Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

11)y = ch x + ( x -1)cosec x .

Ответ:

x sh x - 2sh x

+ cosec x - ( x -1)cos x ;

sin2 x

y = x2 ch x +

Ответ: 2x ch x + x2 sh x -

(ln 2( x +1) -1)

12)

;

x +1

( x +1)2

y =

ch x

× arctg x . Ответ:

x sh x - ch x

arctg x

ln x

13)

ln x

;

1 + x2

14)

y = x × arcsin x +

sh x

2x (ch x - ln 2 ×sh x)

Ответ: arcsin x +

;

22 x

1 - x2

15)

y =

cos x + cth x × cosec x .

Ответ:

cos x - 2x sin x

sin x + ch x ×sh x × cos x

sh2 x ×sin2 x

3. Бесконечная, левая и правая производные функции в точке

Бесконечная производная функции в точке

y′( x0 ) = lim

y = ∞ ,

x→0

Уравнение касательной к графику y = y ( x) :

x = x0 (касательная оси Ox)

Односторонние производные

′

y ( x) − y ( x0 )

y ( x0 + x) − y ( x0 )

–

lim

правая

y+ ( x0 ) =

x − x0

x−x0 →+0

x→+0

′

y ( x) − y ( x0 )

y ( x0 + x) − y ( x0 )

lim

– левая

y− ( x0 ) =

x − x0

x−x0 →−0

x→−0

Для того чтобы y′( x ) необходимо и достаточно, чтобы

y′

( x ) = y′

( x

) . Тогда y′( x

)

= y′

( x ) = y′

( x

) .

−

Приведем пример функции непрерывной, но не дифференцируемой в

точке. Пусть требуется вычислить производную функции y ( x) =

в точке

x0 = 0 .

241

Вычислим левую и правую производные в нуле:

y¢

(0) = lim

= lim -x = -1,

−

x→−0 x

x→−0

y =

y¢ (0) = lim

= lim

=1.

x→+0 x

Так как y′

( x ) ¹ y′ ( x

), то y′

(0) не существует. Геометрически это

−

означает, что график функции y =

не имеет касательной в точке (0, 0).

Обучающая задача.

Найти y±′ (0)

cos x,

x < 0

для

y ( x) =

x2 +1,

x ³ 0.

Решение:

Заметим, что функция

y ( x)

непрерывна в нуле, так как

y (-0) = lim cos x =1,

y (+0) = lim (x2 +1) =1,

x→−0

x→+0

y (0) = (x2 +1)

x=0

y (-0) = y (+0) = y (0). Вычислим y±′ (0) .

Первый способ:

y¢ (0) = lim

y ( x) - y (0)

cos x -1

= lim

1 - cos x

−

x→−0

x→0

= lim -x = 0 .

= lim

x→−0

y¢

(0) =

(x2 +1) -1

= lim x = 0 .

lim

x→+0

Так как y−′

(0) = y+′ (0) = 0 , то y′(0) = 0 .

Второй способ:

y¢

(0) =

(cos x)¢

= -sin x

= 0 ,

−

(

x=0

)

x=0

y¢ (0) =

x=0

= 0 .

242

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания из первого и второго уровня).

Уровень I

Найти			y+′ (0) ,							y−′ (0) :
1)		sin 2x,								x £ 0
1)	y ( x) =									.
		x2 + x,								x > 0
				- x		3		, x < 0 .
2) y ( x) = 1				- x				, x < 0 .
		cos 2x,								x ³ 0
		2x ,								x < 0
3)	y ( x) =				1					.
									,	x ³ 0
				+ x2					,	x ³ 0
		1		+ x2
				x	,					x < 0 .
4) y ( x) = e					,					x < 0 .
		x2 +1,								x ³ 0
				2	-1, x < 0 .
5) y ( x) = x					-1, x < 0 .
		-cos x,								x ³ 0
				2	- 2x, x < 0 .
6) y ( x) = x					- 2x, x < 0 .
		sin 4x,								x ³ 0
				- x			2			x £ 0 .
7) y ( x) = 2				- x					,	x £ 0 .
		ln (1 + x) + 2, x > 0

8)		1 - 2x,								x < 0
8)	y ( x) =									.
		3x ,								x ³ 0
				x	-1,					x < 0 .
9) y ( x) = e					-1,					x < 0 .
		x2 - 2x, x ³ 0
10) y ( x) = 1 + sin x, x < 0 .
		x +1,								x ³ 0
				x	+ 2,					x < 0 .
11) y ( x) = e					+ 2,					x < 0 .
		x2 - x + 2, x ³ 0

Ответ:	y+′	(0) = 1;	y−′ (0) = 2;
Ответ:	y+′	(0) = 0;	y−′ (0) = 0 ;
Ответ:	y+′	(0) = 0;	y−′ (0) = ln 2 ;
Ответ:	y+′	(0) = 0;	y−′ (0) = 1;
Ответ:	y+′	(0) = 0;	y−′ (0) = 0;
Ответ:	y+′	(0) = 4;	y−′ (0) = –2;
Ответ:	y+′	(0) = 1;	y−′ (0) = 0;
Ответ:	y+′	(0) = ln 3; y−′ (0) = –2;
Ответ:	y+′	(0) = –2;	y−′ (0) = 1;
Ответ:	y+′	(0) = 1;	y−′ (0) = 1;
Ответ:	y+′	(0) = –1;	y−′ (0) = 1;

243

12)

y ( x)

1 + tg x,

x < 0

Ответ: y+′

(0) = 0;

y−′ (0) = 1;

-x2 +1,

x ³

y ( x) = -

x < 0 .

Ответ: y+′

(0) = 1;

y−′ (0) = 0;

13)

1 + x2

x2 + x -1, x ³ 0

14)

y ( x)

x > 0 .

Ответ: y+′

(0) = 1;

y−′ (0) = 0;

= e

x2 +1,

x £ 0

15)

y ( x)

-1,

x £ 0 .

Ответ: y+′

(0) = –2;

y−′ (0) = 0.

= 2x

-e2 x ,

x > 0

Уровень II

Найти

y′

( x )

, y′

( x

) :

−

y = x2 - 3

+ 2 ,

= 0 .

Ответ: y′

(0) = –3;

y′

(0) = 3;

−

y = 2x2 -

x +1

+ 2 ,

= −1.

Ответ: y′

(-1) = –5;

y′

(-1) = –3;

−

y = x2 + 2

+ 3,

= 0 .

Ответ: y′

(0) = 2;

y′

(0) = –2;

−

y = x2 -

x - 2

+ 2 ,

= 2 .

Ответ: y′

(2) = 3;

y′

(2) = 5;

−

y = x2 + 2

x - 3

+1,

= 3.

Ответ: y′

(3) = 8;

y′

(3) = 4;

−

y = x2 - 2

- 8 ,

= 0 .

Ответ: y′

(0) = –2;

y′

(0) = 2;

−

y = x2 - 2

- 3 ,

= 0 .

Ответ: y′

(0) = –2;

y′

(0) = 2;

−

y = x2 - 2

x + 2

+1,

= −2 .

Ответ: y′

(-2) = –6;

y′

(-2) = –2;

−

y = x2 +

x - 5

+1,

= 5.

Ответ: y′

(5) =11;

y′

(5) = 9;

−

10)

y = x2 +

x +1

+1,

= −1.

Ответ: y′

(-1) = –1;

y′

(-1) = –3;

−

11)

y = -2x2 +

x + 5

-1,

= −5 .

Ответ: y′

(-5) = 21;

y′

(-5) =19;

−

12)

y = -x2 + 3

x + 2

+1,

= −2 .

Ответ: y′

(-2) = 7;

y′

(-2) = 1;

−

13)

y = x2 - 2

x -1

+ 8 ,

= 1.

Ответ: y′

(1) =0;

y′

(1) = 4;

−

14)

y = x2 -

x - 4

+ 6 ,

= 4 .

Ответ: y′

(4) = 7;

y′

(4) = 9;

−

15)

y = x2 -

x + 2

+ 4 ,

= −2 .

Ответ: y′

(-2) = –5;

y′

(-2) = –3;

−

16)

y = 2x2 -

x - 3

+ 5 ,

= 3.

Ответ: y′

(3) = 11;

y′

(3) = 13.

−

244

		Уровень III
Найдите y±′ (1) и		y±′ (-1) для y ( x) =	x -1	+	x +1	.

Ответ: y+′	(1) =2;	y+′ (-1) = 0
y−′	(1) = 0;	y−′ (-1) = –2.

Домашнее задание

1.Выучить таблицу производных, правила дифференцирования. Изучить теорему о производной сложной функции; примеры с использова- нием логарифмической производной.

2.Исходя из определения производной, найти y′( x) , если

y ( x)

= x2 ,

= 1.

Ответ: 2;

y ( x)

= 2x2 - 3x ,

= 1.

Ответ: 1;

3. Найдите y′( x) , если

×(33

) + 5) ;

а)

y = (33 x2 + 63

) × 3 x4 .

Ответ:

б)

y =

cos x

Ответ:

;

+ sin x

x2 (2ln x - 3x ) + 3 x5

в) y = x ×

3 x2 (2ln x - 3x ). Ответ:

- 3x ln 3

;

4. Найти

y+′ (0) ,

y−′ (0) :

y ( x) =

ln (1 - 2x) +1, x < 0

e3x ,

x ³

Ответ: y+′ (0) = 3;

y−′ (0) = -2.

5. Выдать каждому свой вариант из внеаудиторной контрольной работы.

II. Производная сложной функции. Логарифмическая производная

Производная сложной функции y = y (u ( x)) .

Если

u = u ( x)

дифференцируема в точке

x0 ,

y = y (u )

дифференцируема в точке u0 = u ( x0 ) , то

y¢( x0 ) = y¢(u0 )×u¢( x0 ) .

y = ex5

y = eu ,

u = x5 ,

y¢ = ex5 ×5x4

245

Обучающая задача. Найти производные следующих функций:

			e2 z
10. y = tg5 (3x2 +1) ;	20. y = ln		e2 z		.
10. y = tg5 (3x2 +1) ;	20. y = ln			z 2	.
	3	2	+ ch	z 2


				2

Решение: Дифференцируем сложные функции. Предварительно за- пишем их в более удобном для дифференцирования виде.

																								5
		10. y ( x) = (tg (3x2 +1))																									,
		10. y ( x) = (tg (3x2 +1))																							2		,
																																						3
											y¢( x) =											5	(tg (							3x2 +1))										×	(tg (3x2 +1))¢ =
																						5																	2
																																							2
																				2
											5						3																					1

																		2 (3x2 +1)×																													(3x2 +1)¢ =
								=						tg																			cos2 (3x2 +1)													×
								=				2		tg																			cos2 (3x2 +1)													×
																		5		3				(3x2 +1)×																	1
															=																																			× 6x .
																			tg 2
																			tg 2																		cos2 (3x2 +1)
																	2																				cos2 (3x2 +1)
																										1

																													3
																e2 z																	1							e2 z										1													z	2
			0	. y ( z ) = ln												e2 z																	1							e2 z										1													z	2
		2																												=				ln														=				ln e2 z − ln							2 + ch								=
		2																												=				ln									z		2			=		3		ln e2 z − ln							2 + ch								=
																					z 2												3										z		2					3										2
											2				+ ch																					2 + ch
											2				+ ch																					2 + ch
																				2																						2
																				=						2z				-			2		ln			2 + ch						z			,

																										3							3
																										3							3									2
					y¢( z )			2					2																		z			¢				2			2						1											z	¢
							=				-					ln 2 + ch																		=						-		×											×		2 + ch					=
							=				-					ln 2 + ch																		=						-		×											×		2 + ch					=
									3 3																					2								3 3				2				+ ch					z						2
																																										2				+ ch
																																																		2
=	2	-	2		×	1				×sh						z		z			¢			=		2				-		2		×				1				×sh					z		×	1		=		2	-	1	×		1			×sh			z
																																																																		.
								z																																	z																				z					.
	3 3 2 + ch							z							2			2										3 3 2 + ch													z						2 2 3 3 2 + ch														z				2
	3 3 2 + ch							2							2			2										3 3 2 + ch													2						2 2 3 3 2 + ch																		2
								2																																	2																			2

Выполнить (самостоятельно, каждому свой вариант, два студен- та у доски выполняют свои задания, по желанию третий уровень вы- полняется у доски для получения оценки «10»).

		2
1) y = 3 ln (tg 3x) .	Ответ:	2	;


		3sin 6x 3 ln2 tg 3x
	246

y = arctg2 (sh 2x) .

Ответ:

4ch 2x × arctg (sh 2x)

;

1 + sh2 2x

3 × ch

y =

Ответ:

;

ctg3 (sh

)

×sin2

(sh

)

×sh (ln (1 - 2x)) ;

ch3 (ln (1 - 2x))

y =

. Ответ: -3

ch (ln (1 - 2x))

-5sh4 (1 + cos

) × ch (1 + cos

)sin

y = sh5 (1 + cos

x ). Ответ:

;

2 x

2ln tg

p +

ln2 tg

p +

Ответ:

;

p +

sin 2 p +

+sh3

(1 + 3sh2

)

× ch

y = e

x +sh

x .

Ответ:

;

2 x

2(2x + 5)ln 3

;

y = ln2 (3

x2 + 5x

Ответ:

33 (x2 + 5x)2

9) y = ln arccos 1 - sh x .

Ответ:

ch x

;

× 2sh x - sh2 x × arccos

1 - sh x

3tg2 (2sh

)× ch

× 2sh

x × ln 2

10) y = tg3 (2sh x ) .

Ответ:

;

× cos2

(2sh x )


11) y = sh3		+		x
	1				.
	1				.

			x2 +1

Ответ:

12) y = ch (2tg x+1 ) .

(

)

3sh2

- x2

× ch 1

x2 +1

;

x2 +1(x2 +1)

sh (2tg x+1 )× 2tg x+1 × ln 2

Ответ: ; 2 x +1 × cos2 x +1

247

ch		1

13) y = 3 x5 .

14)y = tg2 1 + sh 1 .

	2	−

sh 1− x			x
15) y = 2				.

Ответ:

5 ×3

× ln 3 ×sh

Ответ: -

;

-2 tg 1

+ sh

× ch

Ответ:

;

2 × cos2

+ sh

x2 −

sh 1−

× ln 2

× ch (1

- x2

- x )(4x x -1)

x2 -

2. Логарифмическая производная

Если y = y ( x)	и $ ln y ( x) , то (ln y )′ =	y′	– логарифмическая

		y
производная.	y¢( x) = y ( x) × ln y ( x) ¢

Вычисление производной часто упрощает предварительное лога- рифмирование функции.

Обучающая задача. Найти производные функций:

10. y =		x + 2	.

	( x -1)3 (2x + 3)5
4

Решение: Логарифмируем функцию, используя свойства логарифма

ln y = 1 ln ( x + 2) - 3 ln ( x -1) - 5ln (2x + 3) .

				2									4
		Дифференцируем теперь это равенство
y′		1		3						5							1			3				10
	=		-					-			× 2			y¢ = y					-				-		.
y	=	2( x + 2)	-		4( x -1)			-		2x + 3	× 2			y¢ = y				2( x + 2)	-		4( x -1)		-	2x + 3	.
		Окончательно имеем
																					10
		y¢ =					x + 2					×		1		-	3		-		10
																						.
				4					×(2x + 3)5						2( x + 2)			4( x -1)		2x + 3
				4		( x -1)3			×(2x + 3)5						2( x + 2)			4( x -1)		2x + 3
														248

20. y = (x2 +1)tg x .

Решение:

Функция

y = (x2 +1)tg x

является сложно-показательной,

т.е. функцией

вида y = ( f ( x))ϕ( x) .

Логарифмируя

функцию, используя

свойства логарифма и формулу y¢( x) = y ( x) × ln y ( x) ¢

будем иметь

y¢ = (x2 +1)

tg x

× ln (x2 +1) + tg x

x2 +1

cos2 x

Уровень II

Найти y′( x) , если

y = (sin x)

arctg x

Ответ: (sin x)

arctg x ln sin x

arctg x × cos x

;

1 + x2

sin x

y = (ln x)

cos 2 x

Ответ: (ln x)

cos 2 x

-2sin 2x × ln ln x +

cos 2x

;

× ln x

y = (tg x)x

−1.

Ответ: (tg x)x

−1

-1

2x × ln tg x +

;

sin x × cos x

x ×sin x

y = (cos x)ln x .

Ответ: (cos x)ln

× ln cos x

;

cos x

y = (1 - x3 )arcsin x2 .

× ln (1 - x

)

3x2 × arcsin x2

Ответ: (1 - x3 )arcsin x2

;

1 - x

(1 - x

)

y = (arcsin x)e2 x .

Ответ: (arcsin x)e

2 x

2e2 x ln arcsin x +

;

- x2 × arcsin x

249

7)y = ( x +1)th x .

8)y = (c tg x) x .

9)y = (ln x)1+2 x .

Ответ: ( x -1)	th x ln ( x -1)		+	th x
					;
		ch2 x		x -1

		ln ctg
Ответ: (ctg x)			x			x
	x			-
							;

		2 x			sin x × cos x


	ln ln x			1 + 2x
Ответ: (ln x) 1+2 x			+
					;
				x × ln x

		1 + 2x

10)y = (ctg 2x)x3 .

11)y = (x + x2 )sin x .

Ответ:

12)y = (sin 4x)ln x .

13)y = (cos(1 - x))x2

Ответ: (ctg 2x)x	3		2 ln ctg 2x -	2x	3
		3x		2x		;
		3x				;

				sin 2x × cos 2x

x ln (x + x

)

x ×(1 + 2x)

(x + x

2 )sin x

cos

sin

;

x + x2

Ответ: (sin 4x)

ln x

4cos 4x ln ln x +

sin 4x

;

× ln x

Ответ: (cos(1 - x))x

×sin (1 - x)

2x ln cos(1 - x) +

;

cos(1 - x)

14) y = (ln 2x)x .

Ответ:

(ln 2x) x

ln ln 2x +

;

x2 ln 2x

15) y = (arccos x)x2 −1 .

(x2

-1)

Ответ: (arccos x)x

−1

2x × arccos x -

1 - x

arccos x

Уровень III

Найти y′( x) функции

y = xx2 + x2x

+ 2xx .

2	+1 (2 × ln x +1) + x2	x	× ln x
Ответ: xx	+1 (2 × ln x +1) + x2	2x × ln 2	× ln x

+	2	x	+ 2x	x	× ln 2	× xx (ln x +1) .


	x

250

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf