умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пензенский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Aik = (–1) i+k Mik.

Например, A23

Определение 1.3.5.

Определитель n-ного порядка равен сумме

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.05.2015

Размер:

5.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

ход позволяет открыть решение заданий повышенных уровней сложности всей аудитории. Предлагаемая модель «подтягивает» студентов до приклад- ного и творческого уровней обучения. Работая на протяжении занятия с за- даниями I уровня, слабые студенты приобретают базовые знания и умения. Тем самым, создаются предпосылки для освоения методики решения более сложных заданий студентам, желающим перейти на другой уровень обуче- ния; для развития, в конечном счете, потенциала всей аудитории.

0.4.Методические рекомендации работы в информационном поле модуля

Всамом общем виде процесс познания новой информации состоит из следующих этапов: первичное восприятие → изучение основных ее элементов → углубление, обобщение, систематизация полученной инфор- мации → включение познанного нового знания в систему имеющихся представлений, знаний, мировоззрения в целом. Исходя из этих психолого- методологических соображений, предлагается следующая последователь- ность этапов работы в информационном поле модуля.

0.С помощью методической карты изучить содержание разделов лекционного материала.

1.Вход в модуль целесообразно осуществить с помощью графиче- ской схемы и информационной таблицы. Граф-схема и информационная таблица определенного раздела математики представляют собой макси- мально сжатый, компактно составленный справочный материал. Справоч- ный материал информационной таблицы раскрывает основные блоки гра- фической схемы рассматриваемого раздела.

Предложенные методические средства помогают при изучении но- вой информации увязать различные понятия, теоремы, формулы в единое целое; позволяют проследить логику построения теорий; служат эффек- тивному прохождению всех этапов восприятия, усвоения, обобщения, сис- тематизации, и в конечном итоге, логической организации новой инфор- мации. Структурированная наглядность содержания представленной ин- формации облегчает ее усвоение за счет целостности представления и вос- приятия изучаемого объекта, направляет избирательность внимания и па- мяти. Все это способствует более глубокому уровню усвоения предмета, помогает находить главное и производное в изучаемом материале, анали- зировать его, учит рационально работать с новой информацией любого со- держания.

2.Изучение теоретической части модуля следует начинать с бегло- го чтения всей информации. На втором этапе этой познавательной дея- тельности рекомендуется проработать каждый раздел, отдельные фрагмен- ты при этом разумно параллельно проделать своей рукой. На третьем эта- пе, просмотрев еще раз графическую схему, отработав основные положе- ния теоретической части модуля с помощью информационной таблицы, целесообразно прочитать еще раз весь теоретический материал с целью его целостного восприятия, большей систематизации, логической организации

иобобщения.

3.Практическая часть модуля представляет собой методически спроектированные практические занятия. Отметим, что они содержат как методические рекомендации преподавателям, так и методические реко- мендации студентам. В этой связи, обратим внимание на наличие обучаю- щих задач, решение нулевых вариантов аудиторных и внеаудиторных кон- трольных работ. Все это дополняет задачи и примеры, приведенные в тео- ретической части модуля, и создает предпосылки для овладения соответст- вующим математическим аппаратом, по крайней мере, на уровне воспро- изводящей познавательной деятельности, позволяет освоить студенту практическую часть информации модуля либо самостоятельно, либо под руководством преподавателя.

4.На выходе из модуля следует еще раз провести обобщение, сис- тематизацию полученных знаний путем повторного изучения графической схемы, информационной таблицы, глоссария и выводов. Кроме того, прак- тическая часть содержит в себе возможности для проведения контроля и самоконтроля результатов обучения: тесты трех уровней сложности, нуле- вой вариант аудиторной или внеаудиторной контрольной работы, индиви- дуальные домашние задания. Поэтому на выходе из модуля рекомендует- ся, как минимум, выполнить тест первого уровня сложности. Тесты перво- го уровня сложности рекомендуется выполнить и непосредственно при подготовке к экзамену, зачету либо коллоквиуму.

Желаем успехов!

УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Введение

В данном учебном модуле рассматриваются матрицы и действия над ними, изучаются свойства и методы вычисления определителей, большое внимание уделяется теории решения систем линейных уравнений. Матрич- ная алгебра дает возможность оперировать с целыми группами однотипных величин, выполняя различные математические преобразования (сложение, умножение и т.д.) аналогично тому, как это делается в обычной алгебре. Использование матриц не только открывает новые возможности, но и уп- рощает решение многих задач. Матричная формулировка задачи облегчает ее программированное решение. При этом оказывается возможным исполь- зование стандартного математического программного обеспечения.

ДИДАКТИЧЕСКИЕ ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

	Студент должен знать	Студент должен уметь

	− основные определения, связан-	− выполнять линейные операции
	ные с понятием матриц;	над матрицами;
	− основные определения, связан-	− выполнять умножение матриц;
	ные с понятием определителей;	− вычислять обратную матрицу;
	− основные определения, связан-	− вычислять определители 2, 3, n
	ные с понятием систем линейных	порядка разложением по элементам
	уравнений;	порядка разложением по элементам
	уравнений;	произвольного ряда;
	− свойства линейных операций над	произвольного ряда;
	− свойства линейных операций над	− использовать эффективные спо-
	матрицами;	собы вычисления определителей;
	− определение и свойства умноже-	собы вычисления определителей;
	− определение и свойства умноже-	− исследовать системы линейных
	ния матриц;	уравнений на совместность;
	− свойства определителей;	уравнений на совместность;
	− свойства определителей;	− применять матрицы и определи-
	− матричный метод и правило Кра-	тели к решению систем линейных
	мера решения невырожденных сис-	уравнений матричным методом, по
	тем линейных уравнений;	формулам Крамера;
	− теорему Кронекера – Капелли;	− использовать метод Гаусса
	− метод Гаусса

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА МОДУЛЯ 1

		Номер	Нагляд-	Формы
Название вопросов,		практи-	ные и	Формы
которые изучаются на лекции		ческого	методи-	контроля
которые изучаются на лекции		ческого	ческие	знаний
		занятия	ческие	знаний
			пособия

1. Матрицы, основные понятия. Линейные
операции над матрицами и их свойства.
Определители n-ного порядка и их свойст-			1, 2, 3,	ПЛ,
ва. Алгебраическое дополнение. Вычисле-		I	1, 2, 3,	ПЛ,
ва. Алгебраическое дополнение. Вычисле-		I	4, 5	ВДЗ
ние определителя разложением	по строке		4, 5	ВДЗ
ние определителя разложением	по строке
(столбцу). Вычисление определителя при-
ведением к треугольному виду.

2. Умножение матриц, свойства операции
умножения. Обратная матрица, ее вычисле-		II, III	1, 2, 3,	ПЛ,
ние. Решение систем линейных уравнений		II, III	4, 5	ВДЗ
матричным методом. Правило Крамера.

3. Ранг матрицы. Теорема	Кронекера-		1, 2, 3,	Опрос,
Капелли. Решение произвольных систем		IV, V	1, 2, 3,	Опрос,
Капелли. Решение произвольных систем		IV, V	4, 5	ПДЗ
линейных уравнений методом Гаусса			4, 5	ПДЗ
линейных уравнений методом Гаусса

Перечень тем практических занятий приведен в практической части модуля.

ГРАФИЧЕСКАЯ СХЕМА МОДУЛЯ 1

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

	Определители,	Системы линей-
Матрицы	их свойства,
	методы вычисле-	ных уравнений

Основные	Операции над	Ранг	Критерий
понятия	матрицами	матрицы	совместности

Линейные	Умножение матриц,	Несовместные
свойства
	свойства

Обратная	Однородные
матрица		Совместные

Неоднородные

Методы решения

Матрич-	Правило	Метод
ный	Крамера	Гаусса

Информационная таблица « Элементы линейной алгебры»

Матрица Аm × n –

прямоугольная таблица

Система совместна, если она имеет

из m строк и n столбцов, состоящая из эле-

хотя бы одно решение.

ментов

произвольной

природы.

Система, не имеющая ни одного ре-

Am×n

= (aij )

шения, называется несовместной.

m×n

Элементарные преобразования

Аm × n + Bm × n = (aij)m × n + (bij)m × n

матрицы:

a×A = (a aij)m × n

1) перемена местами двух параллель-

Аm × к × Bк × n

ных рядов;

∑ail ×blj

l =1

2) умножение элементов ряда на чис-

$A и В, что A×B¹В×A, $A¹0, B¹0, что A×B = 0

ло, отличное от нуля;

-1

–

обратная матрица для Аn × n,

3) прибавление к

элементам одного

если AА-1 = А-1А = E.

ряда

соответствующих

элементов

A ...

другого, параллельного ему ряда.

Если∆Аn×n ¹0, то $A

−1

A12

A22 ...

An2

При элементарных преобразованиях

ранг матрицы не изменяется

...

... ...

...

A1n

A2n ...

Ann

Ранг ступенчатой матрицы равен ко-

Эффективные методы вычисления ∆А:

личеству ее ненулевых строк

1) получение среди элементов произвольно-

Система (1) совместна тогда и толь-

го ряда максимального количества нулей;

ко тогда, кода ранг матрицы системы

2) приведение ∆А к «треугольному» виду.

равен

рангу расширенной

матрицы

Элемент строки матрицы –

крайний,

если

системы

он не равен 0, а все элементы этой строки,

r ( A) = r( A),

A = ( A

b )

находящиеся левее него, равны 0.

Матрица –

ступенчатая,

если

крайний

Если ∆А ¹ 0, то система имеет един-

элемент каждой матрицы находится правее

крайнего элемента предыдущей строки.

ственное решение.

= Di

(формулы

1 3

4 2

2 3 2

Крамера)

10.

20.

-2

0 - 1

3 1

0 0 0

¹ 0, то система имеет един-

Если ∆

неступенчатая

ступенчатая

решение.

= A−1 ×

(мат-

ственное

Ранг матрицы –

наибольший из порядков

ричный метод решения системы)

ее миноров, не равных 0.

Суть метода Гаусса:

Базисным минором называется любой из

1) привести с помощью элементарных

отличных от нуля миноров матрицы А, по-

преобразований над

строками

рядок которого равен r(A).

ступенчатому виду;

(1)

Am×n × X

n×1 = bm×1

–

матричная запись систе-

2) вычислить и сравнить r(A), r(

) :

мыизm линейныхуравненийсn неизвестными.

- если r ( A) ¹ r( A) , то система несо-

Решение системы (1)

–

такой набор чисел

вместна;

(с1,…, сn), что при его подстановке в систему

r ( A) = r(

вместо соответствующих неизвестных каждое

- если

) ,

то система

со-

из уравнений системы обращается в тождество.

вместна;

Система

называется

определенной,

если

3) выбрать базисный минор;

она имеет единственное решение, и неопре-

4) выделить свободные и

базисные

деленной, если она имеет более одного ре-

шения.	неизвестные. Получить решение.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА

1.1. Матрицы. Основные понятия. Линейные операции над матрицами

Определение 1.1.1. Матрицей размера m × n называется прямо-

угольная таблица чисел или объектов какой-либо другой природы, запи- санных в m строк и n столбцов.

Определение 1.1.2.				Числа или другие объекты, составляющие
матрицу, называются элементами матрицы.
Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами: aij – элемент,
стоящий в i-той строке и j-том столбце.
Обозначение матрицы:
a	a ...			a
11	12			1n	A = (aij)m×n
A = a21	a22 ...			a2n	A = [aij]m×n
− − − − − − − − − −					A = \|\|aij\|\|m×n
	am2 ...				A = \|\|aij\|\|m×n
am1	am2 ...			amn
Определение 1.1.3.				Матрица, у которой число строк и столбцов
одинаково, называется квадратной.
Определение 1.1.4.				Элементы а11, а22, …,	ann составляют главную
диагональ матрицы.
Определение 1.1.5.				Матрица, у которой все элементы, кроме, мо-
жет быть, диагональных, равны нулю, называется диагональной.
		1	0	0
Например,		0	2	0
Например,	A =	0	2	0
		0	0	0
		0	0	0
Определение 1.1.6. Матрица, у которой все элементы равны нулю,
называется нулевой.
		0	0	0
Например,		0	0	0
Например,	A =	0	0	0
		0	0	0
		0	0	0

Определение 1.1.7. Диагональная матрица, у которой все диаго- нальные элементы равны единице, называется единичной.

Определение 1.1.8. Матрица, у которой все элементы, стоящие ниже главной диагонали равны нулю, называется верхнетреугольной.

Определение 1.1.9. Две матрицы называются равными, если их размеры совпадают и совпадают все элементы, стоящие на одинаковых по- зициях.

Определение 1.1.10. Матрица, в которой строки переставлены со столбцами, называется транспонированной.

a	a ...	a
11	21	m1
A = a12	a22 ...	am2	.
− − − − − − − − − −
	a2m ...
a1m	a2m ...	amm
Определение 1.1.11. Элементарными		преобразованиями матриц

называются:

-перестановка местами двух параллельных рядов матрицы;

-умножение всех элементов ряда матрицы на число, отличное от нуля;

-прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих эле- ментов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение 1.1.12. Элемент матрицы называется крайним, если он не равен 0, а все элементы этой строки, стоящие левее его, равны 0.

Определение 1.1.13. Матрица называется ступенчатой, если крайний элемент каждой матрицы находится правее крайнего элемента предыдущей строки.

Определение 1.1.14. Матрица называется канонической, если в на- чале главной диагонали ее стоят подряд несколько единиц, а все остальные элементы равны нулю.

Определение 1.1.15. Две матрицы называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобра-

зований. Записывается А В.

Замечание. При помощи элементарных преобразований любую матрицу можно привести к эквивалентной ей ступенчатой или канониче- ской матрице.

1.2. Линейные операции над матрицами и их свойства

Определение 1.2.1. Суммой двух матриц одной размерности на- зывается матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов исходных матриц.

(aij)m×n + (bij)m×n = (cij)m×n

Определение 1.2.2. Произведением матрицы на число (или на-

оборот) называется матрица той же размерности, в которой каждый эле- мент умножен на это число.

Например,

А =

В =

;

С =

3 4

-1

А + В

;

-1

-2

;

А + С

не $.

(–1) А =

-3

-4

Определение 1.2.3.

Матрица

(-1)А = -А

называется противопо-

ложной матрице А.

Свойства линейных операций:

1. А + В = В + А;

1. 0 × Аm×n = 0 m×n;

(А + В) + С = А + (В + С);

2. (a×b)А = a (bА) = abА;

3. a(А + В) = aА + aВ;

3. aА = Аa;

4. Аm× n + (– А) = 0m×n;

4. 1×А = А.

5. Аm×n + 0 = Аm×n;

1.3.

Определители 2-го, 3-го, n-ного порядков

Квадратной матрице

А можно сопоставить число |А|,

detA, DA, на-

зываемое определителем.

Определение 1.3.1. Определителем матрицы 2-го порядка назы-

вается число

a11

a12

= a a - a a .

a21

a22

Определение 1.3.2. Определителем матрицы 3-го порядка назы-

вается число

a11

a12

a13

= а11а22а33 + а21а32а13 + а12а23а31 – а31а22а13 – а21а12а33 – а32а23а11.

a21

a22

a23

a31

a32

a33

Вычисление определителя 3-го порядка иллюстрируется схемой:

«+»

«–»

Замечание. Определитель матрицы А также называют ее детер- минантом. Правило вычисления детерминанта для матрицы произвольно- го порядка является довольно сложным для восприятия и применения. Од- нако известны методы, позволяющие вычисление определителей высокого порядка свести к вычислению определителей более низких порядков. Один из таких методов основан на свойстве разложения определителя по эле- ментам некоторого ряда.

Определение 1.3.3. Минором Mik, соответствующим элементу аik, называется определитель, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и k-того столбца.

Например, =	1	2	3	. Тогда M =	1	2
	1	2	3
	0	1	2				.
		−1		23	1	−1
				23
	1		2
	1		2

Определение 1.3.4. Алгебраическим дополнением элемента аik

называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма индексов строки и столбца четна, и «–», если указанная сумма нечетна.

произведений элементов его произвольного ряда на их алгебраические до- полнения.

Определение 1.3.6. Определителем матрицы n-ного порядка

	a11		a12	… a1n
	a		a	… a
А = (аij)n =		21	22	2n	,
А = (аij)n =		..............................			,
		..............................
	an1		an2	… ann

полученным разложением по i-той строке, называется число detA = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin,

где аi1, ai2, …, ain – элементы i-той строки A,

Ai1, Ai2, ... , Ain – их алгебраические дополнения.

Например, по определению 1.3.5 определителем detА матрицы 3-го порядка называется число

detA = a11A11 + a12A12 +a13A13.

<<< < Предыдущая 1 23 / 363 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Высшая математика (РТФ)

#
18.05.20152.77 Mб40умк_Вакульчик_Неопределенный интеграл.pdf
#
18.05.20153.63 Mб49умк_Вакульчик_Опред интеграл.pdf
#
18.05.20154.76 Mб33умк_Вакульчик_Элементы векторной алгебры.pdf
#
18.05.20155.38 Mб38умк_Вакульчик_Элементы линейной алгебры.pdf
#
18.05.20151.33 Mб40умк_Мальцев_Осн дискретной матем.pdf
#
18.05.20153.75 Mб39умк_Пальчик_Теория вероятностей.pdf
#
18.05.20155.68 Mб32умк_Цывис_Диф.уравнения_Ряды.pdf
#
18.05.20154.7 Mб39умк_Цывис_Функции_Интеграл. исчисл..pdf
#
18.05.20153.54 Mб76умк_Яско_ Диф.уравнения_Ряды.pdf