pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Q Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу -

параболоидом z = х2 +у2 (см. рис. 231). Объем тела находим, используя

цилиндрические координаты:

V= JJJr·drd<pdz= J d<p Jr·dr J dz=

1 у

у

Пример 54.5. Найти массу шара х2 + у2 + z2 :::;; 2Rz, если плот­

ность в каждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от

нее до начала координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).

Q Решение: Уравнение сферы х2 + у2 + z2 = 2Rz можно записать так:

х2 + у2 + (z - R) 2 = R2 • Центр шара располоЖен в точке 01 (О; О; R)

(см. рис. 232). Пусть M(x;y;z) - произвольная точка шара. Тогда, по условию, плотность 'У определяется формулой

k

"'(х· у· z) - ~====

, ' ' J-х2 + у2 + z2 ,

где k - коэффициент пропорциональности, Jх2 + у2 + z2 - расстоя­

ние от точки М до начала координат.

Итак, т = JJJ 1(x;y;z)dv = JJJ Jx 2 +ky2 + z2 dv. v v

Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение

сферы х2 + у2 + z2 = 2Rz примет вид р2 = 2Rp ·cos (), т. е. р = 2R cos ().

400

\J

Глава Xll. КРИВОЛИНЕИНЫЕ

ИПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

/Лекции 47-50 1

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область ин­

тегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криво­ линейный интеграл.

§ 55. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

55.1. Основные понятия

Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) длины l Рассмотрим непрерывную функцию f(x; у), определенную в

точках дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками Мо = А, lvf1, М2, ...

. . . ,Mn = В на n произвольных дуг М,_1М, с длинами дl, (i = 1, 2, ... , n)(см. рис. 233). Выберем на каждой дуге М,_1 М, произвольную

точку (х,; у,) и составим сумму

i=l

у

у,

х

Рис 233

Ее называют интегральной суммой для функции f(x; у) по кри­

вой АВ.

Пусть Л = max j:!.l, - наибольшая из длин дуг деления. Если l~i~n

при Л---+ О (тогда п -t оо) сущес-rвует конечный предел ин-rегральных

402

сумм (55.1), то его называют криволинейным интегралом от функции

Условие существования криволинейного интеграла I рода (суще­ ствования предела интегральной суммы (55.1) при n --+ оо (.Л --+ О))

представляет следующая теорема, которую мы приводим здесь без до­

казательства.

Теорема 55.1. Если функция /(.r:; у) непрерывна в каждой точке гладкой кривой (в каждой точке (х; у) Е L существует касательная

к данной кривой и положение ее непрерывно меняется при перемеще­

нии точки по кривой), то криволинейный интеграл 1 рода существует

и его величина не зависит ни от способа разбиения кривой на части, ни от выбора точек в них

Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интегра­

ла от функции f(x; у; z) по пространственной кривой L.

Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине

дуги (I рода).

1. j f(x; у) dl = j f(x; у) dl, т. е. криволинейный интеграл I ро-

АВ БА

да не зависит от направления пути интегрирования.

ния L разбит на части Li и L2 такие, что L = Li UL2 и Li и L2 имеют

единственную общую точку.

403

55.2. Вычисление криволинейного интеграла 1 рода

Вычисление криволинейного интегра.па I рода может быть сведено

к вычислению определенного интеграла. Привелем без доказа1ельства правила вычисления криволинейно~() ИНТ('Грала I рода в случаях, С('ЛИ кривая L задана параметрическим, полярным и явным образом.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями т = т(t),

уравнениями х = x(t), у = y(t), z = z(t), о: :( t :( ,8:

ется заменой в левой части у= rp(x) и dl = J1 +у~'dx (дифференциал

дуги кривой - см. п. 41.З).

404

ПодчРркнем, что нижний прРдел опрРдРленного интРграла в фор­ мулах (55.3)-(55.6) должрн быть меньше верхнего.

Пример 55.2. Вычислить j (:r + y)dl, где L -

55.3.Некоторые приложения криволинейного интеграла 1 рода

Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения

в математике и механике.

405

Алина криво~.1

Длина l кривой АВ плоской или пространственной линии вычи­

АВ

кривой в точке М.

Q Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг~. (i = 1,п).

Пусть (х,;у,) - произвольная точка дуги М,_1М,. Считая прибли­

женно участок дуги однородным, т. е. считая, что плотность в каждой

точке дуги такая же, как и в точке (х,; у,), найдем приближенное зна-

чение массы m, дуги~.:

т, ~ -у(х,; у,)Лl,.

Суммируя, находим приближенное значение массы m:

•=1

За массу кривой АВ примем предел суммы (55.7) при условии, что

(max дl, --tO) •=1

или, согласно формуле (55.2),

m= [ -y(x;y)dl.

АВ

(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность

406

Статические моменты, центр тяжести

Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам

Для материальной кривой АВ моменты l.x, ly, Io инерции относи­

тельно осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:

Пример 55.З. Найти центр тяжести полуокружнос·.rи х2 +у2 = R 2 ,

лежащей в ВРрхней полуплоскости. Плотность считать равной единице

Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими

56.1. Основные понятия

Решение задачи о вычислении работы переменной силы при пере­ мещении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) при­

водит к понятию криволинейного интеграла П рода.

Криволинейный интеграл П рода определяется почти так же, как

и интеграл 1 рода.

407

Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и функция Р(х; у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кри­ вую АВ точками Мо = А, М1 , ••• , Mn = В в направлении от точки А к

точке В на n дуг ~, с длинами дl, (i = 1, 2, ... , п).

вить бесчисленное множество. (Отличие сумм (55.1) и (56.1) очевидно.)

Если при Л = max дl, -t О интегральная сумма (56.1) имеет кo-

1,,;i~n

нечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни

от выбора точек (х,; у,), то его называюг криволинейwым интегралом no координате х (или П рода) от функv,ии P(:r;y) по кpuвoii. АВ и

обозначают J Р(х;у) d:r или JР(х;у) dx.

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(х; у)

по координате у:

где ду, - проекция дуги~. на ось Оу.

Криволинейн'Ый интеграл П рода общего вида

J Р(х; у) dx + Q(x; у) dy

АВ

определяется равенством

J Р(х;у)dx +<J(x; у)dy = J Р(х;у)dx + J Q(x; у)dx.

Криволинейный интеграл JР(х;у; z) dx+Q(x; у; z) dy+R(x; у; z) dz

L

по пространственной кривой L определяется аналогично.

Теорема 56.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х; у) и Q(x; у)

непрерывные на кривой АВ, то криволинейный интеграл 11 рода су­

ществует.

Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла

Прода.

1.При изменении направления пути интегриронания криволиней­

ный интеграл П рода И'}меняет свой знак на противоположный, т. е.

! =- !

АВ БА

(проекция дуги ~i на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением

направления).

2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то

интеграл по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.

f =f+f.

АВ АС СВ

3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох,

L

4.Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается

f)не зависит от выбора начальной точки (зависит только~т направ­

409