′ )2

+ ( y′ )2

;

величина скорости

′

yt′

направление скорости

tg ϕ = yx

xt′

221

Задача 4. Показать, что если луч света, исходящий из точки А, по- падает в точку В после преломления на плоской границе раздела двух сред, то оптическая длина этого луча меньше оптической длины любого другого пути, соединяющего точки А и В.

Решение. Не нарушая общности постановки задачи, можно счи- тать, что показатель преломления первой среды равен единице. Для опти-

ческой длины L ломаной, соединяющей точки А и В, имеем
			L =	a	+ n	b
							.
φ				cos ϕ		cos Ψ	.
a	φ n = 1		При этом должно выполняться геометриче-
			При этом должно выполняться геометриче-
K	С	М	ское условие, вытекающее из закона преломления
K	ψ	М	ское условие, вытекающее из закона преломления
	ψ	b	электромагнитной волны на границе раздела двух
	ψ	b	электромагнитной волны на границе раздела двух
	ψ		диэлектриков: a tg ϕ + b tg ψ = const ,					которое	вы-
		B	диэлектриков: a tg ϕ + b tg ψ = const ,					которое	вы-
		B	ражает постоянство длины проекций					КС и	СМ
			ражает постоянство длины проекций					КС и	СМ

на плоскость раздела сред. Для нахождения минимальной оптической дли-

ны пути необходимо, чтобы выполнялось соотношение dL = 0 , причем dϕ

ψ = ψ (ϕ) . Из дополнительного условия следует, что d (a tg ϕ + b tg Ψ ) = 0 . dϕ

Сопоставляя два соотношения, получим закон преломления света. В том, что этот закон действительно выражает условие минимума оптической длины светового луча, а не просто условие экстремума, можно убедиться,

d 2 L

исследуя знак второй производной dϕ2 (проверить самостоятельно).

3.18. Практические задачи на оптимизацию

Схема построения математической модели

1.По содержанию задачи вводится независимая переменная и опре- деляются её границы изменения.

2.Строится искомая (целевая) функция, в которой все выражения связаны с независимой переменной.

3.Определяются критические точки целевой функции с учетом ус- ловий задачи.

4.Исследуется целевая функция на локальный или глобальный экс-

тремум.

222

Пример. В данный шар с радиусом

4 вписать цилиндр, имеющий

наибольшую боковую поверхность.

Пусть х – радиус основания,

P = 2πr = 2πx , H = 2 AC , BA = 2 AC = 2 16 - x2 ;

Sбок. = P × H = 2px × 2 16 - x2 = 4px

16 - x2 ,

S′ = 0 ,

0 £ x £4;

S¢ = 4p 16 - x2 + 4px

×(-2x) =

2 16 - x2

16 - x2

16 - 2x2 = 0 ,

x1 = 2

, x2 = -2

у’

(х2 не удовлетворяет условию).

x = 2

–

Следовательно,

локальный

(0, 4) единственный

максимум. Целевая функция имеет на промежутке

экстремум. Так как х

не может принимать значения

х = 0,

х = 4 (в соот-

ветствии с практическими соображениями), значит, данный шар имеет наибольшую боковую поверхность при x = 22 .

Sнаиб = 4p × 22 16 - 8 = 32p .

3.19.Формула Тейлора и ее приложения

3.19.1.Формулы Тейлора и Маклорена

Формула	Тейлора позволяет приближать некоторую функцию
y = y ( x) , дифференцируемую n раз, к многочленам n-ной степени.
Задача.	Пусть функция y = y ( x) n раз дифференцируема в не-

которой области. Найти многочлен по степеням ( x - x0 ) , где x0 D , такой чтобы в точке x0 совпадали значения функции и многочлена, а также значе-

ния их производных до n-ного порядка включительно.

Решение.	Пусть		y = f ( x)	n раз дифференцируема в области D.
Искомый многочлен имеет вид
P ( x)	= a	+ a ×( x - x ) + a			×( x - x )2	+ ... + a	×( x - x	)n ,	(3.19.1)
n	0	1	0	2	0	n	0
где a1, a2, ,an	– неизвестные коэффициенты.
					223

По условию

x0 D

y ( x0 ) = Pn ( x0 ) y ( x0 ) = a0 ,

y′( x0 ) = Pn′ ( x0 ) y′( x0 ) = a1,

Pn′ = a1 + 2a2 ( x − x0 ) + 3a3 ( x − x0 )2 +

y′′( x ) = P ′′

( x )

y′′( x ) = 2a ,

P ′′ = 2a

+ 6a ( x − x

) + 4a

( x − x

)2 +

y′′′( x0 ) = Pn′′′ ( x0 ) y′′′( x0 ) = 3!a3,

Pn′′′ = 3!a3 + 8( x − x0 ) +

....................................................

...........................................

y(n) ( x

) = P

(n) ( x ) y(n) ( x

) = n!a

, P (n)

= n!a

a = y ( x

) ; a = y′( x ) ; a =

y′′( x

)

y′′′( x

)

y(n) ( x )

; a =

; …;

Подставляя a0 , a1, a2 , …, an в (3.19.1), получим

( x) = y ( x ) + y¢( x

)( x - x

) + ... +

y(n)

( x - x )n .

(3.19.2)

Многочлен Pn ( x) называют многочленом Тейлора для функции f ( x) .

С помощью многочлена Тейлора можно находить приближенные значения функции с определенной степенью точности.

Точность вычислений зависит от разности

Rn ( x) = y ( x) - Pn ( x) .

(3.19.3)

Rn ( x) – погрешность, допускаемая при замене y ( x) многочленом.

Rn ( x) называют остаточным членом. Очевидно, что

y ( x) = y ( x0 ) + y¢( x0 )( x - x0 ) + y¢¢( x0 ) × ( x - x0 )2 +

(3.19.4)

+... + y(n) ( x0 ) × ( x - x0 )n + Rn ( x). n!

Формулу (3.19.4) называют формулой Тейлора.

Для оценки Rn ( x) существует несколько формул. Получим две наи-

более используемые формулы.

Теорема 3.19.1. Если функция y ( x) (n + 1) раз дифференцируема в точке x0 D , то Rn ( x) = 0(( x - x0 )n ).

224

Доказательство.

1. По условию существует y′( x) . Следовательно, по теореме о свя-

зи предела и бесконечно малой функции имеем

y ( x) - y ( x0 )

= y¢( x

) + a

( x),

(3.19.5)

x - x0

где

a1 ( x0 ) ® 0

при x → x0 .

y′′( x ) $ a′

( x

) a

( x)ÎC

Так как

также и

}

. Но

lim a1 ( x) = 0 , значит, a1 ( x0 ) = 0 .

{x0

x→x0

Из равенства (3.19.5)

y ( x) = y ( x

) + y′( x ) ×( x - x

) + a ( x) ×

( x - x ) = P ( x)

+ R

( x),

(3.19.6)

Но

a1 ( x0 ) = 0 , следовательно,

R1 = a1 ( x)( x - x0 ) = 0 ×( x - x0 ) .

2. Так как существует a′

( x

) , то (по аналогии с п. 1)

a1 ( x ) = a1 ( x0 ) + a1¢ ( x0 )( x - x0 ) + a2 ( x ) × ( x - x0 ),

(3.19.7)

где a2 ( x0 ) = 0 .

Вычислим a1′ ( x0 ) . Продифференцируем дважды равенство (3.19.6):

	y¢( x) = y¢( x )						+ a ¢ ( x) × ( x - x ) + a ( x) ;
					0				1						0		1
	y¢¢( x) = a ¢¢( x) ×( x - x				) + a ¢( x) + a ¢( x) = a ¢¢( x) ×( x - x													) + 2a ¢( x) .
	1			0	1				1						1		0	1
Тогда y¢¢( x ) = 2a ¢ ( x ) a¢									( x ) =		y′′( x				)
													0			.
																.
	0	1			0		1		0		2
											2
Подставляя a′		( x ) в (3.19.7), будем иметь
	1	0
	a	( x) =		y′′( x )				×( x - x )			+ a			( x) ×( x			- x ) .
					0
												2
	1				2				0			2					0
					2
Подставим полученный результат в (3.19.6):
y ( x) = y ( x0 ) + y¢( x0 ) ×( x - x0 ) +								y¢¢( x0 )		×( x - x0 ) + a2							( x) ×( x - x0 ) ×( x - x0 ) =
y ( x) = y ( x0 ) + y¢( x0 ) ×( x - x0 ) +										×( x - x0 ) + a2							( x) ×( x - x0 ) ×( x - x0 ) =
									2
= y ( x	) + y¢( x )( x - x ) +		y¢¢( x0 )			×( x - x )2					+ a				( x) ×( x - x )2			=
= y ( x	) + y¢( x )( x - x ) +					×( x - x )2					+ a		2		( x) ×( x - x )2			=
0	0	0			2				0				2				0
					= P2 ( x) + R2 ( x) ,													(3.19.8)

где R2 ( x) = a2 ( x) ×( x - x0 )2 . Так как a2 ( x0 ) = 0 , R2 ( x) = 0(( x - x0 )2 ).

225

Рассуждая аналогичным образом для функции α2 ( x) , будем иметь

a2 ( x ) = a2 ( x0 ) + a2¢ ( x0 ) × ( x - x0 ) + a3 ( x ) × ( x - x0 ) a¢2 ( x0 ) = y′′′( x0 ) . 3!

Тогда

a¢¢2 ( x) = f ′′′( x0 ) ×( x - x0 ) + a3 ( x) ×( x - x0 ) . 3!

Подставим это выражение в (3.19.8):

y ( x)

= y ( x ) + y¢( x)( x - x

) +

y′′( x )

( x - x )

y¢¢¢( x0 )

(3.19.9)

( x - x

)3 + a

( x)( x - x

)3 = P ( x)

( x).

+ R

Так как

a3 ( x0 ) = 0 , то

R3 ( x) = 0(( x - x0 )3 ).

Продолжая указанную процедуру, далее будем иметь

y ( x) = P ( x) + a

n−1

( x)( x - x )n−1 ,

где α

( x ) =

y(n) ( x

)

y ( x) = P ( x)

+ α

( x)( x − x

) = P ( x)

+ α

( x)( x − x ).

n−1

Rn ( x) = 0(( x - x0 )n ). Теорема доказана.

Так как

an ( x0 ) = 0 , то

Определение 3.19.1.

Остаточный член

Rn ( x) = 0(( x - x0 )n )

называ-

ется остаточным членом, записанным в форме Пеано.

Теорема 3.19.2. Если y ( x)ÎC(n+1)

( x0 )

x Î D , то остаточный член в

формуле Тейлора имеет вид

R ( x)

y(n+1) (c)

× ( x - x )n+1 ,

(n + 1)!

где

x0 < c < x .

Доказательство. В теореме 3.19.1 было показано, что при соблю-

дении её условий выполняется равенство

y ( x) = y ( x

)

+ y′( x

)( x - x

) + a

( x)( x - x

) = P

( x) + R ( x) .

226

Оценим функцию R1 ( x) с помощью теоремы Лагранжа: 1. a1 ( x) ÎC[x0 ;x] , так как существует y′′( x) .

2. a1 ( x) ÎC(′x0 ;x) , так как существует y′( x0 ), x0 Î D , на отрезке [ x0 ; x] выполняется условие теоремы Лагранжа.

a	( x	) = 0 , получим			a	( x)	= a	( x)	- a		( x		) = a′	(c ) ( x - x			) ,
1	0				1		1		1		0		1		1	0
		′	(c1 ) =	y′′(c )			α1 ( x) =			y′′(c )		( x − x0 )				R1 ( x) =
					1						1

му 3.19.1) α1					2				2
					2				2

следовательно,

Учитывая, что

где (см. теоре-

y′′(c1 ) ( x − x0 )2 . 2

Проведем аналогичные рассуждения для произвольного n: y ( x) = Pn ( x) + Rn ( x) = Pn ( x) + αn ( x)( x − x0 )n .

Оценивая αn ( x) по теореме Лагранжа, будем иметь

( x) = α

( x)

− α

( x

) = α′

)( x − x

), где c ( x , x).

Из теоремы 3.19.1 имеем a¢

)

y(n+1) (c

)

(n +1)!

Таким образом, a

( x) =

y(n+1) (c

)

×( x - x

) , тогда

+1)!

R ( x)

= a

( x)( x - x )

y(n+1) (c

)

( x - x

)

n+1

. Теорема доказана.

+1)!

Определение 3.19.2. Остаточный член

( x) =

y(n+1) (c)

( x - x

)

n+1

, где

(n +1)!

c Î( x0 , x) называется остаточным членом, записанным в форме Лагранжа.

Доказательство теорем 3.19.1, 3.19.2 обязательно для студентов, претендующих на получение оценки «9» или «10».

Теорема 3.19.3. Если lim R		( x) = 0 , то формула Тейлора позволяет
n→∞	n
x D

y ( x) заменить приближенно на Pn ( x) , причем Rn ( x) - погрешность при-

ближения.

При n = 1 получаем из формулы Тейлора формулу приближения функции с помощью дифференциала 1-го порядка.

При x0 = 0 формула Тейлора принимает вид

y ( x) = y (0) + y¢(0) × x + y¢¢(0) x2 + ... + y(n) (0) xn + Rn ( x) (3.19.10) 2! n!

Формулу (3.19.10) называют формулой Маклорена.

227

y( IY )

……………

3.19.2. Применение формулы Маклорена

10. Разложение функций y = sin x , Маклорена.

I. y = sin x			y (0) = 0
y′ = cos x			y′(0) = 1
y′′ = −sin x			y′′(0) = 0
y′′′ = − cos x			y′′′(0) = −1
y( IY ) = sin x			y( IY ) (0) = 0
……………		……………
sin x = x −	x3	+	x5	− ... + (−1)n+1

3!		5!

y = cos x , y = ex по формуле

2n−1

( x − ) + Rn ( x)

2n 1 !

sin x =

II.y = cos x y′ = −sin x y′′ = − cos x y′′′ = sin x

= cos x

cos x = 1 − x2 2!

n			k +1		x	2k −1
∑(		−1)			x			+ Rn ( x) .

				(
k =1				(	2k −1)!
	y (0) = 1
	y′(0) = 0
	y′′(0) = −1
	y′′′(0) = 0
	y( IY ) (0) = 1
	……………
+	x4		+ ... + (−1)n+1				x2n−2		+ R	( x)
+			+ ... + (−1)n+1				(2n − 2)!		+ R	( x)
4!									n
4!

k +1

2k −2

cos x = ∑(−1)

+ Rn ( x) .

(

2k − 2)!

k =1

III. y = ex

y (0) = 1

y′ = ex

y′(0) = 1

……

……….

y(n) = ex

y(n) (0) = 1

ex = 1 + x +

+ ... +

+ R

( x) ,

ex = 1 + ∑

+ R

( x) .

k =1 k !

228

Замечание. Аналогично выводят формулы приближения функций

ln (1 + x) = x -

- ... + (-1)n −1

+ R

( x),

(1 + x)m =1 + mx +

m(m -1)

x2 + ... +

m(m -1)(m - 2)(m - n +1)

xn + R

( x) ,

=1 - x + x2 - x3 + ... + (-1)n xn + R ( x).

1 + x

Упражнение. Разложить по формуле Маклорена:

а) y = xe2 x ;

	1
б)	y =		;
		x2 + 4
в)	y = sin2 x .

20. Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора

Приближение с помощью дифференциала дает довольно грубую по- грешность. Если требуются более точные расчеты, то используют формулу Тейлора.

Пример.

Вычислить значение е с точностью ε = 0,01.

Воспользуемся формулой Маклорена:

ex =1 + x +

+ ... +

+ R

( x) .

Тогда,

e =1 +1 +

+ ... +

+ R (1) .

2 3! 4!

По условию

Rn ( x)

< 0,01.

Так как

R ( x)

yn +1 (c)

× xn +1

, то R (1) =

< 0,01.

(n +

(n + 1)!

1)!

Определим, при каком n выполняется последнее неравенство.

n = 1,	3		=1,5 > 0,01;
	2

n = 2 ,	3	=			1		> 0,01;
	6				2

n = 4 ,	3			=		1		> 0,01;

	5!				40

229

n = 5 ,

» 0,004 < 0,01.

240

Тогда e =1 +1 +

» 2,717 » 2,72 .

30. Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора (выделение

главной части)

Примеры.

- sin x2

lim

x→0

Применение правила Лопиталя здесь не выгодно (пришлось бы «ло-

питалить» 6 раз!).

Применение эквивалентных бесконечно малых невозможно, т.к.

sin x2

x2 , следовательно, (x2 - sin x2 ) имеет более высокий порядок ма-

x→0

лости, чем любая из эквивалентных бесконечно малых.

sin x2 = x2 -

+ ... + (-1)n+1

x4n−2

+ 0

(x4n−2 )

(2n -1)!

x2 - x2 +

+ 0(x6 )

0(x6 )

lim

= lim

+ lim

x→0

→0 x6

x→0

lim x − x

2 ln 1

= lim x − x2

−

+ 0

= lim

2x2

x→∞

cos x -1 +

1 -

+ 0(x4 ) -1 +

lim

= lim

x→0

Задачи для самостоятельного изучения

1 - (1 + x2 )

× cos x

1 -

1 + x

× cos x

lim

= lim

tg4 x

x →0

(

1 - 1

x2 +

x4 + o

+ o

)

2 24

)

= lim

x→0

230

<<< < Предыдущая 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2223 / 3623 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf