pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

(Наряду с обозначениями И= И(М), И= И(х;у; z), используют запись И= U(r), где r - радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух перемен­ ных, например х и у, то соответствующее скалярное поле И(х; у) назы-

можно рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргу­

ментов х, у и z: а= a(x;y;z) (или ii = a(r)).

Вектор а = ii( М) можно представить (разложив его по ортам ко­ ординатных осей) в виде

а= Р(х; у; z)z + Q(x; у; z)} + R(x; у; z)k,

где Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) - проекции вектора ii(M) на оси ко­

ординат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проек­

ций вектора ii = ii(M) равна нулю, а две другие зависят только от

двух переменных, то векторное поле называется плоским. Например,

а= Р(х; y)i + Q(x; у)}.

Векторное поле называется однороднЪtм, если а(М) - постоянный

вектор, т. е. Р, R и Q - постоянные величины. Таким полем является

поле тяжести. Здесь Р = О, Q = О, R = -rng, g - ускорение силы

тяжести, т - масса точки.

~В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции

(U(x;y;z) - определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z)

и R(x; у; z) - задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими

частными производными.

Прuмер 69.1. Функция И J1 - х2 -у2 - z2 определяет ска-

лярное поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром

в начале координат и радиусом R = 1; скалярное поле И = х2 +z у2

определено во всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на

ней х2 +у2 =О).

Пример 69.2. Найти поле линейной скорости V материальной

точки М, вращающейся против часовой стрелки с угловой скоростью wвокруг оси Oz (см. п. 7.4).

Q Решение: Угловую скорость представим в виде вектора w, лежащего на оси Oz, направленного вверх. Имеем:

500

§ 70. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ 70.1. Поверхности и линии уровня

Рассмотрим скалярное поле, задаваемоР функцией И= U(:r; у; z).

Для наглядного представления скалярного поля используют поверхно­

сти и линии уровня.

~Поверхностью уровн.я. скалярного поля называется геометри­

ческое место точек, в которых функция И(М) принимает nостоян-

ное значение, т. е.

Давая в уравнении (70.1) величине с различные значения, полу­

чим различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы

расслаивают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки ко­

ординат точки в уравнение (70.1).

Для скалярного поля, образованного функцией

И = J1 - х2 - у2 - z2'

поверхностями уровня является множество концентрических сфер с

центрами в начале координат: Jl - х2 - у2 - z 2 =с. В частности, при

с = 1 получим х2 + у2 + z2 = О, т. е. сфера стягивается в точку.

Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня темпера­

турного поля (изотермические поверхности) представляют собой кру­

говые цилиндры, общей осью которых служит нить.

~В случае плоского поля И = И(х; у) равенство И(х; у) = с предста­

вляет собой уравнение .n.uнuu уровн.я. поля, т. е. линия уровня -

501

это линия на плоскости Оху, в точках которой функция И(х; у) сохра­

няет постоянное значение.

В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одина­

ковых средних давлений и одинаковых средних температур) являются

линиями уровня и представляют собой функции координат точек мест­

ности.

Линии уровня применяются в математике при исследовании по­

верхностей методом сечений (см. п. 12.9).

70.2. Производная по направлению

Для характеристики скорости изменения поля И= И(М) в задан­

ном направлении введем понятие «Производной по направлению».

Возьмем в пространстве, где задано поле И = И(х; у, z), некото­ рую точку М и найдем скорость изменения функции и при движении

точки Мв произвольном направлении Х. Пусть вектор Х имf>еr начало

ЛЛ = IMMil = у'(Лх)2 + (Лу)2 + (Лz)2.

ПpouзвoiJ'Нoli. от фу'Нкцuu и = и(М) в точке М по напра­

влению Х называется предел

Производная по направлению Х и характеризует скорость измене­

ния функции (поля) в точке М по этому направлению. Если i~ >О, то функция и возрастает в направлении Х, если i~ <О, то функция

и в направлении Х убывает. Кроме того, величина \i~1 представляет

собой мгновенную скорость изменения функции И в направлении Х в

точке М: чем больше j~~ j, тем быстрееизменяется функция и. В этом

состоит физический смысл производной по направлению.

502

Выведем формулу для вычисления производной по направлению,

считая, что функция И(х; у; z) дифференцируема в точке М. Тогда ее

полное приращение в этой точке М можно записать так:

Переходя к пределу при ЛЛ --+ О, получим формулу для вычисления

произвол.ной по направлению:

Заме'Ча'Нuе Понятие производной по направлению является обоб­

щением понятия частных производных ~~, f!J:!-, ~~ Их можно рассма­

тривать как производные от функции и по направлению координатных

осей Ох, Оу и Oz. Так, если направление Х совпадает с положитель­

ным направлением оси Ох, то, положив в формуле (70.2) а= О, f3 = ~'

'У= i, получим ~~ = ъ~.

Пример 70.1. Найти производную функции и = х2 + у2 - 4yz в

точке М(О; 1;2) в направлении от этой точки к точке М1 (2;3;3).

О Решение: Находим вектор ММ1 и его направляющие косинусы:

Находим частные производные функции и вычисляем их значения в

503

Следовательно, по формуле (70.2) имеем:

~~1м= о. ~ - 6 . ~ - 4 . ~ = - ~6.

Поскольку ~~ < О, то заданная функция в.данном направлении убы­

70.3.Градиент скалярного поля и его свойства

Вкаком направлении Х производная ~~ имеет наибольшее значе­

ние? Это направление указывает вектор, называемый градиентом ска­

лярного поля.

Можно заметить, что правая часть равенства (70.2) представляет

собой скалярное произведение единичного вектора

е= (cosa;cos/1;cos1)

и некоторого вектора g- = (аи·аи·f)И).

8х' ау' az

~Вектор, координатами которого являются значения частных про-

изводных функции И(х; у; z) в точке М(х; у; z), называют гради-

ентом функции и обозначают grad И, т. е. grad И = ( ~~; ~~; ~~),

или

аиаи. aи­ gradИ = a;z + ау1 + дzk.

Отметим, что gradИ есть векторная величина. Говорят: скалярное

поле И порождает векторное поле градиента И. Теперь равенство (70.2)

можно записать в виде

Jil Из формулы (70.3) сразу следует, что производная по направлению

достигает наибольшего значения, когда cos ер = 1, т. е. при ер = О.

Таким образом, направление градиента совпадает с направлением Х,

вдоль которого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции указивает направление наибистрейшего возрастания функ­

ции. Наибольшая скорость изменения функции И в точке М равна

504

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свой­

стве градиента основано его широкое применение в математике и дру­

гих дисциплинах.

Приведем важные своitства градиента функции.

1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, прохо­

дящей через данную точку.

О Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня

(U = с) ~~ = О. Нотогдаиз (70.3) СЛедУет,чтоcos rp = О,т. е. rp = ~. •

2.grad(U + V) = gradU + grad V,

3.grad(с · U) = с · grad U, с == const,

4.grad(U · V) == UgradV + VgradU,

6.grad/(U) = ugradU.

ОДоказываются эти свойства на основании определения градиента.

Докажем, например, последнее свойство. Имеем:

grad/(U) = :x(J(U))z + :y(f(U))J + :z(J(U))k =

gradИ(-1; 1; -1) == 2l + oJ - 2k = 2i- - 2k.

Наибольшая скорость возрастания функции равна

1gradU(A)j == v'4 +О+ 4 = 2./2.

505

§ 71. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ 71.1. Векторные линии поля

Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором ii = ii(M). Из­

учение поля удобно начинать с понятия векторных линий; они явля­

ются просгейшими геомЕ>трически:ми характеристиками поля.

Е§1 Векторноii. .ttuнueiJ поля ii называется линия, касательная к ко­

торой в каждой ее точке М имеет направление соотве гствующего

ей вектора ii{M).

Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический

смысл. Например, в поле скоростей текущей жидкое1·и векторными ли­

ниями будут линии, по которым движутся частицы жидкости {линии тока), для магнитного поля век1орными (силовыми) линиями будут

линии, выходящиЕ:' из севЕ>рного полюса и оканчивающиЕ>ся в южном.

Совокупность всех векторных линий поля, проходящих ЧЕ'ре·:1 не­ которую замкнутую кривую, называе 1ся векторной трубкой.

Изучение век горного поля обычно начинают с изучения располо­ жения Е'ГО векторных линий. Векторные линии поля

клинии PQ в точке М (см. рис. 270).

Всилу коллинеарности векторов ii и dr следует пропорциональ-

ность их проекций, т. е. равенства (71.2). •

Пример 71.1. Найти векторные линии поля линейных скоростей

тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью i:J вокруг оси Oz.

Q Решение: Это поле определено вектором V = -wyi + wxJ (см. при­

мер 69.2). Согласно (71.2), имеем:

506

Интегрируя, получим: {Хz 2=+с2,у2 = С1, т. е. векторные линии данного

поля представляют собой окружности с центрами на оси Оz, лежащие

71.2. Поток поля

Пусть векторное поле образовано вектором (71.1). Для наглядно­ сти будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидко­

сти, движущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность

S находится в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество жидкости протекает через поверхность S.

Выберем определенную сторону поверх-

площадку плоской, а вектор а постоянным

по модулю и одинаково направленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу времени через S, протекает количество жидкости, прибли­ женно равное К,~ Н, ·ЛS,, где ЛS, - площадь z-й площадки, Н, -

высота ~-го цилиндра с образующей ii(Nf,). Но Н, является проекцией вектора ii(M,) на нормаль n,: Н, = прп,а(М,) = ii(M,) · fi" где n, -

единичный вектор нормали к поверхности в точке М,. Следовательно, общее количество жидкости, протекающее через всю поверхность S за

единицу времени, найдем, вычислив сумму

n

к~ L ii(M,) . п•.лs..

•=1

Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв

предел найденной суммы при неограниченном увеличении числа эле­

ментарных площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров d,

площадок):

507

Независимо от физического смысла поля а(М) полученный инте­

грал называют потоком векторного поля.

~Потоком вектора а через поверхность S называется инте­

грал по поверхности от скалярного произведения вектора поля на

единичный вектор нормали к поверхности, т. е.

ренциа.11 (элемент) площади поверхности.

Иногда формулу (71.3) записывают в виде

к=Jfads, s

где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем jdsi = ds.

Так как n = (cosa;cos,В;cos')'), а= (P;Q;R), где Р = P(x;y;z), Q = Q(x; у; z), R = R(x; у; z) - проекции вектора а на соответствующие координатные оси, то поток (71.3) вектора а, можно записать в виде

К= jj(Pcosa+Qcosf3+Rcos')')ds. s

Используя взаимосвязь поверхностных интегралов 1 и 11 рода (см.

Jil Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Вели­

чина К равна объему жидкости, которая протекает через поверх­

ность S за единицу времени. В этом состоит физический смысл потока

(независимо от физического смысла поля).

Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута

и ограничивает некоторый объем V. Тогда поток вектора записывается

В этом случае за направление вектора n обычно берут направление внешней нормали и говорят о потоке изнутри поверхности S

(см. рис. 272).

508

Если векторное поле а = а(М) есть поле скоростей текущей жидко­

сти, то величина потока К через замкнутую поверхность дает разность

между количеством жидкости, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу времени (в точках поверхности S, где

векторные линии выходят из объема V, внешняя нормаль образует с

вектором а острый угол и а · n > О; в точках, где векторные линии

входят в объем, а· n < О).

При этом если К > О, то из области V вытекает больше жидкости, чем в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополни­

тельные uсточнuкu.

Если К < О, то внутри области V имеются стоки, поглощающие

избыток жидкости.

Можно сказать, что источники - точки, откуда векторные линии

начинаются, а стоки - точки, где векторные линии кончаются. Так, в

электростатическом поле источником является положительный заряд,

стоком - отрицательный заряд магнита (см. рис. 273).

Если К = О, то из области V вытекает столько же жидкости,

сколько в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников, ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно

компенсируется.

верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоско­

сти Зх + 6у - 2z - 6 =О с координатными плоскостями (см. рис. 274).

О Решение: Поток найдем методом проектирования на три координат­ ные плоскости. Для этого воспользуемся формулой (71.5). В нашем случае Р = z, Q = -х, R =у. Имеем:

К= JJzdydz - xdxdz + ydxdy. s

509