pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

ния (12.29) вырождается в две точки (О; О; с) и (О; О; -с). Плоскости z =с

и z =-с касаются данной поверхности.

ЭЛЛИПС с полуосями (см. рис. 91)

При этом чем меньше jhj, тем больше полуоси а1 и Ь1. При h =О они до­ стигают своих наибольших значений: а1 =а, Ь1 = Ь. Уравнения (12.29)

примут вид

~2 +~2 = 1,

{ h =0.

Аналогичные результаты получим, если рассмотрим сечения поверх­

ности (12.28) плоскостями х = h и у= h.

!§] Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить по-

верхность (12.28) как замкнутую овальную поверхность. Поверх­ ность (12.28) называется э.алиnсоuдом. Величины а, Ь и с называются nо.ауосями эллипсоида. Если все они различны, то эллипсоид назы­ вается трехосным; если какие-либо две полуоси равны, трехосный эллипсоид превращается в э.a.auncouiJ вращения; если а = Ь = с,

то - в сферу х2 + у2 + z2 = а2 .

Однополостный гиперболоид

Исследуем поверхность, заданную уравнением

Пересекая поверхность (12.ЗО) плоскостью z = h, получим линию пе­

ресечения, уравнения которой имеют вид

2 2 h2

~+~ =1+~,

{ z = h,

110

Как видно, этой линией является эллипс с полуосями

а1 = аА и Ь1 = ь)1+ ~"

Полуоси а1 и Ь1 достигают своего наименьше­

го значения при h = О: а1 = а, Ь1 = Ь. При возрастании JhJ полуоси эллипса будут увели­

чиваться.

Если пересекать поверхность (12.30) плос­

сечения поверхности (12.30) с плоскостью Oyz,

уравнение которой х = О. Эта линия пересече­

ния описывается уравнениями

Рис. 92

~2 - ?2- = 1,

{ х =о.

Как видно, эта линия есть гипербола (см. рис. 92).

~Анализ этих сечений показывает, что поверхность, определяемая уравнением (12.30), имеет форму бесконечной расширяющейся

трубки. Поверхность (12.30) называется одноnо.п.остным гиnербо­

.п.оидом.

Заме'4ание: можно доказать, что через любую точку гипербоJiоида (12.30) проходят две прямые, лежащие на нем.

Двухполостный гиперболоид

Пусть поверхность задана уравнением

Если поверхность (12.31) пересечь плоскостями z = h, то линия пере-

сечения определяется уравнениями

Отсюда следует, что:

соответственно в точках (О; О; с) и (О; О; -с).

в) если Jhl >с, то уравнения (12.32) могут быть переписаны так

111

Эти уравнения определяют эллипс, полуоси которого возрастают с ро­

стом lhl.

Пересекая поверхность (12.31) координатными плоскостями Oyz (х =О) и Oxz (у =О), получим в сечении гиперболы, уравнения кото­

~У обеих гипербол действительной осью является ось Oz. Метод се-

чения позволяет изобразить поверхность (см. рис. 93), определяе­

мую уравнением (12.31), как поверхность, состоящую из двух полостей,

имеющих форму выпуклых неограниченных чаш. Поверхность (12.31)

называется двухnолосmн:ым гиперболоидом.

у

у

{ z = h.

Если h < О, то плоскости z = h поверхности не пересекают; если h = О,

то плоскость z = О касается поверхности в точке (О; О; О); если h > О,

112

113

Пересечем поверхность (12.35) плоскостями z = h. Линия пересечения

2 2 h2

~ + ~Ь = -::т, z = h. При h = О она вырождается в точку (О; О; О). При

ас

h -::/:- О в сечении будем получать эллипсы

а~:2 + ь~:2 = 1,

{zС=2h. С2

Полуоси этих эллипсов будут возрастать при возрастании lh\. Рассечем поверхность (12.35) плоскостью Oyz (х =О). Получится

{ х =о,

распадающаися на две пересекающиеся прямые

~ - :_ = о и ~ + :_ = о.

ь с ь с

При пересечении поверхности (12.35) плоскостью у= О nолучим линию

ас

{у= о,

114

Глава V. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

/Лекции 13-221

§13. МНОЖЕСТВА. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

13.1.Основные понятия

§Понятие множества является одним из основных неопределяемых

понятий математики. Под мни.нсесmвом понимают совокупность

(собрание, класс, семейство... ) некоторых объектов, объединенных по

какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентон ин­ ститута, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней ура.внt>­

ния х2 + 2х + 2 = О, о множестве вСЕ'х натуральных чисt:>л и т. д.

Объекты, из которых состоит множество, называются ero элемен­ тами. Множества принято обозначать заглавными буквами латин­ ского алфавита А, В, ... , Х, У, а их элементы - малыми буквами а, Ь, ... ,х,у, ...

Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Е Х;

запись х Е Х или х i Х означает, что элемент х не прина;~Л('ЖИ г мно­

жеству Х.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пу­

стым, обозначается символом 0.

Элементы множества записывают в фигурных скобках, внутри ко­

торых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свой­

ство, которым обладают все элементы данного множества.

Например, запись А= {1,3, 15} означает, что множЕ'ство А состоит

из трех чисел 1, 3 и 15; запись А = {х : О ~ х ~ 2} означает, что

множество А состоит из всех действительных (Е'Сли не оговорено иное)

чисел, удовлетворяющих неравенству О~ х ~ 2.

~Множество А называется nодмнсr.нсеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В.

Символически это обозначают так А С В («А включено в В») или В :J А («множество В включает в себя множество А»).

Говорят, что множества А и В равны или совпадают, и пишут А = В, если А с В и В С А. Другими словами, множества, состоящие

из одних и тех же элементов, называются равными.

~ОбrJедuнением (или суммой) множеств А и В называется множе-

ство, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит

хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обо­

значают AUB (или А+В). Кратко можно записать AUB = {х: х Е А

или х ЕВ}.

116

~Пересечением (или произведением) множеств А и В называется

множество, состоящее из элементов, каждый из которых принад­

лежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) мно­

жеств обозначают АnВ (или А·В). Кратко можно записать AnB = {х:

хЕ А их ЕВ}.

Вдальнейшем для сокращения записей будем использовать неко­

торые простейшие логические символы:

а===} (3 означает «И'J предложения а rлеdует нредложепи<• /З»;

а{::::=} {J «П()('ДЛожения а и {:J рашюсилыtы», 'l.е. И'l а следует

(3 и из (3 следуе1 а; '<;/ - о·шача<'1 «;~ля любого», «для 11сякш о»;

3 «сущес1 нуеr», «найщ•1ся»;

«ИМССI M('('JO»,«tакое ЧIO»j

Н(<('001ВР1 (''lВИ<'»

Напр11М('р: 1) ·1а11и<ъ Vr Е А: а 0·11шча.<•1: «)ЩЯ 11сяко10 'i.JJ<'M<'11·1a х Е А ИМ{'('l М('('(() Щ><')l,.JIOЖ('llИt' <-t»;

2) (r Е А U В) {::::=} (r Е А или r Е В); на ·1а11и<ъ ощ><'д<'НЯ<''L объединени<' множ<'<' 1н А и В.

13.2.Числовые множества.

Множество действительных чисел

Множ<'с1на, ЭЛ<'М<'tпами ко Lорых являются числа, на·iынают<·я

-числовьtМи. Примерами числовых множес·1 в являются:

IR -- мпожестDо д<'йстнительных чисел.

Между эгими 'VllIOЖ<'CIDdMИ существу<'• соо1нош<'НИ<'

N с Zo с Z с Q с IR.

Множество IR содержит рациональные и иррациональные числа. Вся­

кое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью

или бесконечной периоди•1еской дробью. Так, ! = 0,5 (= 0,500 ... ), l = 0,333 ... -- рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называ­

ются иррациональными.

117

Теорема 13.1. Не существует рационального числа, квадрат которого

равен числу 2.

а Допустим, что существует рациональпое число, представленное не­

сократимой дробью т, квадрат которого равен 2. Тогда имеем:

п

дробь несократима. Следовательно, не суЩ(:'С'Iнуе1 ра~~иональноrо чи­

Иррациональное число выражается бесконечной непериодической

дробью. Так, V2 = 1,4142356 .. , 7Г = 3,1415926 ... - иррациональныР

числа. Можно сказать: множество дейсгви1ельных чисел есть множе­ ство всех бесконечных десятичных дробей. И записать

IR={x: х=а,а1а2а3 ... }, гдеаЕZ,а~Е{О,1, ... ,9}.

Множество IR действительных чисел обладает следующими свой­

ствами.

1.Оно упор.яiJо'Ченное: для любых двух различных чисел а и Ь имеет место одно из двух соотношений а < Ь либо Ь < а.

2.Множество IR плотное: между Jrюбыми двумя различными чи­ слами а и Ь содержится бесконечное множество дейс 1 ви'Iельных чисел

3. Множество IR непреръ~вное. Пусть множество IR разбито на два непустых класса А и В таких, что каждое действительное число содер­

жится только в одном классе и для каждой пары чисел а Е А и Ь Е В

выполнено неравенство а < Ь. Тогда (свойство непрерывности) суще­

ствует единственное число с, удовлетворяющее неравенству а ~ с ~ Ь

('v'a Е А, Vb ЕВ). Оно отделяет числа класса А от чисел класса В. Чи­

сло с является либо наибольшим числом в классе А (тогда в классе В

нет наименьшего числ~), либо наименьшим числом в классе В (тогда

в классе А нет наибольшего).

118

Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однознач­ ное соответствие между множеством всех действительных чисел и мно­

жеством всех точек прямой. Это означает, что каждому числу х Е JR

соответствует определенная (единственная) точка числовой оси и, на­ оборот, каждой точке оси соответствует определенное (единственное)

действительное число. Поэтому вместо слова «чис.ло» часто говорят

«точка».

13.З. Числовые промежутки. Окрестность точки

Пусть а и Ь - действительные ч:исла, причем а < Ь.

Числов'Ь'МU промежутками (интерва.пами) на-зываю'I подмtюжР­

ства всf'х действиrельных чисел, имеющих СЛ<'дующий оид:

Числа а и Ь называются соотнетственно левым и правым концами этих промежутков. Символы -оо и +оо не числа, это символическое

обозначение процесса неограниченного удаления точек числовой оси от начала О влево и вправо.

~Пусть хо - любое действительное число (точка на числовой прямой). Окрестностью точки х0 называется любой интервал (а; Ь),

содержащий точку хо. В частности, интервал (хо - с:, хо+ с:), rде с:> О,

называется е-окресmностью точки хо. Число хо называется цент­ ром, а число с: - радиусом.

€€

о1 Хо~+с:;

Рис. 97

Если х Е (хо - с:; х0 +с:), то выполняется неравенство х0 - с:< х < < хо+е, или, что то же, lx-xol <с. Выполнение последнего неравенства означает попадание точки х в с:-окрестность точки х0 (см. рис. 97).

119