pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k
.pdfРазлагаем функцию /1(х) в ряд Фурье. Сумма этого ряда во всех точках отрезка [а; Ь] (кроме точек разрыва) совпадает с заданной функ цией f(x). Вне этого промежутка сумма ряда и f(x) являются совер
шенно различными функциями.
Пусть теперь непериодическую функцию f (х) требуется разло
жить в ряд Фурье на отрезке [О; l]. (Это частный случай: начало ко
ординат перенесено в точку х = а отрезка [а; Ь]; область определения функции f(x) будет иметь вид [O;l], где l = IЬ- aJ.)
Такую функцию можно произвольным образом доопределить на
отрезке [-l; О), а затем осуществить ее периодическое продолжение с периодом Т = 2l. Разложив в ряд Фурье на отрезке [-l; l] полученную таким образом периодическую функцию f 1 (x), получим искомый ряд для функции f(x) при х Е [O;l).
В частности, функцию f(x) можно доопределить на отрезке [-l; О)
четным образом (т.е. чтобы при -l ~ х ~О было f(x) |
= /(-х)) - |
см. рис. 263. В этом случае функция f(x) разлагается н ряд Фурье, |
|
который содержит только косинусы (см. формулы (67.8) |
и (67.9)). |
у
у |
y=f(x) |
," ... " |
|
||
|
.• |
|
|
:·· •••,,-··/1(х) |
|
|
|
'
'
'
-l о
Рис. 263
Если же функцию
образом (см. рис. 264),
-t: о |
х |
1
х~............
Рис. 264
f(x) продолжить на отрезок [-l;O) нечетным
то она разлагается в ряд, состоящий только из
синусов (см. формулы (67.10) и (67.11)).
Ряд косинусов и ряд синусов для функции f(x), заданной на отрез ке [О; l], имеют одну и ту же сумму. Если х0 - точка разрыва функции f(x), то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же
числу: S(xo) = /(хо - О) ~/(хо +О).
Заме-чание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функ ции /(х) на отрезке [О; l], переносится практически без изменения на
случай, когда функция задана на отрезке [О; 1Г]; такую функцию мож но разложить как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (67.1)
и (67.3)).
При.мер 67.4. Разложрть в ряд косинусов функцию f(x) = тт 2х,
о< х < 1Г.
490
Q Решение: Продолжим функцию f (х) на отрезок [-п; О] четным обра зом (см. рис. 265). Разлагаем в ряд функцию
1Г-х |
о |
< х < 1Г, |
- 2 - , |
|
|
fi (х) = {1Г Jх' -1Г < х < О |
||
с периодом Т = 211". Условиям теоремы
Дирихле функция fi(x) удовлетворяет.
Используя формулы (67.1) и (67.2), нахо-
дим:
у
|
|
,,,,."", ...о............ |
о |
1Г |
х |
|
||
|
Рис. 265 |
|
2 |
11'7r-X |
7r |
|
2111'1!'-Х |
1 |
2 |
|
|
ао = ; |
j - - |
dx = 2' |
an = - |
|
|
|
||
|
2 |
|
- -cosnxdx = -- (1 - соsпп). |
|||||
|
|
|
1Г |
2 |
1Гn |
|
|
|
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
1Г - х _ 1Г |
2 (cosx |
соsЗх cos5x |
|
) |
' |
|
|
!(х) --2--4+; |
7+32+~+". |
||||||
где О< х < 7r ( |
при этом S(O) = Т = ~' 8(±11') |
=О! О= О |
) |
. |
• |
|
1!: + 1!: |
|
|
|
67.5.Комплексная форма ряда Фурье
Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Пре
образуем ряд (66.12) и его коэффициенты (66.13)-(66.15) к комплексной
форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус
и синус через показательную функцию: |
|
einx _ e-inx |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
cos nx = ----- |
sin пх = ----- |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2i |
|
|
|
|
|
|
(из формулы |
Эйлера ei"' |
= cos<p + isin<p |
и |
вытекающего |
из |
нее |
||||||||||||
равенства |
. |
|
= cos <р - |
i |
sin <р |
находим, |
что |
cos <р |
= |
ei"' + e-irp |
, |
|||||||
e-irp |
|
2 |
|
|||||||||||||||
sin <р = еirp |
2.ie -irp |
). Подставив эти выражения в ряд (66.12), находим: |
|
|||||||||||||||
ао |
00 |
|
einx + e-inx |
|
einx - e-inx |
|
|
|
|
|
|
|||||||
f (х) = 2 + L an · |
2 |
|
|
+ Ьn · |
|
2i |
= |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
n=1 |
|
einx + e-inx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ао |
|
00 |
|
einx - e-inx |
= |
|
|
|
|||||||||
|
= 2 + L an · |
|
|
|
2 |
- |
ibn · |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ibn )einx + (аn + ibn )e-inx |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
= |
ао + L (аn - |
|
= |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
n=1 |
|
|
2 |
|
оо |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
ао + """Cn€inx +С |
- |
ne-inx' |
(67.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
L.J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
где обозначено Сп = |
an - ibn |
, |
с |
- |
an + ibn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
-n - |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
491
Найдем выражения для комплексных коэффициентов с,. и С-п· Ис
пользуя выражения для ап и Ьп (формулы (66.14) и (66.15)), получим:
|
1(1 |
11" |
|
1 |
11" |
|
|
) |
= |
|
|
с..=2; |
J J(x)cosnxdx-i; |
J f(x)sinnxdx |
|
|
|
||||||
|
|
-7f |
|
-1f |
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
11" |
|
|
|
1 |
|
11" |
|
|
|
|
= 271" |
J f(x)(cosnx-isinnx)dx= 271" |
|
J f(x)e-in"'dx, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7Г |
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сп= |
271" |
J f(x)e-in"'dx |
(n = 1, 2, 3, ... ), |
|
(67.13) |
||||
|
|
|
|
-11" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
7Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Со=~ = 271" |
J !(х)dx, |
|
|
|
(67.14) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-7Г |
|
|
|
|
|
|
|
С-п |
1(1 |
7Г |
|
|
1 |
7Г |
|
|
) |
|
|
= 2 :;;: |
J f(x)cosnxdx+i; |
J f(x)sinnxdx |
|
|
||||||
|
|
|
-п |
|
|
|
-~ |
|
|
|
|
1 |
7Г |
|
|
|
|
7Г |
|
|
|
|
|
271" |
J f(x)(cosnx + i sin пх)dx = ;11" |
J f(x)einxdx (п = 1, 2, 3 ... ). |
|||||||||
|
-rг |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(67.15) |
Таким образом, формулу (67.12) можно записать в виде |
|
||||||||||
|
|
00 |
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
/(х) =Со + L Спе~пх + C-пe-inx' |
или |
!(х) = L Cпeinx. |
(67.16) |
||||||||
|
|
n=l |
|
|
|
|
п=-оо |
|
|
||
Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (67.13)-(67.15), можно
записать в виде
Сп= 2~ j f(x)e-inxdx (п=О,±1, ±2, ... ~- |
(67.17) |
§Равенство (67.16) называется комn.11.екскоt'i формоii. ряда Фу
рье функции /(х), а числа сп, найденные по формуле (67.17), -
комnлекскими коэффициентами ряда Фурье.
Если функция !(х) задается на отрезке [-l; l], то комплексная фор
ма ее ряда Фурье имеет вид
ОС> |
in'Л'X |
1 |
/ |
- Ш11"Х |
f(x) = L |
Спе-1-, |
Cn= 2l |
Jf(x)e |
1 dx (n=0,±1,±2, ... ). |
n=-сю |
|
|
- l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(67.18) |
Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов)
более компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.
492
i ?rn::z:
В -.,.лектротехнике и радиотехнике члены ряда Cne 1 называются гармониками, коэффициенты Cn - комnлекснwми амплитудами гар
моник, а числа Wn = 1Гln (n = О, ±1, ±2, ... ) - волновwми числами
00
функции /(х) = Е Cnei"-'nx.
n=-oo
Совокупность величин {с1, с2, ... , Cn, ... } называется амп.литуд
нwм спектром.
Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикаль
ных отрезков длиной Cn, расположенных в точках Wn |
= |
1Гln |
числовой |
||||
оси. |
|
|
|
|
|
|
|
Пример 67.5. Построить ряд Фу |
у |
|
|
|
|
||
рье в комплексной форме для 2-периоди |
|
|
|
|
|||
|
|
~ - |
|||||
ческой функции |
|
- 1 |
|
||||
|
' |
1 |
|
' |
1 |
' |
|
/(х) = {о, |
х Е [-1; О), |
' |
1 |
|
' |
1 |
' |
т = 2. |
|
1 2 |
3 |
4 х |
|||
|
|
-2 -1 о |
|||||
1 |
х Е (0;1], |
|
Рис |
266 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
О Решениt:': На рисунке 266 изображен |
|
|
|
|
|
||
график функции /(х). По формулам (67.18) находим (l = |
1): |
|
|
||||
|
i |
(-l)n-1 |
n#O; |
1 l |
1 |
=--(cos7Гn-isiп7Гn-l)= |
i, |
CQ = 2Jdx = 2· |
|||
2 |
1Гn |
2 |
|
||
|
1Гn |
|
|||
о
Следовательно, для всех точек непрерывности функции /(х) справед-
ливо равенство
1 ~ |
(-l)n -1 |
иrnx |
|
|
|
|
||
/(х) =-+i L..,, |
27Гn |
е |
= |
|
|
|
|
|
2 |
n=-oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
(n#O) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. (е"'х |
е-"х |
ез~"х |
e-3i11"x |
) |
|
|
|
= -- i - + -- + -- + -- + ... |
|
|||||
|
|
2 |
|
7Г |
7Г |
37Г |
37Г |
|
( S(O) = О i 1 = !,S(±l) = |
1 ! 1 = 1, на графике S(x) не отмечена). |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
§ 68. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Как известно, всякую (периодическую или непериодическую)
функцию f(x), удовлетворяющую на отрезке [-l;l] условиям теоремы
493
Дирихле, можно разложить в ряд Фурье
|
00 |
|
|
J(x) = ~о+ L an COSWnX + ЬnsinWnX, |
(68.1) |
||
Где Wn = 7rl, |
n=I |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
an=f J f(t)coswntdt |
(n=0,1,2, ... ), |
|
|
|
-l |
|
(68.2) |
1 |
l |
|
|
|
|
||
Ьn = l |
J f(t) sinwntdt |
(n = 1, 2, ... ). |
|
-/
Это разложение будРт справедливым на всей числовой оси Ох н
том случае, когда J(x) - периодическая функция с периодом Т = 2l.
Рассмотрим случай, когда /(х) - непериодическая функция, ·:~а
данная на бесконечном промежутке (-оо; оо) (т. е. l = +оо).
Будем предполагать, что на любом конрчном промежутке [-l; l] функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходит
ся следующий несобственный интеграл:
00
J \J(x)\ dx = М < оо.
-оо
Говорят: J(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.
Подставляя в ряд (68.1) значения коэффициентов an и Ьn (68.2),
получим:
1 |
l |
1°" |
l |
|
|
J(x) = 21 |
Jf(t) dt +у L |
Jf(t)(coswnt · coswnx + sinwnt · sinwnx) dt, |
|||
|
-1 |
n=I -1 |
|
|
|
т. е. |
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
1 00 l |
1 |
|
f(x) = 2l |
Jf(t) dt +у L Jf(t) · coswn(t - |
х) dt. |
(68.3) |
||
|
|||||
|
|
- l |
n=I -t |
|
|
Будем теперь неограниченно увеличивать l. Первое слагаемое в правой
части равенства (68.3) при l-+ +оо стремится к нулю, т. к.
|
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
00 |
|
м |
|
|
|
i2z |
f ! (t) dtl~ 2l |
f lf(t) ldt ~ |
2z |
f |
lf(t) 1dt = 2Т -+ о. |
|||||
|
|
-l |
|
-1 |
|
|
-оо |
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
второе |
слагаемое |
в |
равенстве |
|
(68.3). |
Величина |
|||
_ |
11'n |
|
|
_ |
71' |
|
_ |
271' |
_ |
37!' |
6 |
Wn - |
- - принимает значения w1 - |
Т, w2 |
- |
Т, wз |
- |
Т, ... , о разую- |
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щие бесконечную арифметическую прогрессию с разностью дwn = у
494
(д(A.ln = (A.ln+l - |
(A.}n, |
п = О, 1, 2, ... ), |
при этом д(A.ln -+ О при l -+ +оо. |
|||||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
00 l |
|
|
|
|
1 |
00 |
l |
l |
L j |
f(t) |
· COS(A.}n(t - |
х)dt =;: |
L j f(t) · COS(A.}n(t - х)dt ·у= |
|||
|
n=l -1 |
|
|
|
|
|
n=l -1 |
|
|
~~!;;,(j f (t) |
cosw. (t - х)dt) дw.~~!;;,'*"·) .&.>" |
||||||
где ip((A.ln) = |
!l |
f(t) |
· COS(A.}n(t - х) dt, |
(А.}п = J• 2[,. ·., nl, · · · |
||||
|
|
- l |
|
|
|
|
|
|
|
Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции |
|||||||
|
|
<р((А.}) = |
j1 |
f(t) · cosw(t - |
х) dt, (А) Е (О; +оо) |
|||
-1
(доказывается, что так оно и есть), по~тому, переходя в равенстве (68.3)
к предРлу при l -+ +оо, получаем
|
1 |
00 |
|
|
1 |
00 |
|
|
f(x) = |
- lim '°' <р((А.}п)д(А.}п |
= - |
j |
<р((А.}) ~. |
|
|||
|
7Г 1-+оо L.J |
|
|
7Г |
|
|
|
|
|
|
n=l |
|
|
|
о |
|
|
или |
1 |
00 |
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
х)dt |
|
||||
f(x) |
= ;: |
! ~ |
! |
f(t) COS(A.}(t - |
(68.4) |
|||
о-оо
§Формула (68.4) называется формулоii Фурье, а интеграл в пра вой части формулы - интегралом Фуры для функции f(x).
Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции
J(x); в точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен сред
нему арифметическому ее односторонних пределов: |
|||
~ |
1~ |
1f(t) cosu.1(t - |
х)dt = f(x - О); f(x +О). |
|
о |
- 00 |
|
Формулу (68.4) можно переписать в другом виде (в виде однократ |
|||
ного интеграла): |
|
|
|
1 |
00 |
00 |
х) dt = |
f(x) = ;: |
J~ |
J f(t) cosw(t - |
|
о-оо
1 00
=;: J00 ~ J f(t)(coswt · coswx + sinwt · sinwx)dt =
J |
о |
-оо |
|
(1 j |
1J |
|
|
00 |
00 |
00 |
|
|
~;: |
f(t)cos(A.}tdt·coswx+;: |
f(t)sinwtdt·sinwx, |
о |
- 00 |
-оо |
|
495
т. е. |
|
|
00 |
|
|
f(x) = J(A(w)coswx+B(w)siпwx)tU.J, |
(68.5) |
|
о |
|
|
где |
|
|
1 |
00 |
|
A(w) =:; |
J J(t) c~wtdt, |
|
|
- 00 |
|
1 |
00 |
|
B(w) = :; |
J J(t) siп(J)tdt. |
|
- 00
Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фу
рье. в обоих случаях функция f(x) раскладывается на сумму гармони ческих составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п,
принимающему дискретные значения п = 1, 2, 3, ... , в интеr рале Фурье
производится интегрирование по непрерывной переменной w.
Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в
виде замечаний.
Заме-ч,ани.я.
1. Если функция f(x) - |
'Четна.я, io формула Фуры' (68.5) |
прини |
|||
мает вид |
|
2 |
|
|
|
|
00 |
|
00 |
|
|
|
|
А((;})=:; Jf(t)cos"1tdt; |
|
||
f(x) |
= JA(w) coswxtU.J, |
где |
{68.6) |
||
|
о |
|
|
о |
|
в случае нечетной функции - |
|
|
|
|
|
|
00 |
где |
2 |
00 |
|
f(x) |
= JВ((;}) siпwxtU.J, |
В((;})=:; |
Jf(t) siп(J)tdt. |
(68.7) |
|
|
о |
|
|
о |
|
2. Если функция f(x) задана лишь на промежутке (О; +оо), то ее можно продолжить на промежуток (-оо; О) разными способами, в част
ности - четным или нечетным образом: в первом случае она будет
представлена формулой {68.6), во втором - |
формулой (68.7). |
||||||
З Формулу Фурье (68.5) можно представить в симметричной форме |
|||||||
записи, если положить в формулах (68.6) |
и (68.7) |
A(w) = ~А((;}), |
|||||
В((;})= ~Ё(w). В случае четной функции |
|
|
|
||||
f2 |
00 |
|
где |
|
f2 |
00 |
|
f(x)=y; |
f A((J))coswxtU.J, |
A(w)=y:; / |
f(t)cos"1tdt; |
||||
в случае нечетной функции |
|
- |
{2 00 |
||||
{200 - |
• |
где |
|||||
f(x) = V:; f В((;}) siп"1xtU.J, |
В("1) = V:; f f(t)siп(J)tdt. |
||||||
496
§Функции A(w) и B(w) называются соответственно посuнус-nре
образованuем и сuнус-nреобразованuем Фурье для функции
f(x).
4. Интеграл Фурье (68.4) в комnлексноii форме имеет вид
1 |
00 |
|
00 |
f(x) = 21Г |
J e•UJzdi....J J /(t)e-•UJtdt; |
||
|
-оо |
|
-ею |
интеграл Фурье (68.5) имеет вид |
|
|
|
f(x) |
= 211Г |
j00 |
c(w)e'UJzm.u, |
|
|
- 00 |
|
00 |
|
|
|
где c(w) = J J(t)e-•UJtdt; |
или в симметрично/;\ форм<> записи |
||
-оо |
|
|
|
|
1 |
00 |
|
f(x) |
= 21Г |
! C(LV)elUJZm.u, |
|
|
|
-оо |
|
где
c(w) = !00 /(t)e-•UJ 1dt
- 00
(c(w) = -k=c(w)).
V21Г
Прuмер 68.1. Представить интегралом Фурье:> функцию
|
{ |
е-х, |
хЕ(О;+оо), |
J(x) = |
О, |
х =О, |
|
|
еж, |
хЕ(-оо;О). |
Q Решение: Функция удовлетворяс:>т условиям представимости инте
гралом Фурье, абсолютно интегрируема на промежутке (-оо; +оо):
00 |
|
о |
00 |
|
J l/(x)I dx = |
j |
ezdx + Jе-х dx = 2. |
||
-оо |
|
- 00 |
о |
|
Функция нечетная, применим формулу (68.7): |
|
|||
2 |
+оо |
|
2 |
·-""-2. |
B(w) = - |
J e-tsinwtdt = - |
|||
1Г |
|
|
1Г |
1 + w |
о
Следовательно,
2 |
+оо |
|
• sinwxch..J х Е (-оо; О) U (О; +оо). |
8 |
f(x) = - |
J - - |
|||
|
|
41 |
|
|
1Г |
о |
1 + ""2 |
' |
|
|
|
|
|
|
497
Замечание. Интересно отметить, что если х = 1, то
/(1) = ~ Joo "1Sinw dы.
тr 1 + w2
о
С другой стороны, /(1) = е-1 = 1. Таким образом,
е
00•
!ysшyd =/(1)·~=!!_.
1 + у2 у 2 2е
о
Иными словами, при помощи представления функций интегралом Фу рье иногда можно вычислить величины несобственных интегралов.
Глава XVI. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
1Лекции 59-621
§69. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Теория поля - крупный раздел физики, механики, математики, в
котором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие задачи фиэики, электротехники, математики, механики и других тех нических дисциплин Изучение одних фиэичf'ских полей способствует изучению и других. Так, например, силы всемирного 1 яготения, маг нитные, элекrрические силы - все они изменяются обратно пропор
ционально квадрату расстояния от своего источника; диффузия в рас
творах происходит по законам, общим с распространением тепла в раз
личных средах; вид силовых маr ни1 ных линий напоминаf'т картину
обтекания препятствий жидкое гью и т. д
Математическим ядром теории поля являю 1ся tакие понятия, как
градиент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие.
Эти понятия важны и в усвоении основных идей математического ана лиза функций многих переменных.
~Полем называется область V пространства, в каждой точке кото-
рой определено значение некоторой величины. Если каждой точке
М этой области соответствует определенное число И = И(М), гово рят, что в области определено (задано) скалярное поле (или функция то-ч.ки). Иначе говоря, скалярное поле - это скалярная функция И(М)
вместе с ее областью определения. Если же каждой точке М области пространства соответствует некоторый вектор а = а(М), то говорят,
что задано векторное поле (или векторна.я функv,и.я то-ч.ки). Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (воз
духа, тела, ... ), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха,
... ), электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей
являются поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидко
сти (ветра), магнитное поле, поле плотности ~лектрического тока и т. д. Если функция И(М) (а(М)) не зависит от времени, то скаляр ное (векторное) поле называется стаv,ионарнь~м (или установившим ся), поле, которое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле температуры при охлаждении тела), называется не
стационарным (или неустановившимся).
Далее будем рассматривать только стационарные поля.
Если V - область трехмерного пространства, то скалярное поле И
можно рассматривать как функцию трех переменных х, у, z (координат точки М):
И= И(х; у; z). |
(69.1) |
499