pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Заме-ч,ание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверх­

ности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности. Точка М0 поверхности называется особоi1, если в этой точке все част­ ные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.

Пример 45.1. Написать уравнения касательной плоскости и нор­

мали к параболоиду вращения z = х2 + у2 в точке Afo(l; -1; 2).

§ 46. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 46.1. Основные понятия

Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух пере­ менных аналогичны соответствующим понятиям функции одной нЕ:>за­

висимой переменной (см. п. 25.4).

Пусть функция z = f(x;y) определена в нЕ:>которой области D, точка N(xo; Уо) Е D.

~Точка (х0;уо) называется точкой максимума функции z = = f(x; у), если существует такая д-окрестность точки (хо; у0), что

для каждой точки (х;у), отличной от (х0;уо), из этой окрестности вы­ полняется неравенство f(x; у) < f(xo; Уо).

~Аналогично определяется точ-

максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функ­

ции называют ее экстремумами.

liJ Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и мини­ мум имеют локаль·н:ыi1 (местный) характер: значение функции в точке

320

(х0; у0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (х0; у0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или

не иметь ни одного.

46.2. Необходимые и достаточные условия экстремума

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

Теорема 46.1 (необХОАИмые условия экстремума). Если в точке N (х0; у0) Аифференцируемая функция z = f (х; у) имеет экстремум,

то ее частные проиэвоАные в этой точке равны нулю· f~(x0; уо) =О,

!~(хо; Уо) =О.

Q Зафиксируем одну из переменных. Положим, например, у= у0. То­

гда получим функцию f(x; Уо) = ср(х) одной переменной, которая имеет

экстремум при х = х0. Следовательно, согласно необходимому условию

экстремума функции одной переменной (см. п. 25.4), 'Р'(х0) = О, т. е.

~Точка, в которой частные производные первого порядка функции

z = f(x; у) равны нулю, т. е. f~ =О,/~ =О, называется cmaцuo­

нapнoiJ moчкotl функции z.

~Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная про­

изводная не существует, называются крuтuческuмu mО'Чкамu.

Вкритических точках функция может иметь экстремум, а может

ине иметь. Равенство нулю частных производных является необхо-

димым, но не достаточным условием существования экстремума. Рас­

смотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; О) являет­ ся критической (в ней z~ = у и z~ = х обращаются в ноль). Однако

J J КонслеJ(Тлекций по высшей математике Полнын хурс

321

экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой

окрестности точки 0(0; О) найдутся точки дпя которых z > О (точки 1 и 111 четвертей) и z <О (точки 11 и IV четвертей).

Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть

дополнительному исследованию.

Теорема 46.2 (достаточное усnовие экстремума). Пусть в стаци­ онарной точке (хо;Уо) и некоторой ее окрестности функция f(x;y)

имеет непрерывные частные произвоАные до второго nоряАка вклю­

чительно. Вычислим в точке (хо; Уо) значения А = f:xCxo; Уо). В =

= f~'y(xo; Уо), С = f~'y(xo; Уо). Обозначим

Л = 1 ~ ~ 1 = АС- В2.

Тогда:

1)если Л >О, то функция f(x;y) в точке (хо;Уо) имеет экстремум·. максимум, если А < О; минимум, если А > О;

2)если Л <О, то функция J(x; у) в точке (х0; у0) экстремума не имеет. В случае Л =О экстремум в точке (х0; у0) может быть, может не быть.

Необходимы дополнительные исследования.

Примем беэ доказательства.

Отсюда получаем точки М1(6; З) и М2(0; О).

Находим частные производные второго порядка данной функции:

322

В точке М2(О;О): А= О, В= О, С= О и, значит, д =О. Проведем

дополнительное исследование. Значение функции z в точке М2 равно

нулю: z(O; О) = О. Можно заметить, что z = -у4 < О при х = О, у f; О; z = -х3 > О при х < О, у = О. Значит, в окрестности точки М2(0; О)

функция z принимает как отрицательные, так и положительные зна­

чения. Следовательно, в точке М2 функция экстремума не имеет. 8

46.З. Наибольшее и наименьшее значения функции

в замкнутой области

Пусть функция z = j(x; у) определена и непрерывна в ограничен­

ной замкнутой области D. Тогда она достигает в некоторых точках D своего наибольшего Ми наименьшего т значений (т. н. глоба.лънъtti.

экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, располо­

женных внутри области D, или в точках, лежащих на границе области.

Прави.ло нахождения наибольшего и наименьшего значений диф­

ференцируемой в области D функции z = f (х; у) состоит в следующем: 1. Найти все критические точки функции, принадлежащие 75, и

вычислить значения функции в них;

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции z = j(x; у)

на границах области;

3.Сравнить все найденные значения функции и выбрать из них наибольшее М и наименьшее m.

Решением системы являются точки (О;О), (-1;0), (О;-1), (-!; -k)·

Ни одна из найденных точек не принадлежит области D.

2. Исследуем функцию z на границе области, состоящей из участ­

ков АВ, ВС, СЕ и ЕА (рис. 211).

323

Глава Х. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

1Лекции 37-431

§47. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ

УРАВНЕНИЯХ

47.1.Основные понятия

~При решf'нии различных задач математики, физики, химии и дру-

гих наук часто пользуются математическими моделями в видР

уравнений, связывающих независимую перем<'нную, искомую функцию и ее производные. Такие уравнения на1ываются дифференциальны­

ми (термин принадлежит Г. Лейбницу, 1676 г ). Решением дифферен­

циального уравнения на1ывается функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Так, решением уравнРния у' = f(x) являе1ся функция у= F(.i:) - первообразная для функции f (.i:).

Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных урав­

нениях (ДУ).

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной перемен­

ной, то ДУ называют обы:кновен:ным; в противном случае - ДУ в

'Частных производных. Далее будем рассматривать только обыкновен­

ные ДУ.

Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется по­

= х ·z~ - ДУ в частных производных первого порядка.

Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием,

а график решения ДУ - интегра.лъноi1 кривоi1.

Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диф­

ференциальным уравнениям.

47.2. Задачи, приводящие к дифференциальным

уравнениям

ЗаАача 1

Материальная точка массы m замедляет свое движение под дей­

ствием силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скоро-

325

сти V. Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки

через 3 с после начала замедления, если V(O) = 100 м/с, а V(l) =50 м/с.

Q Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитыва­

емое от начала замедления движения материальной точки. Тогда ско­

рость точки V будет функцией t, т. е. V ~ V(t). Для нахождения V(t) воспользуемся вторым законом Ньютона (основным законом механи­ ки): m ·а= F, где а= V'(t) - есть ускорение движущегося тела, F -

результирующая сила, действующая на тело в процессе движения.

В данном случае F = -kV2 , k > О - коэффициент пропорциональ­

ности (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается).

Следовательно, функция V = V(t) является решением дифференци-

ального уравнения m · V' = -k · V 2 или V' = _kv2 • Здесь т - масса

const. Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через 3 с после начала замедления.

Найдем сначала параметры k и с. Согласно условию задачи, име­ m

ем: V(O) = ~ = 100 и V(l) = !. ~с = 50. Отсюда с= 1~0, ~ = 1~0.

Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), зная, что отрезок

любой касательной к ней, заключенный между осями координат, де-

лится в точке касания пополам.

Q Решение: Пусть М(х; у) - , произвольная точка

у

кривой, уравнение которой у = J(x). Для опреде­

Аленности предположим, что кривая расположена в

tg(LMBC) = tg(180° - о)= -tgo,

МС = у. По условию задачи АМ = МВ, следовательно, ОС = СВ = х.

326

Таким образом, получаем -tga = у_ или у'= _у__ Решением по-

Другие задачи

Можно показать, что:

•закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио­ активный распад») описывается дифференциальным уравнением

•«закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела

в зависимости от времени, описывается уравнением ~I=k(T-t0 ),

где T(t) - темпf'ратура тела в момент времени t, k - коэффици­

ент пропорциональности, to - температура воздуха (среды охла­ ждения);

•зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реак­

цию, от времени t во многих случаях описывается уравнf'нием

~~= k · х, где k - коэффициент пропорциональности;

•«закон размножения бактерий» (зависимость массы т бактерий

от времени t) описывается уравнением m~ = k · т, где k >О;

•закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над

уровнем моря описывается уравнением ~ = -k ·р, где p(h)

атмосферное давление воздуха на высоте h, k > О.

Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную

роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообраз­

ных задач.

§ 48. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

48.1. Основные понятия

Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае

можно записать в виде

327

Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию

у и ее производную у'. Если уравнение (48.1) можно разрешить отно­ ситЕ>Jiьно у', то его записывают в виде

и называют ДУ nepвoio порядка, разрешенньtм относительно произ­ водноil,. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ. li/ Уравнение (48.2) устанавливает связь (зависимость) между коор-

динатами точки (х;у) и угловым коэффициентом у' касательной

к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,

ДУ у'= f(x; у) дает совокупность направлений (поле направлениii) на

плоскости Оху. Таково геометрическое истолкование ДУ первого по­

рядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, на­ зывается изоклиноii,. Изоклинами можно пользоваться для приближен­

ного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно по­

лучить, если положить у'= с, т. е. f(x; у) =с.

Прuмер 48.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных

будет 2х =с, т. е. изоклинами здесь будут

прямые, параллельные оси Оу (х = ~).

В точках прямых проведем отрезки, обра­

зующие с осью Ох один и тот же угол а:,

тангенс которого равен с.

Так, при с= О имеем х =О, tgo: =О,

Построив четыре изоклины и отметив на каждой из них ряд стре­

лочек, наклоненных к оси Ох под определенным углом (см. рис. 213),

по их направлениям строим линии. Они, как видно, представляют со­

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное от­

носительно производной, можно записать в дифференциальноi/, форме:

328

где Р(х; у) и Q(x; у) - известные функции. Уравнение (48.3) удобно

тем, что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них мож­

но рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида

записи ДУ можно перейти к другому.

Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному мно­

жеству решений (отличающихся друг от друга постоянными величи­

нами). Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является

функция у= х2 , а также у= х2 + 1, у= х2 - .../2 и вообще у= х2 +с,

где с - const.

Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчи­

нить некоторым дополнительным условиям.

Условие, что при х = х0 функция у должна быть равна заданно­ му числу у0, т. е. у= Уо называется начальным условuем. Начальное

Общим решением ДУ первого порядка называется функция у = = <р(х;с), содержащая одну произвольную постоянную и удовле-

творяющая условиям:

1. Функция <р(х; с) является решением ДУ при каждом фиксиро­

ванном значении с.

2. Каково бы ни было начальное условие (48.4), можно найти такое значение постоянной с = ео, что функция у = <р(х; ео) удовлетворяет

данному начальному условию.

~ Частным решением ДУ первого порядка называется любая

функция у = <р(х; ео), полученная из общего решения у = rp(x; с)

при конкретном значении постоянной с= Со·

Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде урав­

нения Ф(х; у; с) = О, то такое решение называется общuм uнтегралом ДУ. Уравнение Ф(х; у; ео) = О в этом случае называется частным uн­

тегралом уравнения.

С геометрической точки зрения у = <р(х; с) есть семейство инте­ гральных кривых на плоскости Оху; частное решение у = ip(x; ео) - одна кривая из этого семейства, проходящая через точку (хо; уо).

~Задача отыскания решения ДУ первого порядка (48.3), удовлетво­ ряющего заданному начальному условию (48.4), называется aaiJa-

чeiJ Коши.

Теорема 48.1 (существовани" и единственности решения задачи

Коши). Если в уравнении (48.2) функция /(х; у) и ее частная про­ изводная /~(х; у) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (хо; Уо). то существует единственное решение у = ip(x) этого

уравнения, удовлетворяющее начальному условию (48.4).

329