pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Переходя к полярным координатам, находим:

V = ~ j/(7- r 2 )r · drdcpjj(l + r 2 )r · drdcp =

О Решение: По формуле (53.6) находим массу пластинки. По условию,

'У= -у(х; у) = k · ху, где k - коэффициент пропорциональности.

Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы

390

§ 54. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

54.1. Основные понятия

Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пе­

ременных является так называемый «тройной интеграл».

Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интегра­

ла. Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непре­

рывная функция и = f(x; у; z). Разбив область V сеткой поверхностей

на п частей \ti (i = 1, п) и выбрав в каждой из них произвольную точ­ n

ку Mi(xi; Yi; zi), составим интегральную сумму L f(Xi; Yi; Zi)Л\ti для

i=l

функции f(x; у; z) по области V (здесь ЛVi ·-объем элементарной обла-

сти \ti).

Если предел интегральной суммы существует при неограничен­ ном увеличении числа п таким образом, что каждая «элементарная

область» l/; стягивается в точку (т. е. диаметр области d; стремится к нулю, т. е. di--+ О), то его называют mpoiJ:н,u.м интегралом от функции

Таким образом, по определению, имеем:

Теорема 54.1 (существовании). Если функция и= f(x; у; z) непре­

рывна в ограниченной замкнутой области V, то предел интегральной

суммы (54.1) при п --+ оо и maxd; --+ О существует и не зависит

ни от способа разбиения области V на части, ни от выбора точек

M;(xi; у;; z;) в них.

Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной

интеграл:

1. jJj с· f(x;y; z) dv =с· JJJ f(x;y;z) dv, с - const. v v

391

v

Если в области интегрирования f(x; у; z) ~ ip(x; у; z), то и

где т и М - соответственно наименьшее и наибольшее значения функ­

ции f(x;y;z) в области V.

7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерыв­

на в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка

Мо(хо; Yoi zo), что

jjj f(x;y;z)dv = /(xo;yo;zo~ · V, v

где V - объем тела.

54.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых

коорАинатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводит­

ся к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное

замкнутой области D, являющейся проекцией тела на плоскость Оху

392

(см. рис. 225). Будем считать область V - nравuльноi.1 в наnравле­

нuu ocu Oz: любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает границу области не более чем в двух точках. Тогда для любой непрерывной в

сводящая вычисление тройного интеграла к вычислению двойного ин­

теграла от однократного (доказательство формулы (54.2) не приводим).

При этом сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной z при постоянных х и у в пределах изменения z. Нижней границей инте­

грала является аппликата точки А - точки входа прямой, параллель­

ной оси Oz в область V, т. е. z = z1 (х; у); верхней границей-- аппликата

точки В -- точки выхода прямой из области V, т. е. z = z2 (x;y). Ре­ зультат вычисления этого интеграла есть функция двух переменных:

х и у.

у

Если областьD ограничена линиями х =а, х = Ь (а< Ь), у= r,o 1(x)

и у = r,o2 (х), где 1,01 (х) и r,o2 (х) - непрерывные на отрезке [а, Ь] функции,

причем r,o1 (х) :::;; r,o2 (х) (см. рис. 226), то, переходя от двойного интеграла

по области D к повторному, получаем формулу

по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.

393

Заме-ч,ания.

1.Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следует

разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым

можно применить формулу (54.3).

2.Порядок интегрирования в форму,[Iе

(54.З), при определенных условиях, может

v

у

где V ограничена плоскостями х = О, у = О,

z = 1, х +у+ z = 2 (рис. 227).

правлении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость Оху является пра­ вильной в направлении оси Оу (и оси Ох). Согласно формуле (54.З),

имеем:

о

=а.х; _2 ,х; +:4 -~(х; _2.х: +:4 )-~·x-(2;4x)4 )i:=

394

54.3.Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла

вцилиндрических и сферических координатах

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто приме­ няется метод подстановки, т. е. совершается преобразование перемен­

ных.

Пусть совершена подстановках = ip(u;v;w), у = ф(u;v;w), z =

= x(u;v;w). Если эти функции имеют в некоторой области V* про­

странства Ouvw непрерывные частные производные и отличный от ну-

то справедлива формула замени перемен:ных в тройном интеграле:

jjj f(x, у; z) dxdy dz = v

= jjj f(ip(u;v;w);ф(u;v;w);x(u;v;w)) · II(u;v;w)ldudvdw. (54.4) v•

Здесь I(u;v;w) - определитель Якоби, или якобиан преобразования

(примем без доказательства).

Для вычисления тройного интеграла

Положение точки М(х; у; z) в простран­

линдри-ч,ескими координатами точки М.

Цилиндрические координаты точки связаны с ее декартовыми ко­

ординатами следующими соотношениями:

lx=r·cosip, y=r·sinip, z=zl

(r ~ О, 1Р Е [О; 21Г], z Е JR).

395

Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты r, '{), z и вычислим якобиан преобразования:

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к инте­

грированию по r, по ер и по z аналогично тому, как это делается в декартовых координатах.

Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перей­ ти в случае, если область интегрирования образована цилиндрической

поверхностью.

Пример 54.2. Вычислить///z · dx dy dz, где V - область, огра­

v

ниченная верхней частью конуса х2 + у2 = z2 и плоскостью z = 1.

Q Решение: На рис. 229 изображена область интегрирования V. Вы­

числим интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х =

= r · cosep, у= r · sinep, z = z. Здесь dxdydz = r · drdcpdz. Уравнение

конуса примет вид r 2 cos2 ep+r2 sin2 ер= z 2 , т. е. z = r. Уравнение окруж­

ности х2 + у2 = 1 (границы области D) запишется так: r = 1. Новые

переменные изменяются в следующих пределах: r - от О до 1, ер - от

О до 271", а z - от r до 1 (прямая, параллельная оси Оz, пересекающая

область D, входит в конус z = т и выходит из него на высоте z = 1).

Таким образом, согласно формуле (54.5), получаем:

оо

Заметим, что, не переходя к цилиндрическим координатам, полу-

396

М, <р - yroТI, образованный щюе>кцией радиуса-вектора ОМ на плос­ кость Оху и осью От, (} - угол отклонения радиуса-вектора ОМ 01

оси Oz (см. рис. 230).

Сфериче>ские> координаты р, <р, 8 свя-заны с декар1овыми коорди­

натами .с, у, z соотноше>ниями:

1 х = pcos<p ·&in8, у= psin<p · sin8, z = pcos8 j

(р ~ о, о ~ <р ~ 211"' о ~ 8 ~ 11") .

В некоторых случаях вычисление тройного интеrра.ла удобно про­

изводить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно вос­ пользоваться формулой замены переменных в тройном интеграле

(54.4). Так как якобиан преобразования

= -р2 sin2 <psin8 · 1 - р2 cos2 rpsin8 · 1 = -р2 sinO · 1 = -р2 sin8,

то

JJJ f(x;y;z)dxdydz = v

397

= JJJ f(pcosr.psinO; psinr.psinO; pcosO) · р2 sinO · dpdr.pdO. (54.6) v·

Заме'Чанuе. Переходить к сферическим координатам удобно, когда

область интегрирования V есть шар (уравнение его границы х2 + у2 + + z2 = R2 в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть, а также если подынтегральная функция имеет вид f(x 2 + у2 + z 2).

О Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим коор­

динатам: х = р cos <р sin О, у = р sin <р sin (}, z = р cos О. Тогда

dV = dxdydz = р2 sinOdpd<pdO.

54.4.Некоторые приложения тройного интеграла

Объем тела

Объем области V выражается формулой V = JJJdv или

v

V = JJJdx dy dz ' - в декартовых координатах, v

398

V = JJJr dr dt.p dz - в цилиндрических координатах,

v

v' = !!! р2 sin (} dp dt.p d(} - в сферических координатах. v

Масса тела

Масса тела т при заданной объемной плотности 'У вычисляется с

помощью тройного интеграла как

т = JJJ 'Y(x;y;z)dxdydz, v

где "((х; у; z) - объемная плотность распределения массы в точке

M(x;y;z).

Статические моменты

Моменты Sxy, Sz" Syz тела относи1ельно координатных плоско­

стей Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам

Bxz = jjj у ""Y(x;y;z)dv. v

Центр тяжести тела

Координаты центра тяжести тела\/ находятся по формулам

v

а моменты инерции относительно координатных осей:

lz = JJJ(х2 +у2) ·"((x;y;z)dv. v

Пример 54.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями z = х2 + у2 и z = 1.

399