pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

О Решение: Применим подстановку sin х = t. Тогда х = arcsin t, dx =

= bdt, cosx = v'I=t2 и

1- t 2

l=/t4·(Jl"=t2)5· dt ==ft4(i.-t2)2dt=f(t4-2t6+t8)dt=

J1=t2

32.3. Использование тригонометрических

преобразований

Ин.тегра.л:ы, типа Jsinax · cosbxdx, Jcosax · cosbxdx,

Jsin ах·sin Ьхdx вычисляются с помощью известных формул тригоно­

метрии:

sinacos.В = ~(sin(a - .В)+sin(a +.В)),

250

§ 33. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ

ФУНКЦИЙ

33.1. Квадратичные иррациональности

Рассмотрим некоторые типы интегралов, содержащих иррацио­ НаJihные функции.

Интегралы типа

называют неопределенными интегралами от квадратичных иррацио­

на.льностей. Их можно найти следующим образом: под радикалом вы­

делить полный квадрат

и сделать подстановку х+ {а = t. При этом первые два интеграла при­

водятся к табличным, а третий - к сумме двух табличных интегралов.

251

Сделаем подстановку х + i = t, х = t - i, dx = dt. Тогда

где Qn-i(x) - многочлен степени п -1 с неопределенными коэффици­

ентами, Л - также неопределенный коэффициент.

Все неопределенные коэффициенты находятся из тождества, по­

лучаемого дифференцированием обеих частей раненства (33.1):

после чего необходимо приравнять коэффициенты при одинаковых сте­

пенях неизвестной ;r;.

252

253

254

33.4. Интеrралы типа JR(x; Jax2 + Ьх +с} dx

Здесь подынтегральная функция есть рациональная функция от­

носительно х и ./ах2 + Ьх + с. Выделив под радикалом полный ква­

драт и сделав подстановку х + 2Ьа = t, интегралы указанного типа

приводятся к интегралам уже рассмотренного типа, т. е. к интегралам

типа jR(t; .Ja2 - t2) dt, j R(t; Va2 + t 2) dt, j R(t; ./t2 - а2) dt. Эти ин­

Т('Гралы можно вычислить с помощью соответствующих тригонометри­

ческих подстановок.

Q Гсшспис: Так как т2 +2т-4 = (.r+ 1) 2 -5, тот+ 1 = t ..r = t-1, dx =

р - рациональные числа, берутся, как показал Чебышев П.А., лишь в

255

случае, когда хотя бы одно из чисел р, т + 1 или m...±.l + р является

п п

целым.

Рационализация интеграла в этих случаях осуществляется следу­

не выражаются чере-з и·шес1 нью ?лементарные функции, т. е. «не бе­

рутся».

=t7 t4 12 vx 7 4

12.7 - 12. 4 +с= 7( + 1)'1-1 3-{vx+1)3 +с. •

§34. «БЕРУЩИЕСЯ• И «НЕБЕРУЩИЕСЯ•

ИНТЕГРАЛЫ

Как уже отмечалось выше, операция интегрирования функций зна­

чительно сложнее операции дифференцирования функций. Не всегда

выбранный путь интегрирования является наилучшим, более корот­ ким, простым. Интегрирование часто может быть выполнено не един­

ственным способом. Многое зависит от знания рекомендуемых многих

искусственных приемqв интегрирования, от сообразительности, от тре-

нированности. Например, J~ можно найти, не используя реко-

соs х

256

мендуемую подстановку tg х = t, а применив искусственный прием:

разлагая подынтегральную функцию на простf'йшие дроби:

Замf'тив, что чи<'литель Зх2 +4х+ 1 является производной знамf'нателя

х(х2 + 2:r + 1) = х3 + 2:r2 + х, легко получить:

На практике при вычислении неопределенных интегралов исполь­ зуют различные справочники, <'Одержащие таблицы особенно часто встречающихся интегралов. В частности, «Таблицы неопределенных

интегралов» М. Л. Смолянского.

Изученные методы интегрирования позволяют во многих случаях

вычислить неопределенный интеграл, т. е. найти первообразную функ­ цию для подынтегральной функции.

Как известно, вс.яка.я непрерывна.я функv,u.я uмеет первообразную.

В том случае, когда первообразная некоторой элементарной функции

f (х) является также элементарной функцией, говорят, что Jf(x) dx

«берете.я», т. е. интеграл выражается через элементарные функции (или интеграл вычисляется). Если же интеграл не выражается через

элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берете.я» (или

«его найти нельзя»).

Так, например, нельзя взять интеграл J./Х ·cosxdx, так как не

существует элементарной функции, производная от которой была бы

равна ./Хcos х. Приведем еще примеры «неберущихся» интегралов, ко­

торые имеют большое значение в приложениях:

Jе-х2 dx - интеграл Пуассона (тrория вероятностей),

j 1~хх - интегральный логарифм (теория чисел),

9 Конспект лекций по высшей математике Полный курс

257

j ~ dx - интегральная показательная функция.

Первообразные от функции е-ж2 , cos х2 , -1n1х и других хорошо из­

учены, для них составлены подробные таблицы значений для различ­

ных значений аргумента х.

...

Глава Vlll. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ

1Лекции 29-331

§35. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ

ИНТЕГРАЛЬНОЙ СУММЫ

произвольную точку Ci Е [xi-l; Xi] и вычислим значение функции в ней, т. е. величину f (ci)·

3. Умножим найденное значение функции f(ci) на длину Лх~

= Xi - Xi-1 соответствующего частичного отрезка: f(ci) · Лх~.

i=l

~Сумма вида (35.1) называется интегра.ttьноi1 су.м.моi1 функции у = f(x) на отрезке [а; Ь]. Обозначим через Л длину наибольшего

частичного отрезка: Л = max Лх~ (i = 1, 2, ... , n).

5. Найдем предел интегральной суммы (35.1), когда n --+ оо так,

что л--+ о.

~Если при этом интегральная сумма Sn имеет предел 1, который не

зависит ни от способа разбиения отрезка [а; Ь] на частичньiе отрез­

ки, ни от выбора то-ч:ек в них, то -ч:исло 1 называется оnреде.л,енн'Ым

интегралом от функции у = f(x) на отрезке [а; Ь] и обозначается

ь

Jf(x) dx. Таким образом,

а

259