Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

3.10. Производные высших порядков

Определение 3.10.1. Производной 2-го порядка от функции y = f ( x) называется производная от ее первой производной. Обозначают

y′′ , f ¢¢( x) = ( f ¢( x))¢, y¢¢		d	2	y
	=				.
				2
xx		dx

Определение 3.10.2. Производной n-ного		порядка	от функции
y = f ( x) называется производная от ее производной (n – 1)- го порядка.
Приняты следующие обозначения: y( III ) , y(IY ) ,…, y(n) = (y(n−1) )¢ ,				d n y	.

				dxn
Замечание 3.10.1.			y′′ в точке
1. Геометрический смысл производной 2-го порядка:
x0 характеризует кривизну графика функции в этой точке.
2. Механический смысл:	если S = S (t ) –	функция, описывающая

путь при прямолинейном переменном движении, то d S = a (t ) – величина dt2

ускорения в момент времени t.

Вычисление производных высших порядков

10. Пусть функция задана явно y = f ( x).

Тогда y′ = f ′( x) , y¢¢ = ( f ¢( x))¢ = f ¢¢( x) .
x
20. Пусть функция задана неявно
F ( x, y ) = 0 .	(3.10.1)

1 способ:

а) для определения y′ дифференцируем (3.10.1) по x, считая x неза-

висимой переменной,	y – функцией от x.
		F′ ( x, y ) + F′			( x, y ) × y′ = 0 ;	(3.10.2)
			x	y	x
б) для определения		′′				′′
б) для определения		yxx	дифференцируем (3.10.2) еще раз и выражаем yxx .
2 способ:		′′
Для определения		′′	из (3.10.2)		или, используя формулу (3.9.4), вы-
Для определения		yxx	из (3.10.2)		или, используя формулу (3.9.4), вы-
′						x, считая x неза-
ражаем yx , дифференцируем полученное равенство по						x, считая x неза-
висимой переменной,	y - функцией от x, затем приводим подобные с уче-
′					′′
том формулы для yx и получаем выражение для yxx .

201

′′

для функции

+ 3xy = 5 .

Вычислим по второму способу yxx

(e y + 3xy )¢ = (5)¢ ; e y y¢x + 3( y + xy¢x ) = 0 .

Из полученного равенства выразим y′

y¢

= -

. Выражение

e y - x

′

для

yx еще раз продифференцируем, считая x независимой переменной,

y – функцией от x. Тогда

y¢¢

( y )x¢ (e y - x) - y (e y - x)¢

yx¢ (e y - x)

- y (e y yx¢ -1)

= -3

(e y - x)2

(e y - x) - y

-e y

-1

- x)

3ye

= -3

= -

(e y - x)2

(e y - x)3

30. Пусть функция задана параметрически

y = y (t ),

x = x (t ).

x (

(

)))

x =

yt′

= (

Ранее было показано, что y¢

. Тогда y¢¢

y¢

¢ .

xt¢

Значит,

y¢¢

= ( y¢ )¢

×t¢

( y¢ )¢

y¢¢ =

( y¢

)¢

или

t .

x x

x t

xt¢

Например,

= 7 cos

5t,

x = 7sin3 5t.

y¢ =

21cos2 5t ×(sin 5t ) ×5

= ctg 5t .

21sin2 5t

× cos5t ×5

( y¢x )¢

(ctg 5t )¢

sin

y¢¢

t =

= -

105sin2 5t cos5t

21sin4

x¢

105sin2

5t cos5t

Замечание 3.10.2. Имеет место также и другая формула для вы- числения второй производной функции, заданной параметрически:

		′	′′	′	′′
y¢¢	=	xt	× ytt	- yt	× xtt	.
y¢¢	=		( xt¢)3			.
xx			( xt¢)3
xx

202

3.11. Применение дифференциала в приближенных вычислениях

Как уже известно, если функция y = y(x) дифференцируема в точке x0

	′				′
( y = y(x) ÎC{x0} ),		то приращение функции Dy = y (x0 ) × Dx + a(Dx) × Dx , где
a(Dx) ® 0	при	x → 0 ,	′	× Dx = dy .
a(Dx) ® 0	при	x → 0 ,	y (x0 )	× Dx = dy .
Поэтому для x 1 выполняется приближенное равенство						y ≈ dy .
Тогда y ( x	+ Dx)	- y ( x )	» y′( x	) × Dx , следовательно:
0		0	0
		y ( x + Dx) » y ( x			) + y′( x ) × Dx .	(3.11.1)
			0	0	0

Замечание. Формула (3.11.1) позволяет применять дифференциал в приближенных вычислениях значений функций в точках, близких к точ- кам, значения в которых вычислять легко.

Дифференциал применяется также для оценки погрешностей при расчетах по формулам. Предположим, расчет ведется по формуле y = f (x) ,

тогда абсолютная погрешность

расчета

по этой формуле

будет

y ,

а a =

–

относительная погрешность.

Если погрешность независимой

переменной

x , то

или

f ¢( x0 )

× Dx ;

a =

f ¢( x0 )

f ( x0 )

Пример. Вычислить приближенно значение функции

y = 3 2 + x2

в точке

= 5,01. Значение y

легко

вычисляется в точке x0

= 5,

x = x − x0 = 0,01 1,

y ( x) = 3

y¢( x) =

(2 + x2 )−

× 2x

2 + x2

y¢(5) =

2 ×5

y (5) = 3 2 + 25 = 3 .

)

По формуле (3.11.1)

y (5 + 0,01) » y (5) + y¢(5) × 0,01

y (5,01) » 3 + 10 × 0,01 = 3 + 0,1 » 3,011.

203

3.12.Инвариантность формы дифференциала. Дифференциалы высших порядков

Ранее было показано, что если x – независимая переменная, то диф- ференциал первого порядка вычисляется по формуле

dy = y′ × dx . (*)

Оказывается, что (*) справедлива и для случая, когда x – функция.

Теорема 3.12.1. (свойство инвариантности (неизменности)

дифференциала первого порядка). Дифференциал функции равен произ- ведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, является ли этот аргумент независимой переменной или функцией другой независимой переменной

′

× dx .

dy = yx

Доказательство:

Рассмотрим

y = y ( x) .

Пусть x –

независимая переменная, тогда

dy =

′

yx × dx .

Пусть

x –

функция другой независимой переменной x = x (t ) , то-

гда y = y ( x (t )) = y (t ) .

′

dy = yt × dt = yx × xt dt = yx × dx ,

что и требовалось доказать.

cos

Пример:

y = 2

, y =

dy = 2u × ln 2 × du = 2cos 7

× ln 2 ×(-sin 7

)

x−

× dx .

Определение 3.12.1. Если

x –

независимая переменная и у = у(х)

имеет n последовательных производных

у¢, у¢¢, …,

у(п), то дифференциал

от дифференциала первого порядка функции у = у(х) называется дифферен- циалом второго порядка, ..., дифференциал от дифференциала (n – 1)- го порядка функции у = у(х) называется дифференциалом n-ного порядка и d 2 y = y¢¢dx2 , d 3 y = y¢¢¢dx3 , ..., d n y = y(n)dxn .

Замечание. Для дифференциалов высших порядков не имеет место свойство инвариантности.

Если x – зависимая переменная, то

d (dy ) = d ( y¢ × dx) = dy¢× dx + y¢d 2 x = y¢¢dx2 + y¢d 2 x

204

3.13.Основные теоремы дифференциального исчисления

3.13.1.Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях

Теорема 3.13.1. (теорема Ролля). Если y = f ( x) непрерывна на от-

резке [a,b] , дифференцируема на интервале (a,b) и на концах отрезка принимает равные значения ( f (a) = f (b) ), то внутри интервала (a,b) су-

ществует хотя бы одна точка x = c, принадлежащая интервалу (a,b) , такая,

что f ′(c) = 0 .

Если

1.f ( x) ÎC[a,b] ;

2.f ( x) ÎC(′a,b) ;

3.f (a) = f (b) ,

то существует хотя бы одна точка c Î(a,b) ,

где

′

f (c) = 0 .

Замечание 3.13.1.

1. Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в следующем: для

непрерывно дифференцируемых функций между точками

b, в кото-

рых

значения

функции

С1

С3

совпадают,

имеется,

по

меньшей мере, одна точ-

f(a) = f(b)

такая,

ка с

что

в точке

С2

C(c; f (c)) касательная к

графику проходит парал-

с1

с2

с3

b x

лельно оси абсцисс.

2. Если хотя бы одно из условий теоремы Ролля нарушено, то след-

ствие теоремы не выполняется.

а)

б)

f(a) = f(b)

с1

а с2

в с1 – f ( x) не дифференцируема:

в с2 –

f ( x)

терпит разрыв II рода.

f ′ (c

) ¹ f ′ (c ) .

−

205

Терема 3.13.2. (Лагранжа: о конечных приращениях функции). Ес-

ли функция y = f ( x)

непрерывна на отрезке [a,b]

и дифференцируема на

интервале (a,b) , то внутри интервала найдется хотя бы одна точка

c та-

кая, что:

f (b) − f (a)

= f ′(c)

или

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) .

b − a

f ( x) C[a,b] ;

f ( x) C(′a,b) , то существует хотя бы одна точка c (a, b) такая, что

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a) ,

(а < с < b)

(*)

Доказательство. Рассмотрим функцию

ϕ(x) = f (x) + λx .

Под-

берём число λ так,

чтобы

ϕ(a) = ϕ(b)

′

и ϕ (x) = f (x) + λ . Тогда имеем

f (a) + λa = f (b) + λb ,

откуда

λ =

f (b) − f (a)

. Следовательно, функция

a − b

ϕ(x) удовлетворяет условию теоремы Ролля, а значит, существует точка c

на [a,b] такая,	что ϕ′(c) = 0, f ′( x) = −λ ,				то	есть	f ′(c) =		f (b) − f (a)		.
на [a,b] такая,	что ϕ′(c) = 0, f ′( x) = −λ ,				то	есть	f ′(c) =				.
							[a,b]		b − a
Окончательно	имеем,	что	существует		c	на	[a,b]		такая,	что
′		Что и требовалось доказать.
f (b) − f (a) = f (c)(b − a) .		Что и требовалось доказать.
Замечание 3.13.2. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Если для функции		y = f (x)		выполняются условия теоремы Лагран-
жа, то на (a,b) найдется хотя бы одна точка такая, что							в точке C(c; f (c)) ,
касательная к	графику	параллельна хорде с				концами		A(a; f (a))		и
B(b; f (b)) .
y				y
f(b)	C				C1	C2
	C					C2
f(a)
0	a	с	b	0	с1		с	x
					с1		2

206

Теорему Лагранжа называют теоремой о конечных приращениях, т.к. в левой части равенства (*) стоит приращение функции, а (b – a ) выража-

ет приращение аргумента

Dy = f ′(c) × Dx .

Теорема 3.13.3. (Коши: обобщенная теорема о конечных прира-

щениях). Если:

- функции f (x) и

g(x) непрерывны на отрезке

[a,b] ;

- функции

f (x) и

g(x) дифференцируемы на интервале (a,b) ,

′

Î(a,b) ,

то внутри интервала

(a,b) существует хотя бы

g (x) ¹ 0 "x

одна точка x = с

такая, что

f (b) − f (a)

f ′(c)

g(b) - g(a) g¢(c)

Упражнения.

Для каких из следующих функций выполнены условия теоремы

Ролля на отрезке [0; 2]:

а)

y = x −1;

г)

y =

- 2x

;

б)

y = (x -1)2 ;

x +1

в) y =

x -1

;

д) y =

- 2x

x -1

2.Доказать, что уравнение ex−1 + x - 2 = 0 , имеющее корень x = 1, не имеет других действительных корней.

3.Записать формулу Лагранжа для функции f (x) = x3 - 5 на отрез-

ке [–1; 2] и найти соответствующие значения с.

4. С помощью теоремы Лагранжа доказать неравенство:

a − b	£ ln	a	£	a − b	,	если 0 < b ≤ a
a		b
				b

5. При выполнении какого из следующих условий теорема Лагран- жа является частным случаем теоремы Коши?

а) a = b ;

б) g(x) = x2 ;

в) g(x) = x .

207

3.13.2. Локальный экстремум. Теорема Ферма

Определение 3.13.1. Пусть функция y = f ( x) определена в точке

ее окрестности. Говорят,

что точка

x0 является точкой локального

минимума

(максимума)

функции

y = f ( x) , если

"x Î( x0 - d, x0 + d) выполняется неравенство

x0-δ

x0+δ

f ( x) ³ f ( x0 ) ( f ( x) £ f ( x0 )) .

Определение 3.13.2. Точки

локального

x4 x

min

max

называют точками

локального

экстремума.

Теорема 3.13.4. (Ферма: необходимое условие существования экс-

тремума).

Пусть дифференцируемая функция y = f ( x) определена в точ-

ке x0

и ее окрестности. Если точка x0 –

точка локального экстремума, то

производная функции в точке

′

= 0 ).

x0 равна нулю ( f (x0 )

Доказательство.

Проведем

доказа-

тельство

для

случая локального

минимума.

Пусть

–

точка локального минимума, тогда

по определению для любого x из промежутка

( x0

- d; x0 + d)

выполняется

неравенство:

f (x) ³ f (x0 ) или f (x) - f (x0 ) ³ 0 .

Пусть

x Î( x0 - d; x0 ) ,

тогда

на

этом интервале

x - x0 < 0 ,

f (x) − f (x0 )

£ 0 , следовательно

f ¢(x

) =

lim

f (x) − f (x0 )

£ 0 .

x - x0

−

x→−0

x - x0

x Î( x0 ; x0 + d) ,

x − x0 > 0 ,

Пусть

тогда

на

этом интервале

f (x) − f (x0 )

³ 0 ,

значит,

f ¢(x

) =

lim

f (x) − f (x0 )

³ 0 ,

но

по

условию

x - x0

x→+0

x - x0

f ( x)

дифференцируема в точке x0 , следовательно f

′

(x0 ) = 0 . Что

+ (x0 )

= f−

и требовалось доказать.

Замечание 3.13.3.

Геометрический смысл тео-

ремы Ферма. Касательная, проведен-

ная

графику

дифференцируемой

функции в точках экстремума парал-

лельна оси Ох.

208

2. Необходимое условие позволяет находить точки, подозрительные

на экстремум (из условия

′

f (x0 ) = 0 ).

3. Теорема не обратима: если касательная,

проведенная к графику дифференцируемой функ-

ции параллельна оси

Ох,

то не всегда эта функция

имеет в этой точке экстремум.

4. Существуют функции, которые в точках

экстремума не имеют производной. Например,

y =

непрерывная функция

y =

в точке производ-

ной не имеет, но точка

x = 0

является точкой

минимума.

3.14. Применение производной. Правило Лопиталя – Бернулли

Правило Лопиталя – Бернулли применяется для вычисления пределов

в случае раскрытия неопределенностей вида	0	и ∞	, а также всех дру-

0		∞
гих, сводящихся к ним.

Теорема 3.14.1. Пусть функции f (x) и g(x) определены в некото-

рой окрестности точки b и дифференцируемы на промежутке [a,b), пусть

f (x)

предел lim

. Пусть также существует конечный или бесконеч-

x→b g(x)

′

ный предел

lim

f (x)

, тогда

x→b

′

g (x)

f (x)

′

lim

= lim

f (x)

x→b

g(x)

x→b

′

g (x)

Доказательство. Доопределим функции

f (x)

и g(x) в точке b

значениями:

f (b) = g(b) = 0 , тогда для функций

f (x)

и g(x) выполнены

условия теоремы Коши, а значит для любого отрезка [x,b] , где							x [a,b]
существует точка c ( x,b) такая, что
	f (x) − f (b)		f (x)		′
		=		=	f (c)	.	(3.14.1)
	g(x) − g(b)				′
			g(x) g (c)

209

	Переходя		к		пределу в полученном равенстве, будем иметь
lim	f ( x)	= lim	f ′(x)		. Что и требовалось доказать.

x→b g ( x)		x→b g¢(x)
	Замечание.			Правило Лопиталя – Бернулли имеет место и в случае
						¥
неопределенности вида						.
						¥
	Правило Лопиталя –					Бернулли применяется также для раскрытия не-

определенностей вида			(0	× ¥), (¥ - ¥), (1∞ ), (¥0 ), (00 ), которые сводятся
к двум основным	0	,		¥	путем тождественных преобразований.


	0			¥

10.

lim x3e− x = (¥ × 0) = lim

= lim

3x2

= lim

= 0 .

x→∞

x→∞ ex

→∞ ex

x→∞ ex

2a3 x - x4 - a 3 a2 x

lim

x → a

a - 4 ax3

2a3 - 4x3

- a

1× a2

2 a3 x - x4

(a2 x)2

-2a2 -

-a -

= lim

a .

3a3

-3

x →a

3ax

(ax3 )3

30. lim tg p x

x−1

tg π x x−1

lim ( x−1)ln tg π x

= (¥0 ) = lim e

= ex→1

x→1

→1

lim ( x -1)ln tg p x = (0 × ¥) = lim

ln tg 2 x

= ¥

x→1

x -1

× 2

cos

2 p

( x -1)

= - p lim

= lim

x→1

2 x→1

sin 2 x × cos 2 x

( x -1)2

= - p lim

2( x -1)2

= - p × 2 lim

2( x -1)

= -p ×

2 × 0

= e0 =1.

sin px

p ×(-1)

2 x→1

x→1 pcos px

210

<<< < Предыдущая 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 3621 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf