pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Q Положив в формуле (64.7) о:= -~ и замеrшв хна (-х2), получим

равенство

Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех

Ряды (64.4)-(64.14) в комбинации с правилами сложения, вычита­

ния, умножения, дифференцирования, интегрирования степенных ря­

дов (см. свойства степенных рядов) могут быть использованы при ра~­

ложении (некоторых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).

то, воспользовавшись формулой (64.9), в которой заменим хна (-i),

получим:

470

Пример 64.з. Разложить в ряд Маклорена функцию

§ 65. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

65.1. Приближенное вычисление значений функции

Пусть требуется вычислить значение функции /(х) при х = Х1 с

заданной точностью е > О.

Если функцию /(х) в интервале (-R;R) можно разложить в сте­

пенной ряд

f(x) = ао + aix + а2х2 + ... + anxn + ...

и х1 Е (-R; R), то точное значение /(х1) равно сумме этого ряда при

Х = Х1, Т. е.

f (х1) = ао + aix1 + a2xi + ... + anxf + ... ,

а приближенное - частичной сумме Sn(x1), т.е.

f(x1) ~ Sn(x1) = ао + aix1 + a2XI + ... + апх?.

Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная по­

грешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда,

т.е.

где

471

Таким образом, ошибку l/(x1 ) - Sn(x1)\ можно найти, оценив остаток тп(х1) ряда.

Для рядов лейбницевского типа

lrn(x1)I = lиnн(х1) + Un+2(x1) + Un+з(x1) +. · -1 < lиnн(x1)I

(см. п. 61.1).

В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположи­ тельный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него старают­

ся найти (подобрать) положительный ряд с большими членами (обыч­ но это сходящийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы

суммировался. И в качестве оценки \тn(х1)1 берут величину остатка

этого нового ряда.

Пример 65.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001.

Q Решение: Согласно формуле (64.5),

n=l

Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно).

Так как J! ~ 0,008(3) > 0,001, а j, ~ 0,0002 < 0,001, то для нахождения

sin 1 с точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:

Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член

(т. е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение

При.мер 65.2. Вычислить число е с точностью до 0,001.

Q Решение: Подставляя х = 1 в формулу (64.4), получим:

Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оце­

ним ошибку тп(х):

=(п~1)! ( 1 +п:2+ (п+ 2)1(п+ 3) + ···)<

<(п~1)! ( 1+п:1+(п~1)2+···)= (п~1)! ( l - 1ntI) = п!~п'

472

Заме'Чание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью

остаточного члена ряда Маклорена

с

где с находится между О и х1. В последнем примере R..(1) = (n ~ l)!'

О < с< 1. Так как ее < е1 < З, то R..(1) < (n ! l)!. При п = 6 имеем:

R 6 (1) < fi < 0,001, е ~ 1+1 + J"! + ... + ~ ~ 2,718.

65.2. Приближенное вычисление определенных

интеrралов

Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычи­

сления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда

первообразная не выражается в конечном виде через элементарные

функции (см. § 34) либо нахождение первообразной сложно.

ь

Пусть требуется вычислить Jf(x) dx с точностью до с:> О. Если

а

подынтегральную функцию /(х) можно разложить в ряд по степеням х и интервал сходимости (- R; R) включит в себя отрезок [а; Ь], то для

вычисления заданного интеграла можно воспользоваться свойством по­

членного интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же, как и при вычислении значений функций.

Q Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена,

заменяя хна (-х2 ) в формуле (64.4):

473

Интегрируя обе части равенства (65.1) на отрезке [о; :i], лежащем вну­

три интервала сходимости (-оо; оо), получим:

оо

> 0,001, а 2! . 5 . 45 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем:

оо

который сходится на всей числовой оси.

474

65.3.Приближенное решение дифференциальных уравнений

Если решение дифференциального уравнения не выражается че­

рез элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных

уравнений с помощью степенных рядов.

Способ последовательного дифференцирования

Решение у= у(х) уравнения (65.2) ищем в виде ряда Тейлора:

при этом первые два коэффициента находим из начальных усло­

вий (65.3). Подставив в уравнение (65.2) значения х = хо, у = Уо,

у' = уЬ, находим трРтий коэффициент: у"(хо) = /(хо; у0; уЬ). Значения

у"'(х0), у<4)(х0), ... находим путем последовательного дифференциро­

вания уравнения (65.2) по х и вычисления производных при х = хо. Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в ра­ венство (65.4). Ряд (65.4) представляет искомое частное решение урав­ нения (65.2) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная

сумма этого ряда будет приближенным решением дифференциального

уравнения (65.2).

Рассмотренный способ применим и для построения общего реше­

ния уравнения (65.2), если у0 и у~ рассматривать как произвольные

ПОСТОЯННЫ{'.

Способ последовательного дифференцирования применим для ре­

шения дифференциальных уравнений любого порядка.

Пример 65.4. Методом последовательного дифференцирования

найти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд ре-

шения уравнения у"= х2 + у2, у(-1) = 2, у'(-1) = ~·

475

Q Решение: Будем искать решение уравнения в виде

у= у(-1) + у'(~1) (х + 1) +у"(2~1) (х + 1)2 + у///(3~1) (х + 1)3 + ...

Здесь у(-1) = 2,у'(-1) = !·Находим у'~!-1), подставив х = -1 вис­

ходное уравнение: у"(-1) = (-1)2 + 22 = 5. Для нахождения последу­

ющих коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное

уравнt>ние:

ym = 2х + 2уу',

у<4> = 2 + 2(у')2 + 2уу", у(5 ) = 4у'у" + 2у'у" + 2уу/// = 6у'у" + 2уу111 ' •••

При х = -1 имеt>м:

1

у(4>(-1)= 2 + 2. 4 + 2. 2. 5 = 22,5,

у(5)(-1) = 6. ~. 5 + 2. 2. о= 15" ..

2

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, полу­

чим:

Способ неопределенных коэффициентов

Этот способ приближенного решения наиболее удобен для инте­ грирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

Пусть, например, требуется решить уравнещ1е

с начальными условиями у(хо) = Уо, у'(хо) = у0.

Предполагая, что коэффициенты р1 (х), р2(х) и свободный член f(x) разлагаются в ряды по степеням х - х0, сходящиеся в некото­

ром интервале (хо - R; х0 + R), искомое решение у= у(х) ищем в виде

степенного ряда

с неопределенными коэффициентами.

Коэффициенты Со я с1 определяются при помощи начальных усло­

вий Со= уо, С1 = Уо·

476

Глава XV. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

1 Лекции 56-581

§бб. РЯДЫ ФУРЬЕ бб.1. Периодические функции.

Периодические процессы

При изучении разнообразных периодu'Ческих прочессов, т е про­

цессов, которые через определf'нный промежуток времени повторяются

(встречаются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее раз­

лага1ь периодические функции, описывающие эти процессы, Hf'в сте­

пенной ряд, а в так называемый тригонометрический ряд.

Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве

D, называется периодu'Ческоfi, (см. п. 14.3) с периодом Т > О, если

при каждом х Е D значение (х + Т) Е D и выполняе1ся равенство

f(x + Т) = f(x).

Для построения графика периодической функции периода Т досга­

точно построить его на любом отрезке длины Т и периодически про­ должить его во всю область определения.

Отметим основные свойства периодической функции.

1.Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один

итот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.

2.Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет

период f: действительно, f (а· ( х + f)) =!(ах+ Т) = f(ax)

Q Пусть, например, О < а < Ь < Т, тогда

аа

Сдругой стороны,

478

Подставляем полученный результат в (66.2) и, сравнивая с (66.1), име-

оь

Простейшими периодическими функциями являются тригономе-

трические функции sin х и cos х. Период этих функций равен 27r, т. е.

т = 27r.

Простейшим периодическим процессом (двюкением) является про­ стое гармони-ч.еское колебание (движение), описываемое функцией

полное колебание совершается за промежуток времени 27r (w показы­ w

вает, сколько колебаний совершает точка в течение 211' единиц време­

ни)

Проведем преобразование функции (66.3):

у = Аsin(wt + <ро) = А sin ""t cos <ро +А cos wt sin <ро = аcos""t + bsin""t,

(66.4)

где а = А sin <р0, Ь = А cos <ро. Отсюда видно, что простое гармоническое колебание описывается периодическими функциями sin""t и cos(l.lt.

Сложное гармони"tеское колебание, возникающее в результате на­

ложения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также

описывается функциями вида sin""t и cos(l.lt. Так, функция

<p(t) = Ао + А1 sin(t + <р1) + А2 sin(2t + <р2) + ... + А30 sin(30t + <р30) =

30

= Ао + L An siп(nt + <r?n)

n=l

30

или, что равносильно, функция <p(t) = Ао + Е (ancosnt + Ьnsinnt)

n=l

задает сложное гармоническое колебание. Так как период первой гар-

479