умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

в) ln (1 − x2 ) .

; б) y = 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

11) lim (2x + 3) ln ( x + 2) − ln x .

Ответ:

x→∞

II.

Для заданных функций найти эквивалентные в соответствующем

процессе величины:

20 + 5x − 8x2 + 5x3

Ответ: 5x3 ;

x→∞

3x + x3

Ответ: 3x ;

x→0

x2 tg x

Ответ: x3 ;

x→0

+ sin x

Ответ:

x ;

tg x + 2x

x→0

Ответ: 3x ;

x→0

1 − cos5x

Ответ:

25x2

;

e2 x −1

x→0

Ответ: 2x ;

x→0

ln (5x2 + 3x + 1)x→

0 .

Ответ: 3x .

III. Вычислить с помощью эквивалентных:

sin

2 x

lim

Ответ:

;

x→0

lim

tg (6x − 3)

Ответ: 3;

x→

sin (2x −1)

1 − cos3x

lim

Ответ: 0;

x→0

sin 7x

ex+1 −1

lim

Ответ:

;

x→−1 2x +

lim

arctg 7x

Ответ:

−

x→0 5x2 − 3x

IV.

1. Установить область непрерывности функций и найти их точки разрыва:

171

2. Исследовать на непрерывность и сделать схематический чертеж

x − 3,	x < 0
f ( x) = x + 1, 0 ≤ x ≤ 4 .
	x > 4
x2 + 3,

V. Найти соответствие между условием и графиком. Ответ предста-

вить в виде: 1) - …			; 2) - …; 3) - …; 4) - …;	5) - …; 6) - …				f ( x) = −∞,
					lim			f ( x) = −∞,
1.	lim	f ( x) = 0 ;					−
1.	lim	f ( x) = 0 ;		4. x →2				f ( x) = +∞;
	x→±∞					lim		f ( x) = +∞;
					x →2+
2.	lim f ( x) = +∞ ;			5.	lim f ( x) = −1;
	x→0		( x) = +∞,		x→0			f ( x) = −1,
	lim	f	( x) = +∞,		lim			f ( x) = −1,
3.	x →2−			6.	x →+∞
3.		f	( x) = 0;	6.		lim		f ( x) = 0.
	lim	f	( x) = 0;			lim		f ( x) = 0.
	x →2+				x →−∞
I. y			II.					III.
			y					y

		0	x	0	2	x
0	2	x	–1

IV.		V.		VI.
y		y		y
		0	x	0	x
0	2	x			–1

Уровень II

I.	Вычислить:
		1 +		1		+	1	+ …+	1
									2n			4
1.	lim		2			4				.	Ответ:		;

	n→∞ 1 +				1	+	1	+ …+	1		3
									3n
		3				4
											172

4 n5 + 2 − 3 n2 + 1

lim

→∞ 5 n4 + 2 − n3 + 1

x2 − 5x + 6

lim

→2

x3 − 8x + 8

x4 − 2x3 + 2x2 − 2x + 1

lim

→1 3x4 − 5x3 + 2x2 − x + 1

3x − 2 −

4x2 − x − 2

lim

→1

x2 − 3x + 2

3x3 − 2x −1

lim

→1

3x3 + 9 − 4x3 + 8

lim

cos3x

→ π sin 2x

8.lim 1 + cos x − 2 cos x . x→0 3 + cos x − 2cos x

		x
9. lim arctg			.

x→+∞	1 + x2

					(2x + 1)10
10.	lim								.
10.	lim								.
	x→∞ 3x10 − 7x9 +							3x2 − 2
		ex		− e
11.	lim				.
11.	lim		x		.
	x→1		x	−1
		(		+ tg2 x		)	1
12.	x→0	(				)	2 x .
12.	lim	1					2 x .

Ответ: 0;

Ответ: − 1 ; 4

Ответ: 1 ; 2

Ответ: − 283 ; 3

Ответ: − 3 ; 2

Ответ: 3 2 ; 7

Ответ: π ; 4

2 10

Ответ: ;

Ответ: e ;

Ответ: 1.

II. Для заданных функций найти эквивалентные в соответствующем процессе величины:

		x + x2 +		x3 + 1
1.		x + x2 +		x3 + 1	.	Ответ:		2x ;
					x→∞
	7			−1			−	3	;
2.	7	1 − 3x − 5x2			.	Ответ:		3
2.		1 − 3x − 5x2			.	Ответ:
				x→0			7
3.	1 − cos3 2x			.		Ответ: 6x2 ;
			x→0
4.	a3x − cos9x			.		Ответ:	3x ln a ;
				x→0

173

ln (3 - 2e2 x )

Ответ: −4x ;

x→0

(x3 - 2x5 )lg 1 + tg2

Ответ:

;

x→0

4ln10

e2 x - eπ

Ответ:

x→

III. Вычислить с помощью эквивалентных:

lim

1 + x4

+ 23 1 + x6

Ответ:

;

(x +

x→+∞

1 + x2

ln (2ex sin x -1)

lim

ln cos x

x→0

- 3

× 4

lim

1 + x

1 + 2x

1 + 3x

x→0

lim

1 - cos x2

x→0 x2 (1 - cos x)

lim

ecos x + ecos 2 x - 2ecos 4 x

x→0

lim

arcsin (4 - x)

x→4

54− x -1

IV. Доказать по определению, что

lim

3n + 1

=1;

n→∞ 3n

Ответ: –4;

Ответ: 1 ; 2

Ответ: 1;

Ответ: - 27 ; 2

Ответ: log5 e .

2. lim (2x2 - 5x) = 25 .

x→5

1. Установить область непрерывности функций, исследовать харак- тер точек разрыва:

а) y =	1	;	б) y =	cos x	.
	x - 2
				x

2. Исследовать на непрерывность и сделать схематический чертеж

x2 + 1,			x £1
f ( x) =	1	,	x >1.


x -1
	174

																															Уровень III
I.	Вычислить:



1.	lim				1997									1997										1997… .
	n→∞																2x + 1
2.	lim			x2 ×sin													2x + 1											.
2.	lim			x2 ×sin											x2 + 4x3													.
	x→+∞														x2 + 4x3

3.	lim n				2		ln						n2 +1									.
3.	lim n						ln								n							.
	n→∞														n
	lim ctg x ln (x +																													).
4.	lim ctg x ln (x +																					x +1								).
	x→0					(cos x - sin x)
5.	lim					(cos x - sin x)																							tg 2x .
	x→ π	−0
	4
				4															1								2
6.	lim x				3					x	2			+1					3			- x					3				.
	x→∞						(										)

7.	lim										3															-						1			.

				- cos x																							1 -
	x→0 1			- cos x												cos x											1 -						cos x

											1										-						3
8.	lim																																	.
8.	lim																																	.
	x→ π			1 + 2cos 2x																						2sin 3x
	3
		(															)	1
9.	x→0	(	ex + sin x														)	x .
9.	lim		ex + sin x															x .
10.	lim (1 + sin x)																	1							.
10.	lim (1 + sin x)															ln cos x									.
	x→0

11. lim x cos
11. lim x cos												x .
	x→0
								1				+ cos								1 x
12.	lim	sin																					.
12.	lim	sin																					.
	x→∞								x												x

Ответ: 1997;

Ответ: 1 ; 2

Ответ: 0;

Ответ: 1 ; 3

Ответ: 1;

Ответ: - 1 ; 3

Ответ: e2 ;

Ответ: 0;

− 1

Ответ: e 2 ;

Ответ: е.

II.	Доказать по определению, что
1.	lim	x + 1	= 0 ;			2.	lim	cos n α	= 0 .

	x→∞	x2					n→∞ n -1
III. Исследовать на непрерывность:
1.	f ( x) = x2 ×sin			1	.	Ответ: x = 0 –	точка устранимого разрыва;

				x

175

	1
2. f ( x) = x ×sin		, x ¹ 0	. Ответ: x = 0 – точка непрерывности.
2. f ( x) = x ×sin	x	, x ¹ 0	. Ответ: x = 0 – точка непрерывности.
		x = 0
0,		x = 0

IV. Выделить главную часть функций:


1.	y = 5 x2 - 3 -1			при	x®2.
2.	y = ln (x2 - x -1)			при	x®2.
		x2 + 2x + 4
3.	y = ln			при	x®¥.

		x2 - x -1
4.	y = ln (cos a x + sin b x)			при	x®0.
5.	y = 3		-1		x®0.
		cos 2x		при

V. Вычислить с помощью эквивалентных:

		ex - e
1.	lim			.

	x→1		ln x
			ex - ea
2.	lim				.

	x→a ln x - ln a

Ответ: 4 ( x - 2) ; 5

Ответ: 3 ×( x - 2) ;

Ответ: 3 ; x

Ответ: b x ;

Ответ: - 2x2 . 3

Ответ: e;

Ответ: a × ea ;

3. lim

x→1

4. lim

x→0

5. lim

x→0

6. lim

x→0

3x - 8 + x . x -1

52x2 +10x -1 - 72x2 +10x -1 . x

(1 + x - x)x .

51 + x sin10x -1 . x2

Ответ: 3ln 3 - 1 ; 6

Ответ: 4 ; 7

− 1

Ответ: e 2 ;

Ответ: 2;

7.	lim	ln x −1	.		Ответ:			1	.

	x→e x - e							e
VI.	Построить графики функций:
	y = lim sin2n x ;				n		( x ³ 0) .
1.				2. y = lim		1 + xn
	n→∞			n→∞

176

		ГЛОССАРИЙ

Новые понятия					Содержание

2						3

1. Функция		правило, закон, по которому каждому элементу
		х (аргументу) некоторого множества Х (облас-
		ти определения) соответствует единственный
		элемент у (зависимая переменная) другого
		множества У (область значений функции)

2. Четная функция		функция f, у которой область определения сим-
		метрична относительно начала координат и для
		всех х из ее области определения							f (−x) = f ( x)

3. Нечетная функция		функция f, у которой область определения
		симметрична относительно начала координат
		и для всех х			из	ее области			определения
		f (−x) = − f ( x)

4. Функция монотонно		функция y = f ( x) ,				для которой большему зна-
возрастающая	(убы-	чению аргумента из (а, b)					соответствует боль-
вающая) на интервале		шее	(меньшее)		значение		функции, т.е. для
(а, b) Х		x1 < x2 следует			f ( x1 ) < f ( x2 ) , ( f ( x1 ) > f ( x2 ) )

5. Ограниченная функ-		функция, для которой в заданной области оп-
ция		ределения существует постоянное							k > 0, такое,
		что	f ( x)	≤ k
		что	f ( x)	≤ k

6. Основные	элемен-	1.	Степенная y = x p , где					p –	действитель-
тарные функции		ное число;
		2.	Показательная y = ax ,					где а – положи-
		тельное число, не равное 1;
		3.	Логарифмическая y = loga x , где а > 0, не
		равно 1;					y = sin x , y = cos x ,
		4.	Тригонометрические				y = sin x , y = cos x ,
		y = ctg x , y = tg x ;
		5.	Обратные тригонометрические функции
		y = arcsin x ,			y = arccos x ,				y = arctg x ,
		y = arcctg x

177

Предел последова-

число А, к которому можно приблизиться с

тельности

любой степенью точности при стремлении но-

мера члена последовательности к бесконечно-

сти, lim xn = A

n→∞

Предел

функции

число А, к которому может приблизиться зна-

y = f ( x) при стремле-

чение функции

y с любой наперед заданной

нии аргумента

х к

точностью ε:

lim

f ( x) = A

фиксированному

зна-

x→ x0

чению х0.

Два замечательных

sin x

предела

lim

= 1,

lim

1 +

= e

x→0

y→∞

10.

Функция

y = f ( x)

если существует значение функции в точке х0 и

непрерывна

точке

ее предел в точке х0 равен значению функции в

х = х0,

этой точке

lim

f ( x) = f ( x0 )

или ее предел

x→ x0

x→х0 и равен

справа равен пределу слева при

значению функции в этой точке:

lim

f ( x) =

lim

f ( x) = f ( x0 )

x→ x0 +0

x→ x0 −0

( f ( x0 + 0) = f ( x0 − 0) = f ( x0 ))

178

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Введение

В данном модуле рассматривается одно из важнейших понятий со- временной математики и, в частности, математического анализа – понятие производной функции. Изложено понятие производной, способы ее вы- числения, а также применение этого понятия при решении прикладных за- дач. С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Дифференциал функции – часть ее приращения, причем наиболее сущест- венная при достаточно малых приращениях аргумента. Понятие производ- ной достаточно сложно, однако, ввиду его многочисленных приложений, приводящих к краткому и изящному решению практических задач, оно за- служивает серьезного рассмотрения и овладения в объеме данного курса.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

Студент должен знать	Студент должен уметь

− задачи, приводящие к понятию	− узнавать основные классы эле-
производной;	ментарных функций;
− определение производной;	− писать по памяти таблицу про-
− геометрический смысл произ-	изводных;
водной;	− дифференцировать основные
− механический смысл производ-	классы элементарных функций;
ной;	− вычислять производные суммы,
− формулы для вычисления про-	произведения и частного;
изводной сложной функции, пара-	− вычислять производные слож-
метрически заданной функции;	ных, параметрически и неявно за-
− определение логарифмической	данных функций;
производной;	− пользоваться, в случае необхо-
− определение дифференциала,	димости, логарифмической произ-
его геометрический, механический	водной;
смысл;	− применять дифференциал в
− определение производных и	приближенных вычислениях;
дифференциалов высших порядков;	− вычислять производные и диф-

179

− основные теоремы дифферен-			ференциалы высших порядков для
циального исчисления;			всех способов задания функции;
− правило Лопиталя;			− раскрывать различные неопре-
− формулу Тейлора, разложение			деленные выражения с помощью
элементарных функций по формуле			правила Лопиталя;
Тейлора;			− пользоваться разложениями
− необходимые и достаточные			функций по формуле Тейлора в
условия экстремума функции;			приближенных вычислениях;
− достаточные условия монотон-			− исследовать функцию на моно-
ности функции;			тонность, определять точки экстре-
− необходимые и достаточные			мума;
условия наличия точек перегиба;			− исследовать функцию на вы-
− достаточные условия для ис-			пуклость (вогнутость), определять
следования функции на выпуклость			точки перегиба;
(вогнутость);			− определять асимптоты графика
− определение вертикальных, го-			функции;
ризонтальных, наклонных асимптот			− проводить полное исследование
			функции, строить ее график

	УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ 3

				Номер	Нагляд-	Формы
	Название вопросов,			практи-	ные и ме-	конт-
которые изучаются на лекции				ческого	тодиче-	роля
которые изучаются на лекции				ческого	ские по-	роля
				занятия	собия	знаний
					собия

1. Задачи, приводящие к понятию производ-
ной. Производная функции. Геометрический					1, 2, 3,
и механический смысл производной. Диффе-				I	1, 2, 3,	РП
и механический смысл производной. Диффе-				I	4, 5	РП
ренцируемость функции. Дифференциал, его					4, 5
ренцируемость функции. Дифференциал, его
геометрический и механический смысл

2. Производная суммы, произведения и ча-
стного функций. Производная сложной и об-
ратной функции. Дифференцирование пара-				II, III	1, 2, 3,	Опрос,
метрически	заданных и	неявных	функций.	II, III	5, 4, 7	РП
Таблица	производных.	Логарифмическая
производная

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3618 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf