pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (49.12) и считать, что коэффициенты и свободный член уравнения (49.12) являются не­ прерывными функциями (на некотором интервале (а; Ь)). При этих ус­

ловиях справедлива теорема существования и единственности решения

ДУ (49.12) (см. теорему 49.1).

49.4. Линейные однородные ДУ второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение

(ЛОДУ) второго порядка:

частными решениями уравнения (49 13), то решением этого уравне­

ния является также функция

(49.14)

где с1 и с2 - произвольные постоянные

Q Подставим функцию у= с1у1 +с2У2 и ее производные в левую часть ЛОДУ (49.13). Получаем:

(с1У1 + с2у2)" + ai(x) · (с1у1 + С2У2)' + а2(х) · (с1У1 + С2У2) =

= с1у~ + с2у~ + ai(x) · (с1у~ + с2у~) + а2(х) · (с1У1 + С2У2) = = с1(у~' + ai(x) ·у~+ а2(х) ·у)+ с2(У~ + ai(:P)Y~ + а2(х)у2) =

= С1 · Q + С2 Q = 0,

так как функции у1 и У2 - решения уравнения (49.13) и, значит, вы­

ражения в скобках тождественно равны нулю.

Таким образом, функция у= с1у1 +с2У2 также является решением

решения уравнения (49.13), то решениями его будут также функции

у = У1 + У2 и у = с . У1.

Функция (49.14) содержит две произвольные постоянные и явля­ ется решением уравнения (49.13). Может ли она являться общим ре­ шением уравнения (49.13)?

350

Дnя ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и ли­ нейной независимости функций.

~Функции У1 = У1(х) и У2 = У2(х) называются лuкеt'.tно кезавuсu­

мыми на интервале (а; Ь), если равенство

где а1 , а2 Е R, выполняется тогда и только тогда, когда а1 =а2 =О.

~Если хотя бы одно из чисел а1 или а2 отлично от нуля и выполня­

ется равенство (49.15), то функции у1 и У2 называются лuкеt'.tно

зависимыми на (а; Ь).

Очевидно, что функции у1 и у2 линейно зависимы тогда и только

тогда, когда они пропорциональны, т. е для всех х Е (а; Ь) выполняется

равенство Ю. = Л, или у1 = Лу2, Л = const.

У2

Например, функции У1 = Зех и У2 = ех линейно зависимы: Ю. =

=зе-х =/:- const; функции у4 = sin х и у5 = cos х являются линейно

=О выполняется для всех1независимыми 2

х Е JR лишь при а1 = а2 =О (или '1Н. = tg х "1 const).

У5

Средством изучения линейной: зависимости системы функций яв-

ляется так называемый определитель Вронского или вронскиан

(Ю. Вронский: - польский математик).

Дпя двух дифференцируемых функций У1 = у1(х) и у2 = У2(х)

вронскиан имеет вид

W(x) = 1 у~

У1

Имеют место следующие теоремы.

Теорема 49.3. Если дифференцируемые функции У1 (х) и У2 (х) ли­ нейно зависимы на (а; Ь), то определитель Вронского на этом интер­

вале тождественно равен нулю

Q Так как функции у1 и У2 линейно зависимы, то в равенстве (49.15)

Теорема 49.4. Если функции у1 (х) и у2(х) - линейно независимые решения уравнения (49.13) на (а; Ь), то определитель Вронского на

этом интервале нигде не обращается в нуль

351

(49.16)

352

Так как решения у1( х) и у2(х) образуют фундаментальную систему решений на (а; Ь) и х0 Е (а; Ь), то, согласно теореме 49.4, W(x0 ) =f. О.

Поэтому система уравнений имеет единственное решение:

Решение у= сУу1(х) + cgy2(x) является частным решением (единствен­

ным, в силу теоремы единственности) уравнения (49.13), удовлетворя­

При.мер 49.5. На основании теоремы 49.5 общим решением урав­

нения у" +у=О (см. пример 49.4) является функция у=с1 sinx+c2 cosx.

49.5. Линеiilные однородные ДУ n-ro порядка

Полученные результаты можно распространить на линейные од­

нородные диффЕ'ренциальные уравнения п-го порядка, имЕ'ющие вид

частными решениями уравнения (49.18), то его решением является и

функция У= С1У1 + С2У2 + ···+ СпУп·

2. Функции У1, У2, ... , Уп называются линеii:н.о независимwми на

(а; Ь), если равенство а1У1 + а2У2 + ... + ctnYn = О выполняется лишь в случае, когда все числа а, = О (i = 1, 2, ... , п); в противном случае (если хотя бы одно из чисел а, не равно нулю) функции У1,У2, ... ,уп -

линеil:н.о зависимы.

3. Определитель Вронского имеет вид

4.Частные решения У1, у2, ... , Уп уравнения (49.18) образуют фун­

дамен,талън,ую систему решен,иil на (а; Ь), если ни в одной точке этого

интервала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) =f. О для всех

хЕ (а; Ь).

5.Общее решение ЛОДУ (49.18) имеет виду= С1У1 +с2у2+...+CnYn,

где Ci (i = 1, ... , п) - произвольные постоянные, у, - частные решения

уравнения (49.18), образующие фундаментальную систему.

12 Конспект лекuиJI по высшей математике Полный курс

353

При.мер 49.6. Показать, что функции У1=е'Х, У2=х·ех, Уз=х2 ·ех

образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ тре­

тьего порядка (дополнительно: составить это уравнение).

Q Решение: Найдем W(x):

= е3х · (4х + 2 - 4х) = 2e3.r.

Ясно, что W(x) -f:. О для всех х Е ~. Следовательно, данные функции

образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего поряд­

ка. В общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:

у111 + а1 (х)у" + а2(х)у' + аз(х)у =О.

Подставив функции у1 , У2, у3 в это уравнение, получим систему из трех

уравнений относительно функций а1 (х), а2(х), а3 (х). Решая ее, полу­ чим ЛОДУ у111 - Зу" + Зу' - у = О; его общее решение:

•

§50. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА

СПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

50.1.Интегрирование ЛОДУ второго порядка

спостоянными коэффициентами

Частным случаем рассмотренных выше ,/lинейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ с посто.янн:ыми коэф­ фициентами.

где р и q постоянны.

Для нахождения общего решения уравнения (50.1) достаточно най­

ти два его частных решения, образующих фундаментальную систему

(см. теорему 49.5).

Будем искать частные решения уравнения (50.1) в виде

у= ekx,

354

355

Но k~+pk1+q =О, т. к. k1 есть корень уравнения (50.2); p+2k1 ==О,

т. к. по условию k1 = kz = -~.

Функции у1 и у2 являются решениями уравнения (50.1), что следует

из свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 49.2).Эти ре­

шения у1 и У2 образуют фундаментальную систему решений, так как

W(x) "#О (убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение урав­

нения (50.1) запишется в виде у= с1еах cosfЗx + с2еах sin(Зx, или

формуле (50.5) получаем общее решение уравнения:

liJ Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами (50.1) сводится к нахождению

корней характеристического уравнения (50.2) и использованию фор­

мул (50.3)-(50.5) общеrо решения уравнения (не прибегая к вычисле­

нию интегралов).

356

357

Q Решение: Характеристическое уравнение

k4 - k3 - Зk2 + 5k - 2 = (k + 2)(k - 1)3 =О

женные корни. Тогда каждой паре о: ± /З~ простых комплексно-со­ пряженных корней соответствует два частных решения е°'х cos /Зх и

е°'х sin {Зх, а каждой паре о:± (З~ корней кратности т > 1 соответствуют

2т частных решений вида

еах cos /Зх, х · e°'.t cos /Зх, ... , xm- l · е°'х cos (Зх;

е°'х sш /Зх, х · е°'х sin /3..z:, . .. , xm-l · е°'"' sin /Зх.

Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систе­

му решений.

Пример 50.5. Решить уравнение yv +y1 v +2у111 +2у" +у1 +у= О.

Q Решение: Характеристическое уравнение

k5 + k4 + 2k3 + 2k2 + k + 1 = (k + 1)(k4 + 2k2 + 1) =О

имеет корни k1 = -1, k2 = i, kз = -i, k4 = i, ks = -·i. Следовательно,

у= с1е-х + с2 · cosx + сз · sinx + С4Х • cosx + с5х · sinx

§ 51. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)

51.1. Структура общего решения ЛНДУ второго

где а1(х), а2(х), f(x) - заданные, непрерывные на (а; Ь) функции. Урав-

нение

(51.2)

§левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (51.1), на­

зывается соответствующим ему однородным уравнением.

358

Теорема 51.1 (структура общего решения ЛНДУ). Общим реше­ нием у уравнения (51 1) является сумма его произвольного частного

решения у• и общего решения у= с1у1 + с2у2 соответствующего од­

нородного уравнения (51 2), т е

В таком случае имеем:

(у• +У)" +а1(х)(у* +У)' +а2(х)(у* +У)=

=((у*)"+ ai(x)(y*)' + а2(х)у*) +(СИ"+ ai(x)(Y)' + а2(х)у) =

=f(x) +О= f(x).

Это означает, что функция (у* +У) является решением уравнения (51.1).

Покажем теперь, что функция

(51.4)

является общим решением уравнения (51.1). Для этого надо доказать,

что из решения (51.4) можно выделить единственное частное решение,

удовлетворяющее заданным начальным условиям

Продифференцировав функцию (51.4) и подставив начальные ус­ ловия (51.5) в функцию (51.4) и ее производную, получим систему урав-

нений:

{С1У1(хо) + с2у2(хо) = Уо - у*(хо),

с1у~(хо) + с2уНхо) =Yh - (у*)'(хо),

где Уо = у(хо), Yh = у'(хо), с неизвестными с1 и с2. Определителем

этой системы является определитель Вронского W(xo) для функции

У1(х) и у2(х) в точке х =хо. Функции У1(х) и У2(х) линейно незави­

симы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. W(x0 ) ::f. О.

Следовательно, система имеет единственное решение: с1 = с~ и с2 = cg.

Решение у = у* + с?у1(х) + cgy2 (x) является частным решени­

ем уравнения (51.1), удовлетворяющим заданным начальным услови­

359