Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный технический университет Украины «Киевский политехнический институт»

Предмет:

Высшая математика

Файл:

pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.05.2015

Размер:

11.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 6157 58 59 60 61 > Следующая >>>

т. е. - 1 . f	сf (f.)	,1с _		~L.,,	Сп	(	z -	)n	,	где
21Г~ L2	" - Z	...._ -	n=O				z -	z0
	Сп	1		f			f(f.)				(n =О, 1,2, ...)
	Сп	= 21Гi		L2	(f. -			zo)n+l d{
				L2

(здесь Сп :/:- j(n)~Zo), так как функция f(z), возможно, не аналитична

в точке zo).

На окружности Li имеем lf. - zol

< lz -

zol, т. е.1{ -

zo 1 < 1. Тогда

Z -

f.-z

z-f.

(z-zo)-(f.-zo)

(z-z0)(1-~=~~)

{ -

+ ···+

(f. -

zo)n

)

= -

( z - zo

+ (z -

zo) 2

(z -

zo)n+l

+ · · · ·

Значит,

1 /({)

J(f.)

f.-zo

(f.-zo)n

--2·-с-=-2.-(-)+-2·(

)2/(f.)+ ... +-2·(

z-zo

)nнf(f.)+.. ·

1Г~ "-z

1П

Z-Zo

1ГZ Z-Zo

1Г~

Проинтегрируем это равенство почленно по контуру L 1 :

- _1 f

f(f.)

d{ =

21Гi

f. - z

= (z - zo) -1 211Гi f

f(f.) d{ + (z - zo) -2 211Гi

f /(f.)(f. -

zo) df. + ...

... + (z - zo)-(n+I) 2:i f J(f.)(f. -

zo)n df. + ... =

= ~)z -

zo)-n 27ri /

f(f.)(f. - zo)n-ld{,

(76.15)

т. е. - - 1 . f

n=l

L 1

сj(f.) dC" -_

~L.,, c_n (z - z0 )-n , где

271'i

" -

n=1

C-n = 2~i

f (f. -~~~~n+ld{

(n = 1, 2, 3, ...).

Подставив разложения (76.14) и (76.15) в равенство (76.13), получим

оо	оо	+оо
f(z) = L Cn(z -	zo)11 + L C-n(z - zo)-n =	L	Сп(z - zo)n.
	n=l	n=-oo

560

Формулы для коэффициентов Cn и C-n можно объединить, взяв

вместо контура L 1 и L2 любую окружность L с центром в точке Zo,

лежащую в кольце между Li и L 2 (следует из теоремы Коши для мно-
госвязной области): Сп = 2;i f (~!~~n+l(/,{ (n =О,±1, ±2, ...).	•
L

Можно доказать, что функция f (z), аналитическая в данном коль це r < lz - zol < R, разлагается в ряд Лорана (76.11) единственным

образом.

Ряд Лорана для функции

+оо	оо	оо
f(z) = L	c.,(z - zo)" = L Cn(z -	zo)n + L (z ~-;o)n
n=-oo	n=O	n=l

состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. <'.ряд

n=O

Е§1	называется nравu.яьноiJ частью ряда Лорана; этот ряд схо
	дится к аналитической функции fi (z)	внутри круга lz - zol < R.
Вторая часть ряда Лорана, т. е. ряд
	00
	/2(z) = L ( C-n )n'
	n=l z - zo
Е§1	называется г.л.авноiJ частью psi.iJa Лорана; этот ряд сходится к
	аналитической функции /2(z) вне круга lz - zol > r.
	Внутри кольца r < lz - zol < R ряд	+оо
	Внутри кольца r < lz - zol < R ряд	Е cn(z - zo)n сходится к

n=-oo

аналитической функции f(z) = fi(z) + /2(z).

В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри кру га lz - zol < R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тей

лора.

Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана используют известные разложения основных элементарных функций;

дробь вида -	-	разлагается в ряд, являющийся рядом геометриче
z -	1	Zo
			1 )k, где k > 1 - целое, разлагается
ской прогрессии; дробь вида (
		Z -	Zo

в ряд, который получается из ряда геометрической прогрессии после-

довательным дифференцированием (k - 1) раз; сложная дробь предста

вляется в виде суммы простейших ;цробей.

При.мер 76.4. Разложить в ряд Лорана функцию f(z) = ez в

окрестности точки zo =О.

561

Q Решение: Воспользуемся известным разложением

и	и2	un	+ ... '
еи = 1 + 1	+ f	+ ... + 1	+ ... '
1.	2.	п.

справедливым на всей комплексной плоск~сти. Положив и = ~, полу-

чим	1	1	1		1
	ez = 1 + - -		+ - 2 + ... + --тn + ... ,				z =f.	О.	8
		1	2!z	n.z
		1.z	2!z	n.z
	Пример 76. 5.	Разложить в ряд Лорана функцию
			f (z) =	1
			f (z) =	-2,------
в окрестности точки zo = О.				z - z	-6
в окрестности точки zo = О.
а Решение: Функция имеет две особые точки: Z1 ==							-2 и Z2 = 3. Она
аналитична в областях: а) О ~ lzl				< 2; б) 2 < lzl		< 3; в) lzl			> 3.
	Представим функцию f(z) в виде f(z) = i С~ 3 -							z	i 2)·
	а) В круге lzl < 2 (рис. 297) имеем:
-	1- =-!_l_ =-! (1+ ~+ z 22			+ ...)	(здесь l-z 1<1, т. е. lzl <3),
z - 3 3 1 - ~		3	3 3			3
-	z~2=-~1~~ =-~(1- ~+ ~:-··) (здесь					/-~/<1, т.е. lzl<2).
	Следовательно,
f(z) = z2 - ~- 6 = -~~(311~1 + (-l)n 2nl+l )zn =
			n-O		1	1		7
					= - 6 + 36 z - 27 ·8 z2 + ···'

ряд Лорана функции f(z) обращается в ряд Тейлора. 6) В кольце 2 < lzl < 3 (рис. 298) имеем:

z ~3 =	-~( 1 + ~+ ~: + .. .)							(lzl	< 3),
_1_ = ! ._1_ = ! (1- ~ + 22 -									.. ·) =
								2
z + 2	z 1 + ~z				z	z	z
	1	2	+	22		. . .	(\z\	> 2).
= +- -		2	+	3 -		. . .	(\z\	> 2).
	z	z		z
Следовательно,
1			1 (		00	z"	00				2n )
1		=	1 (		~	z"	+ z)-1)			n	2n )
f(z) = z2 - z - 6		=	-5		~	3n+l	+ z)-1)				zn+I .
					n=O		n=O

562

	у	.......
у	у	· ·.·.·.·.у·

. . . . . .

. ..... .

. . . . . .

. . . . . . . .

Рис. 297

Рис. 298

Рис. 299

в) В области lzl > З (рис. 299) имРРм:

- 1-

= ~ · ~ = ~(1 + ~ + з: + ...)

(lzl > З),

z-3

1 --

z z

z: 2 = ~1 ~~

= ~(1 -

~+ ~: - ···)

(lzl

> 2).

Следовательно,

2п

)

•

f(z)

1 (

L(-l)n

б = -5 L

n+1 -

n+l ·

- z -

n=O z

n=O

76.6.Классификация особых точек.

Связь между нулем и полюсом функции

Как уже знаем, особоi1 mo"tкoii. функции f(z) называется точка, в которой функция не является аналитической.

~Особая точка z = z0 функции f(z) называется uзо.л:ированноiJ, если в некоторой окрестности f'eфункция f(z) не имеет других

особых точек.

Если z0 - изолированная особая точка функции f(z), то суще ствует такое число R > О, что в кольце О < lz - zol < R функция f(z) будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лора-

оо	Сп(z -	00	)п.
на (76.11): f(z) = 2:	Сп(z -	zo)n + 2: ( C-n	)п.
n=O		n=1 Z - Zo

При этом возможны следующ'Ие случаи:

~ 1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с

отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется ycmpaнuмoiJ ocoбoiJ точкоiJ функции f(z).

563

~ 2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное

число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрица

тельными показателями. В этом случае точка z0 называется пол.юсом

функции J(z).

~ 3) Разложение Лорана содержит в свq,ей главной части бесконеч

ное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка z0 называется

существенно особОО точкоU функции /(z).

Укажем особенности поведения аналитической функции /(z) в

окрестности особой точки каждого типа.

Устранимые особые точки

Если z0 -

устранимая особая точка, то в окрестности точки z0

разложение (76.11) имеет вид f(z)

Е cn(z -

Zo)n. Это разложение

n=O

кроме точки z = z0.

справедливо во всех точках круга \z -

z0\ < R,

Если положить f(z0 )

= Со, где Со = lim

f(z)

(т. е. определить функ-

z----tzо

цию f(z) в точке z0 ),

то функция J(z) станет аналитической во всем

круге lz - zol

< R (включая его центр z

= zo);

особенность точки z0

устраняется, точка z0

становится правильной точкой функции J(z)).

Из равенства lim

f(z) =Со (Со"# оо) следует, что в достаточно мa-

z~zo

лой окрестности устраняемой особой точки z0

функция f(z) является

ограниченной.

liJ Справедливо и обратное утверждение: изолированная

особая

точка z = z0

явл.яетс.я ycmpaнuмoii., если сущестпвует ко

нечны/.~ nреде.я

lim

j(z) =А.

z-+zo

Полюсы

Если zo - полюс, то в окрестности точки zo разложение (76.11)

имеет вид f(z)

_ оо

С-1

С-2

C_m

)т,

L Cn(z - zo)

+ - _ - + (

)2 + -- - + (

п=О

z-zo

где C-m "# О. В этом случае полюс z0

называется полюсом т-го порядка

функции f(z);

если т = 1, то полюс zo

называется простым.

Запишем последнее равенство в виде

f(z) = (z _ ~о)т ( (z - zo)m ~Cn(z -

zо)п+ с_1(z -

zo)m-l+

+ C-2(z -

zo)m- 2 + ... + с_т)

или

g(z)

f(z) = (Z -Zo )m'	(76.16)

564

где g(z) - аналитическая функция, причем g(zo) = C-m-::/:- О. Отсюда

следует, что f(z)--+ оо при z--+ z0 , т. е. в достаточно малой окрестности

полюса функция f(z) бесконечно велика.

~Справедливо и обратное утверждение: uзол.uрованнаа особая

точка явл..яетс.я пол.юсом, есл.u lim f(z) оо.z0z = =

z-tzo

Из равенства (76.16) имеем (z - z0 )m f(z) = g(z). Отсюда получаем

удобный способ определения порядка полюса zo: если

(76.17)

то точка z0 есть полюс m-го порядка.

Имеется связь между нулРм и полюсом функции.

Теорема 76.6. Если точка z0 - нуль m-ro порядка функции f(z),							то
zo является полюсом m-ro порядка функции Jtz);					если точка zo		-
полюс m-ro порядка функции f(z), то z0				является нулем m-го порядка
	1
функции ЛZ5'
Q Докажем первую		часть	теоремы.	Пус'lь z	z0	есть	нуль
m-го порядка для функции f(z). Тогда имеет					место	равенство
f(z) = (z -	z0 )mip(z), где ip(z) аналитична в точке zo, причем ip(zo)						-::/:-О.
Тогда (z -	z0 )mpl = ~ и		lim (Cz - zo)mpl ) =~-::/:-О(-::/:- оо).
	J \Z J	i{'\Z J	z-tzo	J \Z J	i{'\ZOJ

Это означает (см. (76.17)), чтодля функции f tz) точка z = z0 является

полюсом m-го порядка. Вторая часть теоремы (обратной) доказывает

ся аналогично.	•
Существенно особая точка
Если z0 -	существенно особая точка, то, как доказывается (тео

рема Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точ ки z0 функция f(z) становится неопределенной. В такой точке анали тическая функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела.

Выбирая различные последовательности точек {zп}, сходящихся к су

щественно особой точке z0 , можно получать различные последователь

ности соответствующих значений функций, сходящиеся к различным

пределам.

Прuмер 76.6. Определить тип особенности функции f(z) = ez в

точке z =О.

565

Q Решение: Функция f(z) = ez в окрестности точки z =О имеет следу-

	1	00
ющее лорановское разложение: ez =		Е --f-п (см. пример 76.4). Точка
		n=O n.z
z	= О является существенно особой точкой. Если z -7 О вдоль положи-
		1	=	.l	= +оо; если
тельной части действительной оси, то lim ~z			=	lim ех	= +оо; если
		z-+O		x-to+o	l
z					l	=
z	-7 О вдоль отрицательной части действительной оси,				то Iim ez	=
	1				Z--70	•
=	1					•
=	lim ех =О.
	x-t0-0

Заме'Чание. Классификацию изолированных особых точек можно распространить на случай, когда особой точкой функции f (z) является бесконечно удаленная точка, z = оо.

Окрестностью точки z = оо называют внешность какого-либо кру

га с центром в точке z = О и достаточно большим радиусом R (чем

больше R, тем меньше окрестность точки z = оо).

Точку z = оо называют изолированной особой точкой, ecJiи в не

которой окрестности ее H<''l' других особых точек функции f(z).

Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказать ся устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно

особой точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z)

в окрестности точки z = оо не имеет членов с положительными показа телями, во втором - имеет их лишь конечное число, в третьем случае

в разложении имеется бесконечно много членов с положительными по

казателями.

~Изучение функции f(z) в окрестности точки z = оо можно свести

путем подстановки z = ~ к изучению функции f (~) в окрестно

сти точки z =о.

Пример 76. 7. Найти особые точки функции f(z) = ~-

'	z
Q Решение: Особой точкой функции f(z) является z =О. Найдем пре

дел функции при z -7 О: Iim ~ = lim sin z -!з- = оо. Следовательно,
z-+0 z	z-tO Z Z

точка z =О является полюсом. Можно убедиться, что lim z2 ~ = оо,

	z-tO	Z
lim z3 ~ = 1 =f. О. Следовательно (см. (76.17)), точка z =О -			полюс
z-+0	Z		8
третьего порядка.			8

Пример 76.8. Исследовать особенности функции

•z+З

f(z) = z(z + 2)(z - 1)2 •

566

О Решение: Для данной функции точки z1 =О и z2 = -2 - простые
полюсы, zз = 1 - полюс второго порядка.	8
Прuмер 76.9. Выяснить поведение функций f(z) =	z ~ 3 , g(z) =
2
= ~lz . в окрестности точки z = оо.
+z
О Решение: Сделаем подстановку z = l. Тогда функция f(z) = __L_
w	z- 3

примет вид f ( ~) = 1 _w3w. При условии IЗw\ < 1 имеет место раэложение f ( ~) = w (1 + Зш+ (Зw)2 + ...). Возвращаясь к старой перемен

ной, имеем

1	1 (	З 32		1 3 32	00	3n
			)				\z\ > З.
f(z) = -- 3	= -	1+-+2+·..		= -+2+3+... = L		---+1'
Z -	Z	Z Z		Z Z Z	n=O Z п

Поэтому точка z = оо является устранимой особой точкой (см. послед-
нее -замечание).	2

Можно убедиться, что z = оо для функции g(z) = р является
правильной точкой.	+ z	8

§ 77. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ

77.1.Понятие вычета и основная теорема о вычетах

~Вы:четом аналитической функции f(z) в изолированной особой

точке z называется комплексное число, равное значению интегра-

ла ;.i f 0 взятого в положительном направлении по uкружно f(z) dz,

сти L с центром в точке z0 , лежащей в области аналитичности функции

j(z) (т. е. в кольце О< lz - zol < R).

	Обозначается вычет функции f(z)		в изолированной особой точке
z0	символом Res/(zo) или Res(f(z);zo). Таким образом,
	Res /(zo) ==	~ f f(z) dz.		(77.1)
		2ni
		L
	Если в формуле (76.12) положить п = -1, то получим
	С-1 = 2~i f f(z)dz	или	Resf(zo) = с_1,
liJ	L
liJ	т. е. вычет функции f (z) относительно особой точки z0			равен коэф

фициенту при первом члене с отрицательным показателем в раз

ложении функции f(z) в ряд Лорана (76.11).

567

Теорема 77.1 (Коши). Если функция f(z) является аналитической

в замкнутой области D, ограниченной контуром L, за исключением

конечного числа особых точек Zk	(k ::::::; 1, 2, ... , п), лежащих внутри
области D, то	n
/ f(z)dz = 21ГiLR~f(zk)-		(77.2)
L	k=l
а Вокруг каждой особой точки Zk	опищем окружность lk	так, чтобы

она целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых точек и чтобы никакие двР из этих окружностей не имели общих

точек (см. рис. 300).

Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. замечание на с. 545) имеем:

f f(z) dz = f f(z) dz + f f(z) dz + ... + f f(z) dz,

L 11 12 ln

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрел

ки. Но, согласно формуле (77.1), имеРм:

f f(z)dz = 27ГiResf(z1),

	11
	/	f(z)dz = 27ГiRes/(zz),
	12
	f f(z) dz = 27ГiRes f(z").
	ln
	Рис. 300
Следовательно,
	f f(z)dz = 27ГiResf(z1) + ... + 21ГiResf(zn),
	L
т. е. f f (z) dz = 27Гi Ё RPs f (zk)-		•
L	k=l	•
77 .2.	Вычисление вычетов. Применение вычетов
	в вычислении интегралов
Правильние или yo.mpawuмwe		особые то-ч,кu. Очевидно, ecJJИ
z = z0	есть правильная или устранимая особая точка функции f(z),

568

то Res f(z0) = О (в разложении Лорана (76.11) в этих случаях отсут ствует главная часть, поэтому с_1 =О).

Полюс. Пусть точка z0 является простым полюсом функции f(z). Тогда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки zo имеет вид

00	с
f(z) = L Cn(z -	zo)n + ---=L. Отсюда
n=O	z -	zo
		00
	(z - zo)f(z) = с_1 + L cn(z - zo)n+l.
		n=O
Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z ---+ z0 , полу-
чаем	1Resf(z0 )	= с_1 =}~~о(z - zo)f(z).,	(77.З)

Заме-чание. Формуле (77.З) для вычисления вычета функции f(z)

в простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) явля

ется частным двух функций, аналитических в окрестностях точки z0 .
Пусть f(z)	=	:f:J, где <p(z0 ) f:.		О, а g(z) имеет простой нуль при
z = zo (т. е. g(zo)		= O,g'(z0 ) f:. О).		Тогда, применяя формулу (77.З),
.	_	.	<pfz~	_	.	<p(z)	_	<p(zo)
имеем. Res f(zo)	-	}~~о(z -	zo) g z	-	}~П]0	g(z)-g(zo)	-	g'(zo), т. е.
						z-zo
			<p(z)	)	<p(zo)
		Res ( M;zo			= 9W.			(77.4)

Пусть точка z0 является полюсом m-го порядка функции /(z). То гда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z0 име-

ет вид f(z) = Е Cn(z-zo)n+~+ (		с_2	)2 +. "+ ( C-m)m. Отсюда
n=O	Z - Zo	Z - ZQ	Z - Zo
00
(z-zo)m f(z) = L	Cп(z-zo)n+m+c-m+c-m+1(z-zo)+.. .+c-1(z-zo)m-l.

n=O

Дифференцируя последнее равенство (m - 1) раз, получим:

dm-1

dzm-1 ((z - zo)m /(z)) =

00
= {m- l)!c-1 +L cn(n+m)(n+m- l)(n+m-2) ... (n+2)(z-z0 )n+l.
n=O
Переходя здесь к пределу при z ---+ zo, получаем
Res/(zo) = (	1		r-1			(77.5)
Res/(zo) = (		l)' lim	d	z	m-l ((z - zo)m/(z)).	(77.5)
т -		. Z-4zo		z

Существенно особая то'Чка. Если точка zo - существенно особая точка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке

569

<<< < Предыдущая 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 5657 / 6157 58 59 60 61 > Следующая >>>