pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

§ 79. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 79.1. Теоремы разложения

Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, по­

зволяющие по заданному изображению F(p) находить соответствую­ щий ему оригинал f (t).

Теорема 79.1. Если функция F(p) в окрестности точки р = оо может

быть представлена в виде ряда Лорана

то функция

ооtn

f(t)=:L:Cп·1=eo+c1t+ ... (t>O) n=O n.

является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.

590

дробь, знаменатель которой В(р) имеет лишь простые корни (нули)

является оригиналом, имеющим изображение F(p).

Q Отметим, что дробь ~~~1 должна быть правильной (степень мно­

гочлена А(р) ниже степени многочлена В(р)); в противном случае

не выполняется необходимый признак существования изображения

где Ck (k = 1,2, ... ,n) - неопределенные коэффициенты. Для опре­

деления коэффициента с1 этого разложения умножим обе части этого

равенства почленно на р - Р1 :

591

Итак, с1 = :~i)). Аналогичным путем (умножая обе части равенства

(79.2) нар- Pi) найдем Ci = :Jr;}), i =2, ... , п.

Подставляя найденные значения с1, c2,J ... , Cn в равенство (79.2),

получим

Заме-чанuе. Легко заметить, что коэффициенты ck (k = 1, 2, ... , п) определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых по-

люсах (формула (77.4)): Ck = :,~)) = Res(~~~;pk ).

m1,m2, ... ,тп соответственно, то в этом случае оригинал изображе­

ния F(p) определяется формулой

(79.3)

Теорему 79.2 можно сформулировать следующим образом:

Теорема 79.3. Если изображение F(p) = ~~~ является дробно­

рациональной функцией отри p1,IJ2, ... ,Pn - простые или кратные

полюсы этой функции, то оригинал f(t), соответствующий изображе­

нию F(p), определяется формулой

рk==l

592

79.2. Формула Римана-Меллина

!iJ Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное преобразование Лапласа (формула обращения Римана­

Меллина), имеющее вид

7-ioo

где интеграл берется вдоль любой прямой Re р = 'У > S0 .

При определенных условиях интеграл (79.5) вычисляется по фор-

")'-ioo

liJ Заме'Чанuе. На практике отыскание функции-оригинала обычно

проводят по следующему плану: прежде всего следует по табли­ це оригиналов и изображений попытаться отыскать для заданного изо­

бражения F(p) соответствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p) стараются представить в виде суммы простей­

ших рациональных дробей, а затем, пользуясь свойством линейности,

найти оригинал; наконец, использовать теоремы разложения, свойство

умножения изображений, формулу обращения и т.д.

Прuмер 79.2. Найти оригинал по его изображению F(p)= ~-34_

р+

О Решение: Проще всего поступить так:

(использовали свойство линейности и формулы (78.5) и (78.6)).

Если же использовать теорему 79.2 разложения, то будем иметь:

593

Пример 79.З. Найти функцию-оригинал, если ее изображение

задано как F(p) = рз(р1- l).

пользуясь свойством умножения изображений, имеем:

§80. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ

Пусть требуется найти частное решение линейного дифференци­ ального уравнения с постоянными коэффициентами

594

удовлетворяющее начальным условиям

у(О) =Со, у'(О) = с1, ... '

где ео, с1, ... , Cn-1 - заданные числа.

Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматри­

ваемыми производными и функция /(t) являются оригиналами.

Пусть y(t) ~ У(р) = У и /(t) ~ F(p) = F. Пользуясь свойствами

дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении

(80.1) от оригиналов к изображениям:

(pnY-pn- 1eo-pn-2c1 - .. .-Cn-1)+a1(pn-ly _pn- 2eo- ... -Cn-2)+ .. ·

... + an-1(pY - ео) + anY = F.

Полученное уравнение называют операторн:ым (или уравнением в

изображениях). Разрешим его относительно У:

Y(pn + a1pn-i + ... + an-1P + an) = F + eo(pn-l + aipn- 2 + ... +an-1)+

+ С1(pn- 2 + а1рn-З + .··+ an-2) + ···+ Cn-1,

т. е. Y(p)·Qn(P) = F(p)+Rn-1 (р), где Qп(р) и Rn-1 (р) - алгебраические

многочлены от р степени п и п - 1 соответственно. Из последнего уравнения находим

у(р) = F(p) + Rn-1 (р)

(80.2)

Qп(р) .

Полученное равенство называют операторным решением диффе­

ренциального уравнения (80.1). Оно имеет более простой вид, если все

начальные условия равны нулю, т. е. у(О) = у'(О) = ... = y(n-l)(O) =О.

= __f_iEl_

В этом случае У(р) Q;JPJ.

Находя оригинал y(t), соответствующий найденному изображению (80.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение

дифференциального уравнения (80.1).

Заме-чанuе. Полученное решение y(t) во многих случаях оказыва­

ется справедливым при всех значениях t (а не только при t ~О).

При.мер 80.1. Решить операционным методом дифференциаль­

ное уравнение у" - Зу'+ 2у = 12e3t при условиях у(О) = 2,у'(О) = 6.

Q Решение: Пусть y(t) ~ У(р) =У. Тогда

y'(t) ~ рУ - у(О) =рУ - 2,

y"(t) ~ р2 У - ру(О) - у'(О) =р2 У - 2р - 6,

и e3t =_1_

. р-з·

595

ражением:

596

Отсюда

Аналогично применяется операционный метод для решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен­

тами.

Покажем зто на конкретном примере.

Пример 80.3. Решить систему дифференциальных уравнений

{х' =у- z,

у'= х+у, х(О) = 1, у(О) = 2, z(O) = 3.

z' = х + z;

Q Решение: Пусть

х = x(t) ~ Х(р) = Х; у= y(t) ~ У(р) =У; z = z(t) ~ Z(p) = Z.

Находим, что

х' ~ рХ - 1; у' ~ рУ - 2; z' ~ pZ - 3.

Система операторных уравнений принимает вид

pX-Y+Z= 1,

Х - (р - l)Y = -2,

{Х + (1 - p)Z = -3.

Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:

р-2

х(р) = р(р - 1) ,

.2р2 - р- 2

У(р) = р(р - 1)2 '

Z(p) = Зр2 - 2р - 2

р(р- 1)2

597

ПРИЛОЖЕНИЯ

Правила дифференцирования

5. у~= .1,-, если у= f(x) их= ip(y).

Ху

Формулы дифференцирования

1.(с)' = О;

2.(u0 )' =а:· u0 - 1 ·и', в частности, (y'U)' = 2}и ·и';

3.(аи)'= аи· lna ·и', в частности, (eu)' = еи ·и';

5.(sinu)' =соsи·и';

6.(cosu)' = - sin и· и';

7.(tgu)' = cos12 и ·и';

13.(sh u)' = ch и· и';

14.(chu)' = shu ·и';

15.(thu)' = ~hl ·и';

си

599