14-es / Высшая математика (РТФ) / умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

словой последовательности { xn }n N ,

сходящейся к x0 , соответствующая

последовательность значений функции { f ( xn )}n N

сходится к А.

Замечание 2.9.1.

Определение предела функции по Гейне удобно

для доказательства того, что функция не имеет предела.

Пример:

Доказать, что

lim sin

1

не существует.

x

x

→∞

Решение.

Рассмотрим

x

=

1

® 0 ,

sin

1

= sin(2pn) = 0 .

n

2pn n→∞

xn

x¢

=

1

® 0;

sin

1

= sin( π + 2pn) =1.

p

n

+ 2pn

n →∞

x¢

2

2

n

Следовательно, функция

y = sin

1

при x → 0

предела не имеет.

x

Упражнение.

Доказать, что

lim cos x не существует.

x→∞

Определение 2.9.2. (по Коши).

Число

A

называется пределом

ла ε > 0 существует число dε > 0

(зависящее от ε)

такое, что для всех

x ¹ x0 , удовлетворяющих неравенству

x - x0

< dε ,

(2.9.1)

выполняется неравенство

f ( x) = A

f (x) - A

< e .

(2.9.2)

lim

Û "e > 0 $dε > 0

"x ¹ x0 и

x - x0

< dε

x → x0

f ( x) - A

< e .

Замечание 2.9.1. Выясним

геометрический

смысл

неравенств

(2.9.1), (2.9.2).

x - x0

< dε Û

x0 - dε < x < x0 + dε

неравенство (2.9.1) означает,

что x Îdε –

окрестности точки x0.

f ( x)

- A

< e Û A - e < f ( x) < A + e неравенство (2.9.1) означает,

се, когда

x → x0

(в окрестности точки

х0 или бесконечно удаленной точ-

ки), если

lim

f (x) = 0 .

x→x0

( x→±∞)

lim f (x) = 0 Û " ε > 0 $ δε

> 0, "x ¹ x0

x→x0

f ( x)

и

x - x0

< dε выполняется неравенство

< e .

Например,

1.

y =

1

–

бесконечно малая функция при

x ® ±¥. lim

1

= 0 .

x

x→±∞ х

limlog5 x = 0 .

x→1

Основные свойства бесконечно малых функций

Теорема 2.10.1.

Сумма двух бесконечно малых функций в ок-

рестности точки

x0 есть БМФ в окрестности этой точки.

Дано:

f(x) и

g(x) –

бесконечно малые функции в окрестности

точки

x0 .

( f ( x) + g ( x))

Доказать:

– БМФ.

Доказательство: lim f (x) = 0 "

e

$ dε¢ > 0 такое, что для " x ¹ x0

2

x→x0

и

x - x

< d ¢

f ( x)

<

e

.

0

ε

2

e

По условию lim g ( x) = 0

"

$

dε¢¢ > 0

такое, что " x ¹ x0

x→x0

2

x - x

< d ¢¢

g ( x)

<

e

в меньшей из окрестностей выполняются два

0

ε

2

e

условия "

$ dε = min{dε¢, dε¢¢} такое, что " x ¹ x0 и

x - x0

< dε

2

f ( x) + g ( x)

£

f ( x)

+

g ( x)

<

ε

+

ε

= e

2

2

Дано:

lim f (x) = 0 ,

g ( x)

< M в окрестности точки x0 .

x→x0

f1 ( x) → 0

→ 0 ,

где M ¹ 0 .

f2 ( x) → M

Теорема 2.10.4.

Величина, обратная бесконечно малой функции

имеет своим пределом +∞ или – ∞.

Доказательство:

Пусть f ( x) – БМФ,

следовательно,

по опреде-

лению 2.10.1

lim f ( x) = 0 . Значит, ε > 0

δε > 0 такое, что " x ¹ x0 и

x→x0

x − x0

< δε

f ( x)

< ε ,

следовательно,

по

свойству

неравенств

1

1

1

>

,

но

= M – большое число.

f ( x)

ε

ε

1

= ±∞ .

По определению 2.9.3 функция lim

x→x0 f ( x)

Теорема 2.10.5. (Необходимое и достаточное условие существова-

ния предела).

Для того чтобы функция y = f ( x)

при x → x0 имела конеч-

ный предел А, необходимо и достаточно,

чтобы в окрестности точки x0

f ( x) можно было бы представить в виде суммы этого предела и БМФ.

lim f ( x) = A ,

в окрестности точки

x0

f ( x) = A + α ( x) ,

x→x0

где

α ( x) → 0 , при

x → x0 .

114

Определение 2.11.1. Бесконечно большой в окрестности точки

x0

называется такая функция, для которой lim

f ( x) = ¥ .

x→ x0

Свойства бесконечно больших функций

Теорема 2.11.1. Величина, обратная ББФ в окрестности точки

x0 ,

есть БМФ.

Теорема 2.11.2. Сумма любого числа бесконечно больших функций

одного знака есть ББФ.

(∞ + ∞ + ∞ + … ) =

∞.

Теорема 2.11.3. Произведение бесконечно большой функции

на

функцию, ограниченную в данном процессе, есть ББФ.

Пусть существуют конечные пределы

lim f1 ( x) = A ,

lim f2 ( x) = B ,

x→ x0

x→ x0

тогда справедливы следующие теоремы.

Теорема 2.12.1.

lim const = const .

x → x0

Теорема 2.12.2.

lim c × f1 ( x) = c × lim

f1 ( x) = c × A .

x→ x0

x→ x0

Доказательство:

Пусть lim f ( x) = A . По теореме 2.10.5 в окрест-

x→ x0

ности точки х0 имеем, что

f ( x) = A + a( x) , где a( x) ® 0 при х → х0. То-

гда c × f ( x) = c × A + c × a( x) ,

но по свойству бесконечно малых функций

lim c f ( x) = cA = c × lim f ( x) .

x→ x0

x→ x0

115

lim ( f1 ( x) ± f2 ( x)) = lim f1

( x) ± lim

f2 ( x) = A ± B .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Доказательство: lim

f1 ( x) = A ,

по

теореме

2.10.5,

x→ x0

при х → х0.

f1 ( x) = A + a( x) , где a( x) ® 0

lim f2 ( x) = B , по теореме 2.10.5

f2 ( x) = B + b( x) , где b( x) ® 0

x→ x0

где

(α ( x) ± β( x)) → 0

при

x → x0 как алгебраическая сумма конечного

числа БМФ в окрестности точки х0, следовательно, по теореме 2.10.5

lim ( f1 ( x) ± f2 ( x)) = A ± B = lim

f1 ( x) ± lim

f2 ( x) .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

Теорема 2.12.4.

lim

f1 ( x) × f2 ( x) = lim f1 ( x) × lim

f1 ( x) = A × B .

x→ x0

x→ x0

x→ x0

(Доказать самостоятельно).

f1

( x)

lim f1 ( x)

A

Теорема 2.12.5.

lim

=

x→ x0

=

,

если В ¹ 0.

f2 ( x)

x→ x0

f2

( x)

lim

B

x→ x0

Доказательство:

По условию,

lim

f1 ( x) = A . Тогда по теореме

x→ x0

2.10.5 имеем, что

f1 ( x) = A + a( x) , где

a( x) –

БМФ, или a( x) ® 0 при

x → x0 . С другой стороны,

lim f2 ( x) = B . Тогда по теореме 2.10.5 имеем,

x→ x0

что

f2 ( x) = B + b( x) , где b( x) ® 0 при

x → x0 .

Рассмотрим

f ( x)

A + a( x)

A + a( x)

=

-

A

A

=

1

=

+

f2 ( x)

B + b( x)

B + b( x)

B B

=

A

+

A × B + a( x) × B - A × B - A ×b( x)

=

A

+

(B × a( x) - A ×b( x))

® 0 .

B

B (B + b( x))

B

B (B + b( x))

могут быть получены выражения вида

0

,

¥

,

(1∞ ), (¥ - ¥) ,

(0 × ¥).

¥

0

0

x3

∞

1

1

1

1

. lim

=

= lim

= lim

=

= ∞

x + x − 1

1

x −1

x→∞

x + x −1

∞

x→∞

x→∞

+

0

x3

x2

x6

Правило 2. Пусть рассматривается

lim

Pn ( x)

= lim

an xn + ... + a0

и

lim Pn ( x) = 0 ,

lim Qm ( x) = 0 .

x→ x0 Qm ( x)

x→ x0 b xm + ... + b

x→ x0

x→ x0

m

0

Тогда неопределённость вида

0

может быть раскрыта:

0

1) делением числителя и знаменателя дроби на выражение ( x − x0 );

2) разложением числителя и знаменателя на множители.

x2 − 5x + 6 = ( x − 2)( x − 3)

2x2 − 3x − 2 = 0