pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

них вьщелен). В своей совокупности они составляют тело V. Обозначив

объем столбика с основанием D, через ЛV., получим

Э'lо равенство тем 'lочнее, чем больше чи­

сло пи чем меньше размеры «элементар­

предел суммы (53.3) при услонии, что число площадок D, неограничен­ но увеличивается (п -+ оо), а каждая площадка стягивается в точку

(maxd,-+ О), за объем V цилиндрического тела, т. е.

D

Итак, вели:ч.ина двойного интеграла от неотрицательной функции равна оббему цилиндри"tеского тела. В э·юм состоит геометрический

смысл двойного интеграла.

Масса плоской пластинки

Требуется найти массу т плоской пластинки D, зная, что ее по­ верхностная плотность"/= "t(x; у) есть непрРрывная функция коорди­

нат точки (х; у). Разобьем пластинку D на п элементарных частей D, (i = 1, п), площади которых обозначим через ЛS,. В каждой области

D, возьмем произвольную точку М,(х,; у,) и вычислим плотносгь в ней:

"t(x,; у,).

Если области D, достаточно малы, то плотность в каждой точке

(х;у) Е D, мало отлиЧается от значения "t(x,;y,). Считая приближен­ но плотность в каждой точке области D, постоянной, равной "t(x,; у,),

380

Точное значение массы получим как предел суммы (53.5) при условии

И1ак, двойной интеграл от функции г(х;у) численно равен мас­

се пластинки, если подынтегральную функцию г(х; у) считать плотно­ стью этой плас1инки в точк«:> (х;у). В этом состоит фи~ический смысл

двойного интеграла.

53.3. Основные свойства двойного интеграла

Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D

дословно повторяет уже знакомую нам процедуру определения инте­

грала функции одной переменной на отрезке (см. § 35). Аналогичны и свойства этих интегралов и их доказательства (см. § 38). Поэтому

перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынте­

гральные функции интегрируемыми.

ние D 1 и D2 состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 217), то

Рис. 217

jj f(x;y)dxdy= jj f(x;y)dxdy+ jj f(x;y)dxdy.

381

4.Если в области D имеет место неравенство f(x;y) ~ О, то и

jjj(x;y)dxdy ~О. Если в области D функции j(x;y) и rp(x;y) удо­

D

влетворяют неравенству f(x; у) ~ rp(x; у), то и

jj f(x;y)dxdy ~ jJip(x;y)dxdy.

D

ств('нно наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции

вобласти D.

7.Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло­ щадь которой S, то в этой области существует такая точка (хо; Уо), что

jj f(x; у) dx dy =/(хо;Уо) · S. Величину

называют средним зна'Чением функv,ии f(x; у) в об.1tасти D.

53.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых

координатах

Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последо­

вательному вычислению двух определенных ИН'J;егралов.

Пусть требуется нычислить двойной интеграл jJf(x; у) dxdy, где

D

функция f(x; у) ~ О непрерывна в области D. Тогда, как это было

показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрическо­

го тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (х; у). Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было

показано, что

ь

V = j S(x)dx,

а

где S(x) - площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох, а

х = а, х = Ь - уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.

382

Положим сначала, что область D представляет собой криволиней­ ную трапецию, ограниченную прямыми х = а и х = Ь и кривыми у = = rp1(х) и у = rp2(х), причем функции rp1(х) и 'Р2(х) непрерывны и таковы, что tp1(x) :::;; rp2(x) для всех х Е [а;Ь] (см. рис. 218). Такая

область называется nрави.льно'/i в направлении оси Оу: любая прямая,

параллельная оси Оу, пересекает границу области не более чем в двух

точках.

Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендику­

лярной оси Ох: х = const, где х Е [а; Ь].

z

уу=<р2(х)

(см. рис. 219).

Площадь S(x) этой трапеции находим с помощью определенного

интеграла

'1'2(х)

S(x)= j f(x;y)dy.

'1'1 (х)

Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:

С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндриче­

ского тела определяется как двойной интеграл от функции f(x; у)~ О

383

по области D. Следовательно,

V = jj f(x;y)dxdy = i( срfж)f(x;y)dy) dx.

Это равенство обычно записывается в виде

Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного инте­

грала в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) назы­ вают овукратн:ым (или повторн'Ьtм) интегралом от функции f (х; у) по

<р2(ж)

области D. При этом J f(x; у) dy называется внутренним интегра-

лом.

Для вычисления двукратного интеграла снача.ла берем ннутрен­ ний интеграл, считая х постоянным, затем берем внешний интеграл,

т. е. результат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от

а до Ь.

Если же область D ограничена прямыми у = с и у = d (с < d),

кривыми х = 1/J1 (у) и х = 1/J2 (у), причем 1/J1 (у) ~ 1/J2 (у) для всех у Е [с; d],

т. е. область D - правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело

плоскостью у = const, аналогично получим:

Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, 'считаем у постоянным. Заме-чани.я.

1.Формулы (53. 7) и (53.8) справедливы и в случае, когда f (х; у) <

<О, (х;у) Е D.

2.Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по форму­

ле (53.8).

3.Если область D не является правильной ни «по х», ни «ПО у», то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси Ох или оси Оу.

4.Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле

всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.

384

Пример 53.1. Вычислить JJ(х + 2у)dxdy, где область D огра­

D

ничена линиями у = х2 , у = О, х + у - 2 = О.

Q Решение: На рисунке 220 изображена область интегрирования D. Она правильная

в направлении оси Ох. Для вычисления дан­

ного двойного интеграла воспользуемся фор­

мулой (53.8):

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла мож­

но воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область D следует

разбить на две области: D1 и D2. Получаем:

JJ(х + 2у)dx dy = JJ(х + 2у)dx dy + JJ(х + 2у)dx dy =

1З Конспект лекций по высшей математике. Полный курс

385

53.5. Вычисление АВОЙного интеграла в полярных

кооминатах

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют

метод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного интеграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного инте­

грала.

Определим преобразование независимых переменных х и у (замену переменных) как

Если функции (53.9) имеют в некоторой области D* плоскости Оиv не­

ди дv

а функция f (х; у) непрерывна в области D, то справедлива формула

Функциональный определитель (53.10) называется определителем Якоби или .якобианом (Г. Якоби - немецкий математик). Доказатель­ ство формулы (53.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используе­

мый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых

координат х и у полярными координатами т и t.p.

В качестве и и v возьмем полярные координаты т и t.p. Они связаны с декартовыми координатами формулами х = rcosip, у = rsint.p (см.

п. 9.1).

Правые части в этих равенствах - непрерывно дифференцируе­

мые функции. Якобиан преобразования опредеJilяется из (53.10) как

где D* - область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах при­ меняют то же правило сведения его к двукратному интегралу. Так, если

386

область D* имеет вид, изображенный на рисунке 221 (ограничена лу­

чами <р = а и <р = /3, где а < /3, и кривыми r = r 1 ( <р) и r = r2 ( <р), где r1 (<р) ~ r 2 (<p), т. е. область D* правильная: луч, выходящий из полюса,

пересекает ее границу не более чем в двух точках), то правую часть

формулы (53.12) можно записать в виде

х

Заме'Чаwи.я.

1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтеграль­

ная функция имеет вид f(x 2 + у2 ); область D есть круг, кольцо или

часть таковых.

2. На практике переход к полярным координатам осуществляет­

ся путем замены х = r cos <р, у = r sin <р, dx dy = r dr d<p; уравнения

линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область D* не выполняют,

а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нуж­

ные пределы интегрирования по r и <р (исследуя закон изменения r и

<р точки (r; <р) при ее отождествлении с точкой (х; у) области D).

387

круг - преобразуется в область D* - прямоугольник. Поэтому, со­

гласно формуле (53.13), имеем:

о

53.6. Приложения двойного интеграла

Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.

Объем тела

Как уже показано (п. 53.2), обы•м цилиндрического тела находится

по формуле

V= jj f(x;y)dxdy,

D

где z == f(x; у) - уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.

Площадь плоской фигуры

Если положить в формуле (53.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое

тело «Превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем тако­ го цилиндра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем формулу для вычисления площади S области D:

S = JJdxdy,

D

или, в полярных координатах,

Масса плоской фигуры

Как уже показано (п. 53.2), масса плоской пластинки D с перемен­ ной плотностью 'У= "f(x;y) находится по формуле

т = / J"f(x;y)dxdy.

D

388

Статические моменты и кооминаты центра тяжести плоской фигуры

Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.

п. 41.6) могут быть вычислены по формулам

Моменты инерции nлocкoiil фигуры

Моментом ~терции материал:ьноii mо'Чки массы т относительно оси l называется произведение массы т на квадрат расстояния d точки

до оси, т. е. М1 = т·а2. Моменты инерции плоской фигуры относитель­

но осей Ох и Оу могуг быть вычислены по формулам:

Момент инерции фигуры относительно начала координат - по форму­

ле Мо = Мх + Му.

Заме-чание. Приведенными примерами не исчерпывается примене­ ние двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного ин­

теграла к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 57.3).

Q Решение: Данное тело ограничено двумя параболоидами (см. рис. 223). Решая систему

{х2 + у2 = z - 1,

х2 + у2 = -Зz + 7,

у

находим уравнение линии их пересечения:

х2 + у2 = 1, z = 2.

Искомый объем равен разносги объемов

Рис 223

двух цилиндрических тел с одним основанием

(круг х2 + у2 :::; 1) и ограниченных сверху соответственно поверхностя-

389