pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Теорема 39.1. Если·

1) функция х = rp(t) и ее производная х' = V?' (t) непрерывны при

t Е [о:; /3],

2)множеством значений функции х = 'P(t) при t Е [о:, /3] является отрезок [а; Ь],

3)'fl(o:) =а и (fl(/3) = Ь,

а

Q Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [а, Ь]. Тогда по

имеем

Формула (39.1) называется формулой замени переменной в опре­

деленном интеграле. Отметим, что:

1)при вычислении определенноrо интеграла методом подстановки

возвращаться к старой переменной не требуется;

2)часто вместо подстановки х = 'P(t) применяют подстановку t =

=g(x);

3)не следует забывать менять пределы интегрирования при замене

переменных1

2

Пример 39.1. Вычислить Jx 2 J4 - х2 dx.

о

Q Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х = О, то t =О; если х = 2, то t =~-Поэтому

оо

270

аа

Q На отрезке [а, Ь] имеет место равенство (uv)' = и'v + uv'. Следо­

вательно, функция uv есть первообра.шая для непрерывной функции

и'v + uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Формула (39.2) называется формулой интегрировани.я по 'Частям

для определенного интеграла.

При.мер 39.2. Вычислить Jе xlnxdx.

1

Q Решение: Положим

271

Применяя формулу (39.2), получаем

о

39.4.Интегрирование четных и нечетных функций

всимметричных пределах

Пусть функция J(x) непрерывна на отрезке [-а; а], симметричном

относительно точки х = О. Докажем, что

Q Разобьем отрезок интегрирования [-а; а] на части [-а; О] и [О; а]. То­

гда по свойству аддитивности

(согласно свойству: «определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования»). Возвращаясь к равенству (39.4), полу-

чим

272

§ 40. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

ь

Определенный ин1еrрал Jf(x)dx, где промежугок интегрирова-

а

ния [а; Ь] конечный, а подынтегральная функция /(:с) нl"'прерывна на отрезке [а; Ь], называют еще собствен:н:ым инrпе?ра.лом.

~Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е.

определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконеч­

ным промежутком интегрирования или определенный интеграл с ко­

нечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком

интегрирования (несобственный интеграл 1 рода)

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке [а; +оо). Если

+оо

В этом случае говорят, что несобственный ин'Iеграл J f(x) dx схо-

а

дитс.я. Если же указанный предел не существует или он бесконечен,

+оо

то говорят, что интеграл J f (х) dx расходитс.я.

а

273

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке

(-оо; Ь]:

где с - произвольное число. В этом случае

Рис. 171

интеграл слева сходится лишь тогда, когда

сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функ­

+оо

ция /(х) ~ О на промежутке [а; +оо) и интеграл J f(x) dx сходит-

а

ся, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной тра-

пеции (см. рис. 171).

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; до­

статочно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

274

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +оо)

275

40.2.Интеграл от разрывной функции

(несобственный интеграл 11 рода)

а

Таким образом, по определению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл

ь

j J(x) dx сходите.я. Если же указанный предел не существует или бес-

терпит бесконечный разрыв в точке

В этом случае интеграл слева называют сходящимся, если оба несоб­

ственных интеграла, стоящих справа, сходятся.

В случае, когда f(x) > О, несобственный интеграл второго рода

ь

j f(x) dx (разрыв в точке х = Ь) можно истолковать геометрически как

а

площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции (см. рис. 172).

1

Пример 40.4. :Аычислить J;.

о

276

Q Решение: При х = О функция у = -:h терпит бесконечный разрыв;

х

оо+е

SШХ

277

§ 41. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ

ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

41.1. Схемы применения определенного интеграла

Пусть требуется найти значение какой-либо геометрической или

физической величины А (площадь фигуры, объем тела, давление жид­

кости на вертикальную пластину и т. д.), связанной с отрезком [а; Ь]

изменения независимой переменной х. Предполагается, что эта вели­

чина А аддитивна, т. е. такая, что при разбиении отрезка [а; Ь] точкой с Е (а; Ь) на части [а; с] и [с; Ь] значение величины А, соответствующее всему отрезку [а; Ь], равно сумме ее значений, соответствующих [а; с]

и [с; Ь].

Для нахождения этой величины .4 можно руководствоваться одной

из двух схем: I схема (или метод интегральн:ых сумм) и П схема (или метод дифференциала).

Первая схема базируется на определении определенного инте­

грала.

1. Точками х0 =а, х1, ... , Xn = Ь разби1ь отрезок [а; Ь] на n частt>й.

В соответствии с этим, интересующая нас величина А разобьется на 11

«элементарных слагаемых» дА, (i = 1, ... , п): А = дА1 + дА2 + ...

... +ЛАп·

2. Представить каждое «элементарное слагаемое» в виде произ­

ведения некоторой функции (определяемой из условия задачи), вычи­

сленной в произвольной точке соответствующего отрезка на его длину:

дА~ ~ /(с.)дх•.

При нахождении приближенного значения дА~ допустимы некото­

рые упрощения: дугу на малом участке можно зам~нить хордой, стя­ гивающей ее концы; переменную скорость на малом участке можно

приближенно считать постоянной и т. д.

Получим приближенное значение величины А в виде интегральной

3. Искомая величина А равна пределу интегральной суммы, т. е.

"Указанный «метод сумм», как видим, основан на представлении инте­ грала как о сумме бесконе'Чно большого 'Числа бесконе'Чно малых слага­

емъ~х.

Схема I была применена для выяснения геометрического и физи­

ческого смысла определенного интеграла.

278

Вторая схема представляет собой несколько видоизмененную схе­

му I и называется «метод дифференциала» или «метод отбрасывания бесконечно малых высших порядков»:

1) на отрезке [а; Ь] выбираем произвольное значение х и рассматри­ ваем переменный отрезок [а; х]. На этом отрезке величина А становит­ ся функцией х: А = А(х), т. е. считаем, что часть искомой величины А есть неизвестная функция А(х), где х Е [а; Ь] - один из параметров

величины А;

2) находим главную часть приращения ЛА при изменении х на

малую величину дх = dx, т. е. находим дифференциал dA функции

А = А(х): dA = f(x) dx, где /(х), определяемая из условия задачи,

функция переменной :с (здесь также возможны различные упрощения); 3) считая, что dA :::::: ДА при дх ---+ О, находим искомую величину

путем интегрирования dA в пределах от а до Ь:

ь

А(Ь) =А= / /(х) dx.

а

41.2. Вычисление площадей плоских фигур

Прямоугольные координать1

Как уже было установлено (см. «геометрический смысл опреде­ ленного интеграла»), площадь криволинейной трапеции, расположен­

ной «выше» оси абсцисс (J(x) ;:з: О), рав-

трапеции проделаем следующие операции:

1.Возьмем произвольное т Е [а; Ь] и будем считать, что S = S(x).

2.Дадим аргументу х приращение дх = dx (х + дх Е [а; Ь]). Функ­ ция S = S (х) получит приращение дS, представляющее собой площадь «элементарной криволинейной трапеции» (на рисунке она выделена).

Дифференциал площади dS есть главная часть приращения ЛS

при дх --t О, и, очевидно, он равен площади прямоугольника с основа­

нием dx и высотой у: dS =у· dx.

279