умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Доказать lim

Вычислить lim

(n + 1)!− (n + 2)!

Ответ: −∞ ;

n→∞ n!+ 2(n -1)!

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

2) Приближенно вычислить: 25,3 ;

Ответ: 5,03.

1 − cos 4x

3) Вычислить: lim ; x→0 2sin2 x + x tg 7x

Ответ: 8 . 9

4) Определить порядок роста бесконечно большой А(х) относи-

тельно В(х) = х при x → ∞: A( x) =		5x6
			;
	3x4
		+ x3 + 2

Ответ: 2.

5) Вычислить с помощью эквивалентных бесконечно малых:

а) lim		tg (10x − 5)			. Ответ: 3.
а) lim		sin	(	)	. Ответ: 3.
x→			(	)
	1			2x −1
	2

б)

а)

б)


lim	arcsin (7 − x)		.	Ответ: log7 e .

x→7	57− x −1
Найти эквивалентные функции:
1 − cos3 2x		… .		Ответ: 6x2
ln (3 − 2e2 x )		x→0
		… .		Ответ: -4x.
		x→0

VIII. Непрерывность функции. Классификация разрывов функций. (Итоговое занятие)

1.Оперативный опрос трех определений непрерывности, классифи- кация точек разрыва. Работа со всей аудиторией.

2.Основная методическая схема I.

Найти точки разрыва функции, исследовать их характер. Сделать схе- матический чертеж.

1) f ( x) = 34− x2 .

Ответ: x1 = 2, x2 = −2 − точки разрыва второго рода;

2)f ( x) = 1 − cos x .

Ответ: x = 0 − точка устранимого разрыва;

161

2x ,	-1 £ x <1,
3) f ( x) = x -1, 1 < x £ 4,
1,	x =1.

Ответ: x = 1 − точка разрыва первого рода.

3. Используя информационные таблицы, повторить все правила раскрытия неопределенностей. Для всей аудитории выдать самостоятель- ную работу:

lim

tg x − tg 3x

Ответ: 2;

x→0 arcsin2

2π

lim (x2 - p2 )× ctg 3x .

Ответ:

;

x→π

lim

ln (2 - x)

Ответ: -

;

x→1

x3 -1

lim

x3 - 2x2 + x -12

Ответ:

x3 - x2 -18

x→3

lim

2x - x2

Ответ: 12;

x→2 (

x + 7 - 2x +

5 )

lim (5 + x)

x+2

Ответ: e−2 ;

x+4

x→−4

x ® +¥

lim

3x -1

Ответ:

;

x ® -¥

x→+∞

7x + 2

+¥, if

3x+ 2

if x ® -¥

lim

2x + 4

Ответ:

x→−∞

x -1

+¥, if x ® +¥

4. Два студента работают у доски с заданиями повышенной слож- ности (для получения оценки «9», «10»). В конце занятия провести анализ представленных решений.

Вариант 1

162

	(3n2	+1)(3		- 3		). Ответ: 1;
3. Вычислить lim	(3n2	+1)(3	n3 + 7	- 3	n3 + 6	). Ответ: 1;
n→∞

3n - 2 × 2n−1

4. Вычислить lim + . Ответ: ∞ ; n→∞ 2 + 4 + ... + 2n 1

5.Вычислить

6.Вычислить

1.Вычислить

2.Вычислить

3.Вычислить

1 - x3 lim .

x→1 4x2 + x - 5

3		x - 4		+ 2
lim					.
	-
x→−4 3			x +13

Вариант 2

lim sin (3x - p) . x→ π 1 - 2cos x

lim (cos px)ctg 2 x .

x→2

x→∞		(		)	(			)
lim x	2	ln 7x	2	-1 - ln 7x		2	+ 2		.
lim x		ln 7x		-1 - ln 7x			+ 2		.
						1

Ответ: - 1 ; 3

Ответ: - 3 . 2

Ответ: -23 ;

Ответ: 1;

− 3

Ответ: e 7 ;

Исследовать на непрерывность

y = 5

x−3

;

x Î(-¥; 0]

2 - x,

Исследовать на непрерывность

f ( x) =

x Î(0; 2) .

cos p x,

x Î[2; + ¥)

Контрольная работа

Вариант 0

3x2

- 8x - 3

Вычислить

lim

x→3 x2

- x - 6

3x2 - 8x - 3 3

×9 - 8 ×3

- 3

Решение: lim

32 - 3 -

x→3 x

2 - x - 6

163

3x2 - 8x - 3 = 0;

x = 3; x × x = -3

= -1 x = -

;

3x2

- 8x - 3 = 3( x - 3) x +

;

x2 - x - 6 = 0;

x = 3; x × x = -6

= -6 x = -2;

x2 - x - 6 = ( x - 3)( x + 2)

= lim

( x - 3)(3x +1)

= lim

3x +1

= 2 .

( x - 3)( x + 2)

x→3

x→3 x + 2 5

Ответ: 2.

2x2 + 3x - 2

2. Вычислить

lim

x→−2 3x

2 + 2x + 8

2x2 + 3x - 2 2 × 4 - 3 × 2 - 2

Решение:

lim

= 0 .

x→−2 3x2 + 2x + 8 3

× 4 - 2 × 2 + 8

Ответ: 0.

5x5

- 4x4 -1

3. Вычислить

lim

x3 -1

x→1

5x5 - 4x4 -1

5 ×1 - 4 ×1 -1

Решение:

lim

x3 -1

1 -1

x→1

5x5 – 4 x4 – 1

( x – 1)

–(5 x5 – 5 x4)

(5x4+x3+x2+x+1)

x4 – 1

–( x4 – x3)

x3 – 1

–( x2 – x)

x – 1

–( x – 1)

x3 – 1=( x – 1)( x2 + x + 1)

164

= lim

( x -1) (5x4 + x3 + x2 + x +1)

= 3 .

( x -1) (x2 + x

+1)

x→1

Ответ: 3.

- 2

4. Вычислить

lim

3x - 2

x→2

x2 - 4

(

- 2)(

+ 2)

- 2

3x - 2

Решение:

lim

= lim

x→2

x2 - 4

x→2

( 3x - 2 + 2)(x2 - 4)

= lim

3x − 2 − 4

= lim

3x − 6

(

+ 2)(x2 - 4)

(

+ 2)(x2 -

x →2

3x - 2

x → 2

3x - 2

= lim

3 ( x - 2)

x →2

( 3x - 2 + 2) ( x - 2) ( x + 2)

× 4 16

Ответ:

7x8

+ 3x4 - x +1

Вычислить

lim

- 8x5

- 9x8

x→∞ 5x3

7x2 + 3x4 - x +1

Решение:

lim

= lim

9x8

x→∞ 5x3 - 8x5 - 9x8

x→∞

5x3

8x5

7 →0

3 →0

1 →0

= lim

= 0 .

-9

x→∞

→0 -

- 9

→0

Ответ: 0.

1 − cos 7x

Вычислить

lim

x→0

3x2

Решение:

2 7x

1 - cos 7x

2sin

sin

lim

= lim

× lim

3x2

x→0

3 x→0

4 3 4

→1

165

Ответ: 49 .

4x − 3 x−3

7. Вычислить

lim

x→∞ 4x +

Решение:

4x − 3

∞

4 −

4x − 3

x−3

lim

= lim

= 1,

= (1∞ ) =

+ 5

∞

lim

x→∞ 4x

x→∞ 4 +

x→∞ 4x + 5

lim ( x − 3) = ∞

x→∞

4x − 3

x−3

−8

x−3

= lim 1 +

−1

= lim

4x + 5

x→∞

4 x + 5

−8 x −3

−8

4 x +5

−8

= lim

1 +

x →∞

1−

−8( x−3)

x−3

−8 lim

−8

−8 lim

x→∞ 4+

= lim e 4 x+5

= e

x→∞ 4 x+5

= e

= e 4

x→∞

Ответ: e−2 .

5x + 3

2 x−1

8. Вычислить

lim

x→∞ 3x − 4

5x + 3 2 x−1

lim

5x + 3

= ∞

Решение:

lim

x→∞ 3x − 4

∞

x→∞

3x − 4

(2x −1) = ∞

lim

x→∞

∞

= +∞, если x → +∞ .

если x → −∞

+∞, если x → +∞

Ответ:

если x → −∞ .

= e−2 .

5	+		3
5	+		x		5
= lim			x	=	5
= lim				=
x→∞ 3	−	4		3		=
x→∞ 3	−			3		=
			x

166

Вычислить

lim ( x − 2) ln (7x − 3) − ln (7x + 4)

x®¥

(

x − 2

)

(

7x − 3

)

− ln

(

7x +

)

= lim ln

7x − 3 x-2

Решение:

lim

7x +

x®¥

7x − 3 x-2

= (1¥ ) = lim

7x − 3

x-2

−7

x-2

lim

−1

= lim

7x +

x®¥

7x + 4

x®¥

7x + 4

7 x+4

-7( x-2)

−7

7 x+4

-7 lim

x-2

-7

= lim

1 +

= e

x→∞ 7 x+4

= e 7

= e-1 > 0

7x +

x®¥

7x − 3

x-2

= ln lim

= ln e-1

= −1.

x®¥

7x + 4

Ответ:

–1.

10. Вычислить

lim (4x −11)

x+1

x2 -9

x®3

(

)

x+1

(

)

= lim

(

4x −12

)

(4 x-12)×( x+1)

Решение:

lim

-9

4x −11

1¥

1 +

x®3

lim

4( x-3)( x+1)

4× lim

x+1

( x-3)( x+3)

= ex→3

= e x→3 x+3 = e4×

6 = e3 .

Ответ: e3 .

11. Вычислить

Решение: lim

x® p

lim	ln (1 + cos x)						.
lim							.
x® p			−		π 2
2	x		−		2
					2
ln 1 + cos x				)		0			x − π = y;	y → 0
ln 1 + cos x									x − π = y;	y → 0
(					=			=	2		=
									x = π + y x → π
x − π		2
x − π		2				0
	2								2	2
	2								2	2

ln 1 + cos π + y

ln (1 − sin y )

))

= lim

ln 1 +

(

−sin y

(

−sin y

)

y®0

(

y®0

167


= lim -sin y = - lim		sin y	×	1	=	lim	sin y

y→0 y2	y→0 y		y			y→0 y

Ответ: – ¥.

12. Исследовать на непрерывность

Решение:

=1	= - lim	1	= -¥ .

	y→0 y

		p
cos x, x £		2
		2
	p < x < p .
f ( x) = 0,	p < x < p .
	2
2,	x ³ p

1) внутри промежутков задания функция представлена непрерыв- ными функциями.

Значит, возможными точками разрыва могут быть x = π ; x = π ; 2

		p		p	= 0
		f	= cos		= 0
		2		2


		lim f ( x)
		lim f ( x)		= lim cos x = 0
2)	имеем	x → π −0			x →	π
		x < π2				2
		2	f ( x)
		lim		= lim 0 = 0
		lim		= lim 0 = 0
		x → π + 0			x → π
		x → π + 0			x → π
		x > π2				2
		x > π2				2
		2
при x = π – функция непрерывна.
	2
	f (p) = 2

		f ( x) = lim 0 = 0
3)	lim	f ( x) = lim 0 = 0				0 ¹ 2
3)	x →π −0		x →π			0 ¹ 2
	x < π
	lim	f ( x) = lim 2 = 2
	x →π+ 0		x →π
	x > π

при x = π функция терпит разрыв I рода.

168

	2
	1
-π	− π –1	π	π	x
				x
	2	2

Вариант 0

(для студентов творческого уровня обучения)

1.	Доказать	lim			3n − 5							= 3 .
1.	Доказать	lim										= 3 .
		n→∞ n + 2
2.	Вычислить	lim			(n + 2)!− (n + 1)!																			.
2.	Вычислить	lim																						.
		n→∞					n!+ 2(n +1)!
				(2n2 +1)(3																						- 3									).
3.	Вычислить	lim		(2n2 +1)(3																	n3 + 5					- 3				n3 + 4					).
		n→∞						3n - 2 × 4n−1
4.	Вычислить	lim						3n - 2 × 4n−1																	.
4.	Вычислить	lim			4 +16 + ... + 4n+1																				.
		n→∞			4 +16 + ... + 4n+1
5.	Вычислить	lim					1 - x3											.
5.	Вычислить	lim														3		.
		x→1 4x2 - x -														3
							3							+ 2
6.	Вычислить	lim					3		x - 5					+ 2								.
6.	Вычислить	lim																				.
		x→−3 3 -									x +					12
7.	Вычислить	lim	sin 5( x + p)																.
7.	Вычислить	lim																	.
		x→0					arcsin								x
							arcsin							4
														4
8.	Вычислить	lim		sin (3x - p)																.
8.	Вычислить	lim																		.
		x→ π				1 - 2cos x
		3
9.	Вычислить	lim (cos 2px)ctgπx .
		x→1									(							)									(							)
		x→∞									(							)									(							)
10.	Вычислить	lim x					2			ln			3x				2	-1					- ln					3x			2	+ 2					.
10.	Вычислить	lim x								ln			3x					-1					- ln					3x				+ 2					.
11.	Исследовать на непрерывность																						y =						x +1				-1			.
11.	Исследовать на непрерывность																						y =								x					.
																															x

169

12.Исследовать на непрерывность y = 2

13.Исследовать на непрерывность f ( x)

x−2 .

1 − x, x (−∞; 0]

	1
			x (0; 2) .
=		,

x
x			x [2; + ∞)
		,
	4

Трехуровневые тестовые задания к разделу

«Введение в математический анализ»

Уровень I

Вычислить:

lim (n + 2)!+ (n + 1)!.

Ответ: 0;

n→∞

(n + 3)!

5n+1 + 3n+1

lim

Ответ: 5;

5n + 3n

n→∞

3x4 + x2 − 6

lim

Ответ: 1,5;

2x4 − x + 2

x→∞

lim

7 − 3x

Ответ: 0;

x→∞ 5x3 + 2x2 −

x2 − 3x + 2

lim

Ответ:

;

x→2 2x2 − x −

−

lim

2 − x

x + 6

Ответ:

;

x→−2

x2 − x − 6

lim

Ответ:

;

x→0

1 + 3x −1

lim

Ответ: 5;

x→0 arctg x

lim

1 − cos 4x

Ответ:

;

x→0 1 − cos8x

10)

lim (1 + 2x)

Ответ: e2 ;

x→0

170

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf