pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

имеет производную в точке х = О, а производная этой функции ! ~

~Ряд (75.8) называется рядом Т,еШора функции f (z) в точке z0 .

Ряд Тейлора дифференцируемой в точке z0 функции существует и

сходится к самой функции. Ряд же Тейлора,.цля действительной функ­

ции f(x) может сходиться к другой функциi~: или быть расходящимся.

Заме'Чанuе. Формула n-й производной функции f(z) может быть

получена из формулы Коши

6)На рисункеL294 представлена область,

уограниченная контуром интегрирования.

lz/=1

550

Q Решение: Внутрикругаинаегогранице!zi = lфункция/(z) =cosz аналитична. Поэтому, в силу формулы (75.7), имеем

~членами которого являются комплексные числа, называется чи­

с1tовым рядом (в комплексной области). Ряд (76.1) с комплекс­

ными членами Un = an +ibn можно записать в виде

ет, то ряд (76.1) называется расход.ящимс.я.

Очевидно, что ряд (76.1) сходится тогда и только тогда, когда схо­

дится каждый из рядов

плексными членами сводится к исследованию сходимости рядов (76.2) и (76.3) с действительными членами.

551

552

76.2. Степенные ряды

Следствие 76.1. Если ряд (76.5} расходится при z = z0 , то он расхо­

дится при всех значениях z, удовлетворяющих условию izl > lzol (т. е.

вне круга радиуса Jz0 Jс центром в начале координат)

Из теоремы Абеля следует существование числа R = Jzol тако­

го, что при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству izl < R, степенной ряд (76.5) абсолютно сходится. Неравенству lzl < R удовле­

творяют точки комплексной области, лежащие внутри круга радиуса

R с центром в точке z = О.

~Величина R называется радuvсом cxoiJuмocmu ряда (76.5), а

круг lzl < R - кругом сходимости ряда. В круге lzl < R

ряд (76.5) сходится, вне этого круга - расходится; на окружности lzl = R могут располагаться как точки сходимости, так и точки расхо­

димости ряда.

553

Принято считать, что R =О, когда ряд (76.5) сходится в одной точ­

ке z =О; R = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Кругом сходимости ряда (76.6) является круг jz - z0 j < R с центром в

точке z = zo.

Радиус сходимости ряда (76.5) МОЖ!JО вычислить по формуле

п-tоо

ния признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов

исходного ряда.

Приведем (без доказательств) некоторые са01'iства степенного ря-

да.

1.Сумма ст«:>пенного ряда внутри круга его сходимости есть ана­

литическая функция.

2.Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно диф­ фt-ренцирова"Iь и почленно инте1 риронать любое число ра-з. Получен­

ный при этом ряд имеет тот жt> радиус сходимости, что и исходный

ряд.

00 п

Пример 76.1. Найти область сходимости ряда 2:: ~·

п=О n.

Q Решение: Здесь Сп= ~!,Сп+~ = (п ~ l)!,

т. е. R = оо. Следовательно, областью сходимости является вся плос­

Пример 76.3. Определить радиус сходимости ряда

и исследовать сходимость ряда в точках z1 =О, z2 = i, zз = З - 2i.

554

Q Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь

Ряд сходится при всех z, удовлетворяющих неравенству \z\2 < 1, т. е.

\z\ < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = О и

радиусом 1.

Точка z1 = О лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд сходится абсолютно. Точка z2 = z лежит на границе круга сходимости,

в этой точке ряд может сходиться (абсолютно или услоF1но) и расхо­

диться. Подставляя значение z2 = z в выражение общего члена ряда,

ряд с общим членом 1.lп = Тп расходится согласно интегральному при-

знаку Коши (теорема 60.5). Следовательно, R точке z 2 = 1 степенной

оо2n

76.3. Ряд Тейлора

Теорема 76.4. Всякая аналитическая в круге \z - z0 \ < R функция f(z) может быть единственным образом разложена в этом круге в

n=O

коэффициенты которого определяются формулами

555

Так как функция f(z) аналитична в круге lz - zol < r и на его гра­ нице lr, то ее значение в точке z можно найти по формуле Коши (75.9):

Умножим обе части этого равенства на величину - 1 . f Ю и проинте-

21Г~

rрируем его почленно по контуру lr. Получим:

lr

получим представление коэффициентов ряда через n-e производные

J(n)(zo)

функции f(z) в точке z0 : Сп= п.1 (n =О, 1, 2, ...).

Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в сте­ пенной ряд (76.7), коэффициенты которого определяются по форму­

лам {76.8).

Докажем единственность этого разложения.

Допустим, что функция f(z) в круге lz - zol < R представлена

другим степенным рядом

f(z) = Ьо + Ь1(z - zo) + Ь2(z - zo)2 + ... + Ьп(z - zo)n + ...

556

Последовательно дифференцируя почленно зтот ряд бесконечное чи­ сло раз, будем иметь:

вая найденные ко~ффициенты Ьn ряда с коэффициентами ряда (76.7),

устанавливаем, что Ьn =Сп (п =О, 1, 2, ...), а это означает, что указан.­

ные ряды совпадают.

Функция f(z) ра"iлагается в степенной ряд единственным обра-

~.

Приведем разложения некоторых элемf'нтарных функций в ряд Тейлора (Маклорена):

Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной

плоскости, последние два - в круге lzl < 1.

\il Заменив z на iz в разложении функции ez, получим:

т. е. формулу Эйлера e•z = cos z + i sin z.

557

76.4. Нули аналитической функции

Как показано выше, всякая функция f(z), аналитическая в окрест­

ности точки z0 , разлагается в этой окрестности в степенной ряд (76.7):

коэффициенты которого определяются по формулам (76.8).

~Точка z0 называется нулем функции f (z), если f(zo) = О. В

этом случае разложение функции f(z) в окрестности точки z0 в

степенной ряд не содержит нулевого члена, т. к. Со= f(z0 ) =О. Если не только Со =О, но и с1 = с2 = ... = Cm-1 = О, а Cm i:- О, то разложение

функции f(z) в окрестности точки z0 имеет вид

f(z) = Cm(z - zo)m + Cm+1(z - zo)m+I + ... + Cn(z - zo)n + ... , (76.9)

а точка z0 называется нулем кратности т (или нулем m-го порядка).

Если т = 1, то z0 называется простьtм нулем.

Из формул (76.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует,

что если z0 является нулЕ>м кратности т функции f(z), то f(zo) =

= f'(z0 ) = ... = J(m-I)(z0 ) =О, но J(m)(z0 ) i:- О. В этом случае пред­

ставление функции степенным рядом (76.9) можно переписать в виде

j(z) = (z - zo)"'rp(z), где

Для функции rp(z) точка z = z0 уже не является нулем, так как rp(zo) =

=Ст °10.

liJ Справедливо и обратное утверждение: если функция f(z) имеет

вид (76.10), где т - натуральное число, а rp(z) аналитична в точке z0 , причем rp(zo) "1 О, то точка zo есть нуль кратности т функции f(z).

76.5. Ряд Лорана

558

559