pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

поверхности S, то полученный двойной интеграл берут со знаком «ми­

где Dxz и Dyz - ·- проекции поверхности S на плоскости Oxz и Oyz

соответственно (замкнутые области).

В формуле (58.5) поверхность S задана уравнением у = у(х; z), а

в формуле (58.6) -- уравнением х = х(у; z). Знаки пере.л, интегралами

выбираются в зависимости от ориентации поверхности S (так, в фор­ муле (58.5) берем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует

с осью Оу острый угол, а знак «минус» - если тупой угол).

Для вычисления общего поверхностного интеграла П рода исполь­

зуют формулы (58.4)- (58.6), проектируя поверхность S на вес три ко­

ординатные плоскости:

jj Р(х;у; z) dydz + Q(x;y; z) dx dz + R(x;y; z) dxdy = s

=± Jj P(x(y;z);y;z) dydz±

±jj Q(x;y(x;z);z) dxdz ± jj R(x;y;z(x;y)) dxdy.

вляющие косинусы нормали n к выбранной стороне поверхности S. Поверхностные интегралы I и П рода связаны соотношением

jj Pdydz+Qdxdz+Rdxdy = jj(Pcoso:+QcosfJ+Rcos"f)ds. (58.8)

s

430

Поэтому перед двойными интегралами в формулах (58.4) и (58.6) следует брать знак «плюс», а в формуле (58.5) - -- знак «минус>>. Сле­

довательно,

/ 1 =+ jj (-3-~y+Лdydz- jj zdzdx+5 jj dxdy=

58.3. Формула Остроградского-Гаусса

Связь между поверхностным интегралом П рода по замкнутой по­

верхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой по­

верхностью устанавливает сле.лующая теорема.

Теорема 58.1. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) непре­

рывны вместе со своими частными производными первого порядка в

пространственной области V, то имеет место формула

jjj (~:+ ~~+ ~~)dxdydz = f/ Pdydz+Qdxdz+Rdxdy, (58.9)

Формула (58.9) называется формулоiJ. Остроградского-Гаусса

(является аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 56.3).

Q Пусть область V ограничена снизу поверхностью 8 1 , уравнение которой z = z1 (х; у); сверху - поверхностью S 2, уравнение которой

431

z = z2 (x;y) (функции z1 (x;y) и z2 (x;y) непрерывны в замкнутой обла­

Получаем:

JJJ ~~dxdydz = JJ Rdxdy + JJ Rdxdy.

v ~ ~

Добавляя равный нулю интеграл j/Rdxdy по внешней стороне 8 3

432

Замечанu.я.

1. Формула (58.9) остается справедливой для любой области V,

которую можно разбить на конечное число областей рассмотренного

вида.

2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычи­ сления поверхностных интегралов П рода по замкнутым поверхностям.

о

58.4. Формула Стокса

Связь между поверхностными и криволинейными интегралами П

рода устанавливает следующая теорема.

433

Теорема 58.2. Если функции Р(х; у; z), Q(x; у; z) и R(x; у; z) непре­

рывны вместе со своими частными производными первого порядка в

точках ориентированной поверхности S, то имеет место формула

производи1'СЯ в положvпельном направлении (1'.е. nри обходе границы L поверхность S должна оставаться все время слева).

Формула (58.13) называется фор.мулт'J, Стокса (Д. Г. Стокс - ан­ глийский математик, физик).

Q Пусть z = J(x; у) - уравнение поверхности S, функции f(x; у), fx'(x;y), Jy'(x;y) непрерывны в замкнутой области D (проекции по­

верхности S на плоскость Оху), L 1 -- граница области D (см. рис. 256).

Применим к этому интегралу формулу Остроградскоrо--Грина

(см. п. 56.3). Тогда получим:

JP(x;y;z(x;y))dx =JJ(o- ~(P(x;y;z(x;y)))dxdy =

D

434

Преобразуем полученный двойной интеграл в равный ему поверх­

ностный интеграл П рода (см. п. 58.2). Для этого последнее равенство

перепишем в виде

(см. 58.7) и используем уравнение нормали к поверхности S (см. (45.3)).

Так как выбрана верхняя сторона поверхности S, т. е. cos1 > О (1 -

острый угол между нормалью n к поверхности S и осью Oz), то нормаль

n имеет проекции -g~, -g~, 1. Направляющие косинусы пропорцио­

нальны соотвстс:rвующим проекциям:

дz дz

cosa: соs(З: cos1 = -- : -- : 1. 8х 8у

Отсюда - дz = cos (3 . Тогда

ду COS/

Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу

Отметим, что формулу Стокса (58.13) можно применить и для по­ верхностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше типа).

Формулу Стокса можно применять для вычисления криволиней­

ного интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного ин­

теграла.

435

Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия

(см. п. 56.4), то криволинейный интеграл по произвольному простран­

ственному замкнутому контуру L равен нулю: / Рdx +Q dy +Рdz = О.

L

Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит

от вида пути интегрирования.

Прuмер 58.3. Вычислить 1 = f x2 y3 dx + dy + zdz, где кон-

L

тур L - окружность т2 + у2 = R2 ; z = О: а) непосредственно,

б) используя формулу Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z = + J n2 - х2 - у2.

О Решение: Поверхность ингегрирования

и·юбражена на рисунке 257.

а) Запишем уравнение окружности в

параме1рической форме:

х = Rcost, у= Rsint, z =О, t Е [О; 27Г].

По формуле (56.7) имеем:

оо

оо

6)По формуле Стокса (58.13) находим:

1 = 11(О - О) dy dz + (О - О) dx dz + (О - Зх2у2) dx dy =

Переходя к полярным координатам, получаем:

436

Глава Xlll. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ

j Лекции 51-521

Бесконечные ряды широко используются в теоре1 ичсских исследо­ ваниях математического анализа, имеют разнообра·тые практическиf'

применения.

~Чuс.л,овым рsr.дом (или просто рядом) на'iЬшается ныражсние

n=l

где U1' U2' ... 'Un,.. . - дейс1 ВИТСJIЬНЫС или КОМПЛf'КСНЫ(' числа, назы-

ваемые 'Ч..ltенами ряда, Un общим ч.л,еном ряда.

Ряд (59.1) считается заданным, если известен общий член ряда Un, выраженный как функция его номС'ра п: Un = J(n).

~Сумма первых п членов ряда (59.1) наJывае1<-я п-й часmичноii. суммоii. ряда и обозначается через Sn, т. е. Sn = щ +и2 + ···+Un.

Рассмотрим частичные суммы

~Если сущес·1вует конечный предел S = lim Sn последовательно-

~n-+oo

сти частичных сумм ряда (59.1), го этот предел называют суммоii.

частичных сумм 1, О, 1, 9, 1, О, ... (S1 = 1, S2 = О, Sз = 1, ... ) не имеет

предела.

438

5. Ряд п~~ n(n1+ l) сходится. Действительно,

1. Р. ряд схо)~и 1ся, <'ГО сумма равна 1.

Рассмотрим неко1орыР важные свойства рядов.

Своurтво 1. Если ряд (59.1) сходи1ся и его сумма равна S, то ряд

n=l

где с - произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (59.1) расходится и с f:. О, то и ряд (59.2) расходится.

Q Обозначим п-ю частичную сумму ряда (59.2)через S~"'>. Тогда

ряд (59.2) расход~тся. Допустим противное: ряд (59.2) сходится и имеет

сумму S1. Тогда

т. е. ряд (59.1) сходится, что противоречит условию о расходимости

ряда (59.1). •

439