pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

обычно непосредственно определяют коэффициент с_1 в разложении функции в ряд Лорана.

z =о.

а РРшение: Лоранонское разложение данной функции в окрестности

Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла

от функции комплексного переменного по -замкнутому контуру.

570

Определенный интеграл вида j2ir R(sin х;cos х) dx с помощью заме-

о

ны z = eix в некоторых случаях удается преобразовать в интеграл по

замкнутому контуру Jzl = 1 от функции комплексного переменного, к

которому уже применима основная теорема о вычетах.

Пример 77.4. Вычислить с помощью вычетов интеграл

Q Решение: Произвед<>м замену переменного, положив z = ei.i:. Тогда

;r от О до 27r точка z опишет в положительном направлf'нии окружность

Глава XVlll. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

/ Лекции б9-71 1

Операционное исчисление играет важную роль при решении при­ кладных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.

Операционное исчисление - один из методов математического ана­ лиза, позволяющий R ряде случаев сводить исследование дифференци­

альных и некоторых типов интегральных операторов и решение урав­

нений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых ал­

гебраических задач.

Методы операционного исчислРния предполагают рРализацию сле­

дующей условной схемы решения задачи.

1.От искомых функций переходят к некоторым другим функци­

ям - их изображениям.

2.Над изображРниями производяr операции, соответствующие за­ данным операциям над самими функциями.

3.Получив некоторый результат при действиях над изображения­ ми, возвращаются к самим функциям.

Вкачестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое nреобразован:ие Ла­

пласа.

§ 78. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 78.1. Оригиналы и их изображения

Основными первоначальными понятиями операционного исчисле­ ния являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.

Пусть f(t) -- действительная функция действительного перемен­

ного t (под t будем понимать время или координату).

~Функция /(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет

следующим условиям:

1.f(t) =О при t <О.

2.f(t) - кусочно-непрерывная при t ~О, т. е. она непрерывна или

имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке

оси t таких точек лишь конечное число.

~ 3. Существуют такие числа М > О и s0 ;:;:: О, что для всех t выпол­

няется неравенство l/(t)i :::; М ·e•ot, т. е. при возрастании t функция f(t) может возрастать нЕ:! быстрее некоторой показательной функции.

Число s0 называется nоказаmел.ем роста f(t).

572

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описываю­ щих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого мо­ мента времени; удобнее считать, что в момент t = О. Третьему усло­

вию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положить

s0 = О), степенные tn (п > О) и другие (для функций вида f(t) = aet2

условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функ­

ция f(t) = t (не удовлетворяет второму условию).

Замечание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительно переменного, т. е. иметь вид /(t) = fi (t) +i/2 (t); она счи­ тш>тС"Я оригиналом, если действительные функции / 1 (t) и / 2 (t) явля­

ются оригиналами.

~Изобра;нсенuем оригинала f(t) называется функция F(p) ком­

плексного перРменного р = s + ia, определяемая интегралом

~Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) назы-

вают преобразованием Лаnл.аса. Соответствие между оригина­

лом f(t) и изображением F(p) записывается в виде f(x) ~ F(p) или F(p) ~ /(х) (принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения - соответствующими большими буквами).

Теорема 78.1 (существование изображении). Для всякого ориги­ нала f(t) изображение F(p) существует (определено) в nолуnлоскости Rep = s > so, где s0 - показатель роста функции /(t), причем функ­ ция F(p) является аналитической в этой полуплоскости (s > so).

Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р = а

=s + ia произвольная точка полуплоскости

573

Отсю;:1.а вытекает абсолютная сходимость интеграла (78.1), т. е. изобра­

жение F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > s0 . 8

Следствие 78.1 (необходимь1й признак существования изобра­ жения). Если функция F(p) является изображением функции f(t),

то

lim F(p) =О.

р-400

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (78.2),

когда Rep = s --+ +оо.

да, в частности, следует, что функции F(p) = 5, F(p) = р2 не могут

быть изображениями.

Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее

особые точки должны лежать левее прямой Re р = s = s0 или на са­

мой этой прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию,

не является изображением функции f(t). Не является изображением,

например, функция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей оси s).

Теорема 78.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изображением двух оригиналов fi (t) и f2(t) 1то эти оригиналы

совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

574

Q Решение: По формуле (78.1) при s = Rep >О (so =О) находим:

т. е. F(p) =~,или, в символической записи, l(t) ~~,или 1 ~ ~· 8

Заме-ч,ание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко запи­

сывать в виде f(t), подразумевая, что

f(t) = {/(t) при t ~О,

Опри t <О.

Пример 78.2. Найти изображение функции f(t) = eat, где а

любое число.

Q Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (78.1)

Q Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид

•

575

а на всей комплексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особен­

ность наблюдается и для многих других изображений. Далее для нас

будет более важным, как правило, само изображение функции, а не

область, в которой оно выражается интегРмом (78.1).

78.2. Свойства преобразования Лапласа

Находить изображения, пользуясь только определением изображе­

ния, не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа су­ щественно облегчают задачу нахождения изображений для большого

числа разнообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изображениям.

Линейность

Линейной комбина1~ии оригинаJJов соответстнует такая же линей­

ная комбинация изображений, т. е. если /1(t) ~ F1(p), /2(t) ~ F2(P), с1 и с2 -- постоянные числа, то с1 · / 1(t) + с2 · /2(t) ~ с1 · F1 (р) + с2 · F2(p).

Q Используя свойства интеграла, находим

оо

Прuмер 78.4. Найти изображения функций sinL&Jt, cosL&Jt ("-'-

любое число), с (const}, chL&Jt, shL&Jt.

Q Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (78.З), нахо­

дим:

р

576

аргумента оригинала на положительное число >. приводит к делению изображения и его аргумента на это число.

Q По формуле (78.1) имеем

(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегриро­

Смещение (затухание)

Если f(t) Ф F(p), а = const, то eat · f(t) ф F(p - а), т. е. умножение оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р.

а в силу формулы (78.1) имеем

eat · f(t) Ф j00 eat · f(t)e-pt dt =· j00 f(t)e-(p-a)t dt == F(p - а)

577

Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия

между оригиналами и их изображениями:

Прuмер 78.5. Найти оригинал по его изображению

2р- 5

F(p) = р2-6р+11°

О Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было вос­

пользоваться свойством смещения:

ние оригинала на положительную величину т приводит к умножению

изображения оригинала без запаздывания на e-Pr.

О Положив t - т = ti, получим

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и f(t-т)

имеют одинаковый вид, но график функции f(t-т) сдвинут на т единиц

578

вправо (см. рис. 304). Следовательно, функции f(t) и J(t-т) описывают

один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией f( t - т),

начинается с опозданием на время т.

Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изобра­

жения функций, которые на разных участках задаются различными аналитическими выражениями; функций, описывающих импульсные

нoit функv,иеit (см. рис 305).

Так как l(t) ~ l, то l(t - т) ~ 1 · е-рт.

рр

Запаздывающую функцию

О Решение: Дття того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удовлетворять условиям 1-3 (см. п. 78.1). В этом смысле исходную

задачу можно понимать двояко.

Если понимать функцию f(t) как

f(t) = {t-1 при t ~ О,

Опри t <О,

т. е. f(t) = (t - 1) · 1(t) (см. рис. 306, а), то, зная, что t ~ ! (см.

р

формулу (78.4)), 1 ~ l и, исполь:Зуя свойство линейности, находим

р

579