pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

а Решение: Функция у задана неявно. Дифференцируем ПО х равен­

ство х3 + у3 - Зху =О. Из полученного соотношения

Зх2 + 3 · у2 • у' - 3(1 · у + х · у') = О

21.2. Функция, заданная параметрически

Пусть зависимость между аргументом х и функцией у задана па­

раметрически в виде двух уравнений

где t - вспомогательная переменная, называемая параметром.

Найдем производную у~, считая, что функции (21.1) имеют произ­

водные и что функциях = x(t) имеет обратную t = <р(х). По правилу

дифференцирования обратной функции

Функцию у = f(x), определяемую параметрическими уравнения­

ми (21.1), можно рассматривать как сложную функцию у = y(t), где

t=<p(x).

По правилу дифференцирования сложной функции имеем: у~ =

=у;. t~.

С учетом равенства (21.2) получаем

1 1 1

Ух= Yt · ", т. е.

Xt

Полученная формула позволяет находить производную у~ от

функции заданной параметрически, не находя непосредственной зави­

симости у ОТ Х.

180

§22. ЛОГАРИФМИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

Вряде случаев для нахождения производной целесообразно задан­ ную функцию сна'Чала прологарифмировать. А затем результат про­

дифференцировать. Такую операцию называют .11огарифми'Ческим диф­

ференцированием.

При.мер 22.1. Найти производную функции

Q Решение: Можно найти у' с помощью правил и формул дифферен­

цирования. Однако такой способ слишком громоздкий. Применим ло­

гарифмическое дифференцирование. Логарифмируем функцию:

liJ Существуют функции, производные которых находят лишь логарифмическим дифференцированием. К их числу относится так на­

зываемая стеnенно-nоказаmе.п.ьная функция у= uv, где и= и(х) и v = v(x) - заданные дифференцируемые функции от х. Найдем про­

изводную этой функции:

у' = у( v' · ln и+ v · ~· и'),

т. е.

у' = иv ( v' · ln и+ v · ~ ·и'),

181

Сформулируем правило запоминания формулы (22.1): производ­

ная степенно-показательной функции равна сумме производной пока­ зательной функции, при условии и= const, и производной степенной

функции, при условии v = const.

Пример 22.2. Найти производнуЮ'функции у= (sin2x)x2 +i.

Отметим, что запоминать формулу (22.1) необя'3ательно, легче '3а­

помнить суть лоr арифмического дифференцирования.

§ 23. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

23.1.Производные высших порядков явно заданной

функции

Производная у' = f'(x) функции у = J(x) ес1ь также функция от

х и называется проиэводноti первою порядка.

Если функция f1(x) дифференцируема, то ef' производная на'3Ьша-

ется проиэводноti второго порядка и обозначается у11 (или J11 (x), ~'

Производная от производной второго порядка, если она существу­

ет, называется проиэводноtJ. третьего порядка и обозначается у111 (или

f 111 (х), ~:~, ... ) . Итак, у111 = (у11)1.

Производной п-го порядка (или n-й производной) называется про­ изводная от производной (n - 1) порядка:

Производные порядка выше первого называются проиэводн·ыми в'Ысших порядков.

Начиная с производной четвертого порядка, производные обозна­

чают римскими цифрами или числами в скобках (yv или у(5) - про­

изводная пятого порядка).

Пример 23.1. Uайти производную 13-го порядка функции у =

= sinx.

182

Q Решение:

у'= (sinx)' = cosx = sin(x + ~),

у" = (у1)1 = (cos х)1 = - sin х = sin ( х+ i·2) , у111 = (- sin х)' = - cos х = sin ( х+ ~ ·3) ,

y1v = (- cos х)' = sin х = sin (х+ ~ ·4) ,

у(lЗ) = sin(x + i ·13). •

23.2. Механический смысл произвОАНОЙ второго

поряАка

Пусть материальная точка М движется прямолинейно JIO 'iакону

S = f(t). Как уже известно, прои·-~водная s; равна скорости точки н данный момент времени: s; = V.

Покажем, что втора.я произвоdна.я от пути по времени есть ве­

ли'Ч.ина ускорени.я nр.яМОJ!UНей'Н.020 двиЖе'Н.U.Я mО'Ч.Ки, Т. е. s:' = а.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t + дt - скорость равна V + дV, т. е. за промежуток времени дt ско­

рость изменилась на величину дV.

Отношение 1Х выражает среднее ускорение движения точки за

время дt. Предел этого отношения при дt--+ О называется ускорением

точки М в данный момент t и обозначается буквой а: l~~o i~ = а,

т. е. V' =а.

Но V = s;. Поэтому а= (S;)', т. е. а= s:'

23.3. ПроизвоАные высших поряАков неявно заАанной функции

Пусть функция у = f(x) задана неявно в виде уравнения

F(x;y) =О.

Продифференцировав это уравнение по х и разрешив полученное уравнение относительно у', найдем производную первого порядка (пер­

вую производную). Продифференцировав по х первую производную,

получим вторую производную от неявной функции. В нее войдут х, у и

183

у1 • Подставляя уже найденное значение у' в выражение второй произ­

водной, выразим у11 через х и у.

Аналогично поступаем для нахождения производной третьего (и дальше) порядка.

23.4. ПроизвоАные высших поряАков от функций,

заданных параметрически

Пусть функция у= f(x) задана параметрическими уравнениями

{х = x(t),

у= y(t).

Как известно, первая производная у~ находится по формуле

Xt

Найдем вторую производную от функции заданной параметриче­

ски.

Из определения второй производной и равенства (23.1) следует, что

Q Решение: По формуле (23.1)

184

Тогда по формуле (23.2)

Заметим, что найти У~х можно по преобразованной формуле (23.2):

запоминать которую вряд ли стоит.

§ 24. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ

24.1. Понятие дифференциала функции

Пусть функция у = f(x) имеет в точке х отличную от нуля про­

изводную lim ~дд = f'(x)-:/:- О. Тогда, по теореме о связи функции, ее

дх-+0 Х

предела и бесконечно малой функции, можно 1аписать ~ = f' (х) +а,

где а~ О при дх ~О, или ду = J'(x) · дх +а· дх.

Таким образом, приращение функции ду представляет собой сум­

му двух слагаемых f'(x) · дх и а· дх, являющихся бесконечно малыми

при дх ~ О. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функ-

ция одного норядкас дх, так как 11m /'(~· дх = f'(x) f:. О, а второе

дх-+0 Х

слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка,

nрuращенuя функции ду.

~Дuфференцuа.яом функv,uu у= f(x) в точке х называется глав­

ная часть ее приращения, равная произведению производной функ­

ции на приращение аргумента, и обозначается dy (или df(x)):

Дифференциал dy называют также дuфференцuа.1tом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. диф­ ференциал функции у = х.

Так как у'= х' = 1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy = dx =

= дх, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = дх.

185

ji иными словами, дuфференчuал функчuu равен nроuзведенuю nроuзводноii эmoii функцuu на дифференциал* независuмоii

Из формулы (24.2) следует равенство = f'(x). Теперь обозна-

чение производной ~ можно рассматрива'lькак отношениедифферен­

циалов dy и dx.

Пример 24.2. Найти дифференциал функции

у= ln(l + Р10х) + Jx2 +1.

Вычислить dy при х =О, dx = 0,1.

24.2. Геометрический смысл дифференциала функции

этому АВ = f'(x) · дх.

186

\i] Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy = АВ, т. е. дифференциал функции у= f(x) в точке х ра­

вен. приращению ординаты касателъноiL к графику функции

вэтоii. точке, когда х получит приращение дх.

Вэтом и состоит геометрический смысл дифференциала.

24.3. Основные теоремы о дифференциалах

Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя

связь дифференциала и производной функции (dy = f' (х) dx) и соот­

ветствующие теоремы о производных.

Например, ~ак как производная функции у=с равна нулю, то диф­ ференциал постоянной ветшчины равен нулю: dy=c' d.r=O· dx=O.

Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух

дифференцируемых функций определяются следующими формулами

d(u + v) = du + dt1,

d(uv) =v·du+u·dv,

d (~) = vdu :Z udv (v =1= О).

О Докажем, например, вторую формулу. По определению дифферен­

циала имеем:

d(uv) = (uv)'dx =(u'v + uv1 )dx = v · u'dx +и· v1dx =vdu + udv. 8

Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведе­

нию производной этой функции по промежуточному аргументу на

дифференциал этого промежуточного аргумента.

О Пусть у = f (и) и и = ip(x) две дифференцируемые функции, образу­

ющие сложную функцию у= f(ip(x)). По теореме о производной слож­

ной функции можно написать

1 1 1

Ух= Yu ·их.

Умножив обе части этого равенства на dx, получаем y~dx=y~u~dx. Но у~ dx = dy и и~ dx = du. Следовательно, последнее равенство можно

187

Сравнивая формулы dy =у~· dx и dy = у~· du, видим, что пер­ вый дифференциал функции у = f (х) определяется одной и той же

формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.

~Это свойстводифференциала называ'Ют инвариантностью (не­ изменностью) форми первого дифференцuада.

Формула dy = у~ · dx по внешнему виду совпадает с формулой dy = у~ · du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой

формуле х - независимая переменная, следовательно, dx = д:z:, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du #

-:f ди.

С помощью определения дифференциа.тrа и основных теорем о диф­

ференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу

дифференциалов.

Например, d(cosu) = (cosu)~ · du = -siнu · du.

24.4.Таблица АИфференциалов

1.d(u±v) =dи± dv;

2. d(u · v) = vdu + udv, в частности, d(cu) =с· du;

3.d(~) = vdu;; udv, в частности, d(Ю = _cv1v;

4.dy =у~ dx, если у= f(x);

5.dy =у~· du, если у= f(u), и= tp(x);

6.dc =О;

7.d(ua) =а· ua-l · du;

8.d(au) =аи· lna · du, в частности, d(еи) = еи · du;

188

24.5. Применение дифференциала к приближенным

вычислениям

Как уже известно, приращение Лу функции у = f(x) в точке х можно представить в виде Лу = f1(x) · Лх +а:· Лх, где а: ---+ О при

Лх -t О, или Лу = dy +а· Лх. Отбрасывая бесконечно малую а· Лх более высокого порядка, чем Лх, получаем приближенное равенство

щение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычи­

слительной практике.

Пример 24.3. Найти приближенное значение приращения функ­

ции у= х3 - 2х + 1 при х = 2 и Лх = 0,001.

Q Решение: Применяем формулу (24.З): Лу:::::: dy = (х3 -2х+1)'·Лх = = (Зх2 - 2) · Лх.

dyl х=2 = (З · 4 - 2) · 0,001 = 10 · 0,001 = 0,01.

Лх=О,001

Итак, Лу :::::! 0,01.

Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифферен­ циал функции вместо ее приращения. Для этого найдем Лу:

Лу = ((х + Лх)3 - 2(х + Лх) + 1) - (х3 - 2х + 1) = = х3 + Зх2 • Лх + Зх · (Лх)2 + (Лх)3 - 2х - 2 · Лх + 1 - х3 + 2х - 1 =

189