Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

3.5.2.Производная сложной функции. Производная обратной функции

Теорема 3.5.2. Если u = j( x)	имеет производную в точке x (суще-
′	y = f (u )	имеет производную в точке
ствует конечная производная ux ), а
u = u ( x) (существует конечная производная		fu′ ), то функция y = f (u ( x))

имеет производную в точке x (существует конечная производная fx′ ), ко-

торая определяется по формуле

y¢	=	dy	=	df	×	du	= f ¢ ×u¢	( y → u → x ).

x		dx		du dx			u x

Доказательство.			Дадим переменной x приращение Dx, тогда u(x)
получит приращение Du, а y = f (u ) получит приращение Dy.
По условию теоремы				f(u) дифференцируема в точке u(x), следова-
тельно, по теореме 3.3.1

где a(Du ) ® 0 .

u→0

Вычислим

= f ¢ lim	u + u¢
u	Dx	x
x →0	Dx

Dy = fu′Du + a(Du ) × Du ,

y¢x

= lim

f ′ × Du

+ a(Du) ×

lim

x→0

′

− существует (по условию),

lim a(Du )

′

lim

u = 0,

α ( u ) → 0

= fu

×ux .

x →0

Теорема 3.5.3.

Если

функции

y = y ( x) и

x = x ( y )

взаимно-

′

¹ 0

′

, то

обратные дифференцируемые функции и xy

x′y

Доказательство.

По

условию

теоремы

x′y

= lim

x ,

x→0

′

= lim

lim

. Поскольку

, то

′

x→0

x →0

lim

y →0

191

3.5.3.Таблица производных

1.(un )¢ = n × un−1 × u¢ ;

2.x′ = 1 ;

3.(u )¢ = 2 1u ×u¢;

4.	1	¢	= -	1	×u¢;

				u2
	u

5.(sin u )¢ = cosu × u¢ ;

6.(cosu )¢ = -sin u ×u¢;

7.	(tgu )¢ =		1		×u¢;
		cos2 u

8.	(ctg u )¢ = -		1			×u¢;

			sin
				2 u

9.(au )¢ = au × ln a ×u¢ ;

10.(eu )¢ = eu ×u¢;

11.

(loga u )¢ =

× u¢;

× ln a

12.

(ln u )¢ =

×u¢;

13.

(arcsin u )¢ =

×u¢;

1 - u2

14.

(arccos u )¢ = -

×u¢;

1 - u2

15.

(arctg u )¢ =

× u¢;

+ u 2

16.

(arcctg u )¢ = -

× u¢ ;

+ u2

17.(sh u )¢ = ch u × u¢ ;

18.(ch u )¢ = sh u × u¢ ;

19.	(th u )¢ =	1			× u¢ ;

		ch2 u
20.	(c th u)¢ = -			1		×u¢ .

			sh2 u

- степенные

-тригонометрические

-показательные

-логарифмические

- обратнотригонометрические

- гиперболические

192

Замечание 3.5.2.

1.Формулы (1) – (12) получают, используя определение производ- ной, (7) – (8) – используя правила дифференцирования частного, а также производные sin x и cos x.

2.Формулы (13) – (16) получают, используя теорему о производ- ной взаимно-обратных функций.

Выведем, например формулу 14. Рассмотрим функцию y = arccos x ,

D( y) = [−1; 1] , E( y) = [0; π] .

В D( y) функция обратима: x = cos y , тогда по теореме 3.5.3

y¢

= -

sin y = ± 1 - x2

= -

x¢y

(cos y )¢

(sin y )¢

y Î[0; p] sin y = 1 - x2

- x2

Формулы 13, 15, 16 доказать самостоятельно.

Вычислить производные и дифференциалы следующих функций:

		2					3										= 2 × x−2 - 3 × x−											4
10. y =		2		-			3		+ 5					x														3
10. y =		x2		-					+ 5					x														3
		x2				3 x4
y¢ = 2(x−2 )¢											4	¢			+ 5(								)¢ =
y¢ = 2(x−2 )¢					- 3 x− 3										+ 5(						x		)¢ =


													4						−	4		−1			5
													4						−			−1			5
= 2 ×(-2) × x−3 - 3 × -																		× x	3					+			=
													3						3

																								2		x
	-4				4							5
dy =		3	+					+								dx .


	x				3 x7					2
	x				3 x7					2			x

+ 5 x .

−4	+		4	+	5		;
x3					2
		3 x7				x

20. y = sin2 x – сложная функция (участвуют степенная u2 и триго-

нометрическая sin u ).

(u2 )¢ = 2u ×u¢ ;

y¢ = 2sin x ×(sin x)¢ = 2sin x × cos x = sin 2x ; dy = sin 2xdx .

30. y = cos x2 – сложная функция (участвуют cos u и u2 ).

193

y¢ = -sin x2 × 2x = -2x sin x2 ;

dy = -2x sin x2dx .

40. y = 2tg 7 x – участвуют производные функций:

− показательная			2u : (2u )¢ = 2u × ln 2 × u¢;
− тригонометрическая						tg u : (tg u )¢ =	1	× u¢;

							cos2 u
							cos2 u
− линейная 7x : (7x)¢ = 7 .
y¢ = 2tg 7 x × ln 2 ×			1		× 7 ;

		cos2
		cos2		7x
dy =	7 × ln 2 × 2tg 7 x		× dx .
dy =	cos2 7x		× dx .
	cos2 7x

50. y = arctg 5 x .

y′ = (arctg5

)¢ =

×5 x × ln 5 ×

1 + (5

dy =

5 x

× ln 5 ×

dx.

2 ×

1 + 52 x

3.6. Бесконечная производная, односторонние производные

Определение 3.6.1. Если для некоторого значения x выполняется одно из условий

lim	y = +¥ или	lim	y = -¥ ,
x→0	Dx	x→0	Dx
то говорят, что в этом случае в точке		x функция имеет бесконечную
производную.

	Замечание 3.6.1. Геометрическое истолко-
	вание производной как углового коэффициента ка-
	сательной к графику распространяется и на этот
x	случай:
x	касательная параллельна оси Oy.

194

Определение 3.6.2. Если отношение	y	при x → 0 имеет предел
	Dx

справа (или слева), то этот предел называется производной справа (слева).

Такие пределы называют односторонними и обозначаются:

f ¢ ( x ) =

lim

y ;

f ¢

( x ) =

lim

y .

x→+0

−

x→−0 Dx

Имеет место следующая теорема.

Теорема 3.6.1.

Функция

y = f ( x), определенная в некоторой ок-

рестности точки x0, имеет производную

′( x )

тогда и только тогда, когда

f ′ ( x

) = f ′ ( x ).

−

f ′( x

) $ Û f

′ ( x

)

= f ′ ( x ).

−

Примеры.

10 . Доказать, что функция

f ( x) =

, x < 0

не дифференцируема в

sin x, x ³ 0,

точке x = 0 .

Решение.

Первый способ.

Вычислим

f ¢ (0) = lim

sin x

=1;

(0) = lim

Dx2 = 0 .

x→0

−

x→0

x>0

x<0

Таким образом, получим, что производные слева и справа различны. Значит, функция в точке x = 0 не дифференцируема.

Второй способ.		Вычислим		f ¢ (0) = (sin x)¢		= cos x		=1;
Второй способ.		Вычислим		f ¢ (0) = (sin x)¢		= cos x		=1;
f−¢ (0) = (x2 )¢				+		x=0	x=0
				+			x=0

		= 2x	x=0 = 0 . Так как		f+′ (0) ¹ f−′ (0),		то функция в


	x=0
	x=0
точке x = 0 не дифференцируема.
20 . Доказать, что функция				0,	если x рационально,
20 . Доказать, что функция				f ( x) =				диффе-

x2 , если x иррационально

ренцируема в точке x = 0 .

195

Решение.

Имеем f (0) = 0.

Пусть

x → 0 , пробегая рациональ-

ные значения. Тогда f (0 + Dx) = f (Dx) = 0 , а значит,

lim

= lim

f (0 + Dx) - f (0)

= 0 .

x→0

Если

x → 0 , пробегая иррациональные значения, то f (0 + Dx) = Dx2

и lim

= lim

(0 + Dx)

- f (0)

lim

2 - 0

= 0 .

x→0

x→0 Dx

Таким образом, оба односторонних предела совпадают. Значит,

функция f ( x)

дифференцируема при

x = 0 . Обратим внимание на тот

факт, что заданная функция разрывна во всех точках, кроме

x = 0 .

30 . Показать, что функция

f ( x) = x2 sin

, если x ¹ 0,

разрывна при

если x = 0

x = 0 .

При

x ¹ 0 производную вычислим по формулам дифференцирова-

ния f ¢( x) = 2x sin

- cos

Значение производной при

x = 0

вычислим непосредственно по оп-

ределению:

(Dx)2 sin

f ¢( x) = lim

= lim Dx sin

= 0 ,

x→0

→0

т.к. функция sin

– ограниченная, а

x → 0 . Таким образом, функция

f ( x) имеет производную x . Однако

lim

f ′( x) не существует, т.к.

x→0

lim 2x ×sin

= 0 ,

lim cos

не существует. Отсюда следует, что произ-

x→0

водная заданной функции разрывна при x = 0 .

Упражнение. Показать, что следующие функции не имеют про-

изводных в указанных точках:

f ( x) =

x × sin

, если x ¹ 0,

в точке x = 0 .

если x = 0

196

( ) = x2 , если x рационально, 2. f x

-x2 , если x иррационально

от нуля.
		x			, если x ¹ 0,

		1
3.	f ( x) = 1 + e
3.	f ( x) = 1 + e		x
					если x = 0
	0,				если x = 0
				1
4.	f ( x) = x × arctg						, если x	¹ 0,
4.	f ( x) = x × arctg					x	, если x	¹ 0,
	0,						если x = 0

влюбой точке, отличной

вточке x = 0 .

3.7. Производная функции, заданной неявно

Аналитически неявная функция задается уравнением, неразрешен- ным относительно x или y:

		F ( x, y ) = 0 .					(3.7.1)
	Теорема 3.7.1. Если функция y = y(x) , заданная неявно уравнени-
ем	F (x; y) = 0 , дифференцируема, то
		y¢ = -	Fx′	,
		y¢ = -		,
		x	Fy¢
		x
где	Fx′ –	производная функции F ( x, y )			по переменной	x	в предложе-
нии, что y = const ,
	′	производная функции F ( x, y)			по переменной	y	в предложе-
	Fy –	производная функции F ( x, y)			по переменной	y	в предложе-

нии, что x = const .
		Доказательство. Пусть			функция y = y(x)					задана	уравнением
F (x; y) = 0 . Продифференцируем уравнение по переменной											x, считая x
независимой				переменной, а	y	–		зависимой. Тогда будем иметь
′	′	′	′	= 0 . Учитывая, что		′	= 1, получим
Fx × xx		+ Fy	× yx	= 0 . Учитывая, что		xx	= 1, получим
					y¢ = -			Fx′	.		(3.7.2)
					y¢ = -				.		(3.7.2)
						x		Fy¢
						x
		Замечание. Для определения производной функции, заданной неяв-
но,	не обязательно пользоваться формулой (3.7.2).									В выводе формулы

197

(3.7.2) указан еще один способ вычисления производной функции, задан-

ной неявно: дифференцируем уравнение по переменной

x, считая y функ-

′

цией, затем из нового уравнения выражаем yx .

= cos (3y + x).

′

1 . Задана функция: x y + e

Определить

yx .

Первый способ. Воспользуемся формулой (3.7.2). В нашем случае

F ( x, y)

= x3 y + exy - cos(3y + x).

′

Вычислим

y + e y + sin (3y + x)

= x + e

x + sin (3y + x)3.

Fx = 3x

; Fy

Тогда по формуле (3.7.2): y¢ = -

(sin

(3y + x) + yexy

+ 3x2 y )

(x3

+ xexy + 3sin (3y + x))

Второй способ. Вычислим

′

, дифференцируя заданное уравнение по

′

переменной x, считая y функцией, затем из нового уравнения выразим yx .

3x2 y + x3 y¢ + exy

( y + xy¢ ) = -sin (3y + x) ×(3y¢

+1) ,

x3 y¢ + exy × xy¢

+ 3y¢ sin (3y + x) = -sin (3y + x) ,

y′x (x3 + xexy + 3sin (

3y + x)) = −sin (3y + x) − yexy − 3x2 y .

′

= −

(sin

(3y + x) + yexy + 3x2 y )

Отсюда, yx

(x3

+ xexy + 3sin (3y + x))

3.8. Производная функции, заданной параметрически

Теорема 3.8.1. Пусть функция y = y(x) задана параметрически

y = y (t ),

x = x (t )

и функции x(t) , y(t) дифференцируемы в области определения перемен-

ной t, тогда

′	=	yt′	.	(*)
yx		xt′

198

Доказательство.

Так как

y = y(x)

задана параметрически, то из

первого уравнения следует:

t = t(x) , из

второго

уравнения

следует:

y = y(t(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом

t. Тогда по

теореме о производной сложной функции

′

и по теореме о про-

yx =

×tx

изводной обратной функции

′

yt¢

. Что и

xt′

. Отсюда следует, что yx

xt′

требовалось доказать.

= cos

′

1 . Задана функция:

Найти

= sin t2.

yx .

Согласно формуле (*) будем иметь

y¢ = (cos3 t )¢t = 3cos2 t ×(-sin t ) .

(sin t 2 )¢

cos t2 × 2t

3.9. Логарифмическая производная

Определение 3.9.1.

Пусть функция

y = f (x)

(3.9.1)

имеет производную, а также имеет смысл выражение ln f (x) . Тогда лога-

рифмируя равенство (3.9.1), получим

	ln y = ln f ( x) .						(3.9.2)
Дифференцируя (3.9.2), будем иметь:
		y′	= [ln f (x)]¢ .				(3.9.3)
			= [ln f (x)]¢ .				(3.9.3)
		y
Выражение, стоящее в левой части уравнения (3.9.3), называют лога-
рифмической производной.
Из (3.9.3) следует	y¢ = y ×[ln f (x)]¢ .
Замечание.
1. Из (3.9.3) выразим
y¢ = y × ln f ( x) ¢				= f ( x)	ln f ( x) ¢	.	(3.9.4)
				x		x

199

2. С помощью логарифмической производной вычисляют произ-

водные степенно-показательной функции y = [u(x)]v( x) , а также производ-

ные функций, которые представляют собой громоздкие выражения, но по- сле логарифмирования разворачиваются в алгебраическую сумму лога- рифмов более простых функций.

Примеры. Вычислить производные функций: 10. y = (tg x)3 x7 .

Воспользуемся формулой (3.9.4):

′

y′ = (tg x)

3 x7

(tg x)

ln (tg x)

= (tg x)

(3 x7 )′ ln (tg x) + 3 x7 (ln (tg x))′

= (tg x)

x 3 ln (tg x) + 3 x7

tg x

cos2 x

20. y = 7

( x + 3)5 ( x - 7)4

(2x - 3)3 (3x +1)6

ln y = ln

( x + 3)5 ( x - 7)4

(2x - 3)3 (3x +1)6

(

)

(

)

(

)

(

))

5ln

x +

+ 4ln

− 7

−

3ln

− 3

−

6ln

3x + 1

Тогда, согласно формуле (3.9.4),

y′ = 7

( x + 3)5 ( x − 7)4

(2x − 3)3 (3x + 1)6

(5ln ( x + 3) + 4ln ( x − 7) − 3ln (2x − 3) − 6ln (3x + 1)) ′

( x + 3)5 ( x − 7)4

−

(2x − 3)3 (3x + 1)6

+ 3 x

− 7 2x − 3 3x

+ 1

200

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf