pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k
.pdfЕсли
же
понимать
функцию
/(t)
как
/(t)
=
{t |
-1 |
О |
|
при при
t~
t <
1, 1,
т. е. |
f(t) |
= (t |
запаздывания, |
||
|
f(t) |
|
- 1) · l(t находим
- |
1) |
/(t) |
|
|
f(t) |
(см. |
|
= (t |
- |
рис. 306,
1) ·l(t ..:_
б), |
то, |
используя свойство |
||||
1) |
::§:: |
~ |
• е-Р = |
F(p). |
8 |
|
|
|
р |
|
|
|
|
f(t) |
|
|
|
|
|
|
о -1
о
а
Рис. |
306 |
1 б
1--- |
|
о |
3 |
|
Рис. 307 |
При.мер
78.
7.
Найти изображение функции
f (t) = |
{ |
о |
при t <о, |
|
|
1 |
при О ~ t |
~ 3, |
|||
|
|||||
|
|
О |
при t > 3. |
|
О Решение: Данная функция описывает единичный рис. 307), который можно рассматривать как разность
импульс |
(см. |
двух оригина |
|
лов: единичной функции l(t) и обобщенной единичной
Поэтому f(t) = l(t) - l(t - 3) ::§:: ~ - ~ • е-зр = F(p).
функции
l(t-3). 8
Прu.м.ер |
78.8. |
Найти |
изображение |
|||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
{~ |
при t < |
О, |
t ~ 4, |
|
f(t) |
= |
при О~ t |
~ 2, |
|||
|
|
|
4-t |
при 2 < t |
< 4. |
|
f(t) 2
о
2
4
О Решение: Функция-оригинал |
изобра |
|
|
Рис. 308 |
жена на рис. 308. Запишем ее одним ана |
|
|
||
|
|
|
||
литическим выражением, используя функции Хевисайда 1 (t) и |
||||
f(t) = t · l(t) - t. l(t - 2) + (4 |
- t). l(t - |
2) - |
(4 - |
t). l(t - |
1 (t 4),
-
r):
т.е.
f(t)
= t
·
l(t)
-
(t-
2
+
2)
·
l(t
-
2)
- |
(t - |
2 - |
2)
·
l(t
-
2)
+
(t
-
4)
·
l{t
- |
4). |
580
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
f(t) = t. l(t) - 2(t - 2). l(t - |
2) + (t - |
4}. l(t - 4). |
|
||||
Изображение функции f(t) будет равно |
|
|
|
|
|||
. |
1 |
1 |
е-2Р + |
1 |
е-4Р |
= F(p). |
• |
f(t) ::;= |
2 - 2 · |
р2 |
р2 |
||||
|
р |
|
|
|
|||
Замечтшя.
1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т,
|
|
|
т |
|
|
|
|
есть F(p) = |
1-Тр Jf (t)e-pt dt. |
|
|
|
|||
1-е |
о |
|
|
т |
|
||
2. Свойство опережения /(t + т) ~ ерт( F(p) - Jf(t)гPtdt) при- |
|||||||
меняется значительно реже. |
|
о |
|
||||
Дифференцирование ориrинала |
|
|
|
||||
li\ &ли f(t) |
~ F(p) и функции f'(t}, f"(t), .. ., f(n)(t) |
являются ори- |
|||||
гиналами, то |
|
|
|
|
|
||
/1(t) |
~ р · F(p) - |
/(О}, |
|
|
(78.11} |
||
f"(t) |
~ р2 • F(p) - |
р ·/(О) - |
/'(О), |
{78.12} |
|||
f"'(t} |
~ р3 • F(p} - |
р2 ·!(О) - |
р ·/'(О} - /"(О}, |
(78.13} |
|||
|
..... "" .... " ....... " .... "' |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(78.14} |
Q По определению изображения находим |
|
||||||
f'(t) = Joo J'(t) |
е |
-ptdt = [и= e-pt |
|
1du = -pe-Ptdt] = |
|||
· |
|
|
dv = f'(t}dt |
v = /(t} |
|
||
о |
|
|
= J(t}f~-pt1:+р f00 |
|
|
||
|
|
|
f(t)e-pt dt = - j(O) + pF(p). |
||||
о
Итак, f'(t) ~ p·F(p)- /(О). Пользуясь полученным результатом, найдем
изображение второй производной f"(t):
J"(t) = (f'(t))' ~ р(р · F(p) - /(О)) - J'(O) = р2 • F(p) - р ·/(О) - /'(О}.
Аналогично найдем изображение третьей производной f"'(t):
f 111 (t) ~ р(р2 • F(p) - р. /(О} - i'co)) - /"(О} =
= р3 . F(p) - р2 ·/(О} - р · f'(O) - J"(O).
Применяя формулу (78.11} (п - 1) раз, получим формулу (78.14). 8
581
Заме'Чание. Формулы (78.11)-(78.14) просто выглядят при нулевых
начальных условиях: если f(O) |
= О, то f'(t) |
~ р ·F(p); |
если f(O) = |
||
= /'(О) = О, то |
f"(t) |
Ф р2 · F(p), и, наконец, |
если f(O) |
= f'(O) = ... |
|
... = j(n-l)(O) |
= О, |
то f(n)(t) |
ф pn · F(p), т. е. дифференцированию |
||
оригинала соответствует умножение его из,ображения на р.
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со
свойством линейности широко используется при решении линейных
дифференциальных уравнений.
При.мер 78.9. Найти изображение выражения
x111 (t) - |
2x"(t) - |
3x'(t) + 2x(t) + 2, |
|
|||
если х(О) = 3, х'(О) =О, х"(О) = -2. |
|
|
|
|||
Q Решение: Пусть x(t) |
Ф |
Х(р) |
= |
Х. Тогда, согласно форму |
||
лам (78.11)-(78.13), имеем |
|
|
|
|
|
|
x'(t) фр· Х - |
3, |
|
|
|
||
x"(t) ф р2 • Х - |
р · 3 - |
О, |
|
|||
х111 ( t) ~ р3 |
· Х - |
р2 |
• 3 - |
р · О + 2, |
|
|
2=2·1 =-. |
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
'р |
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
x111 (t) - 2x"(t) - Зх'(t) + 2x(t) + 2 ~ |
|
|
|
|||
~ р3 · Х - Зр2 + 2 - 2(р2 · Х - Зр) - 3(р· Х - 3) + 2Х + ~. |
8 |
|||||
|
|
|
|
|
р |
|
Дифференцирование изображении |
|
|
|
|||
li! Если f(t) ~ F(p), то |
|
|
|
|
|
|
F'(p) |
Ф -t ·f(t), |
|
|
|||
F"(p) ~ (-1)2 |
• t 2 |
• f(t), |
|
|||
............ ' p(n)(p) ~ (-l)n. tn. J(t),
............ '
т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его
оригинала на (-t).
Q Согласно теореме 78.1 существования изображения, F(p) является
аналитической функцией в полуплоскости Re р = s > s0 • Следователь но, у нее существует проиЗводная любого порядка. Дифференцируя ин
теграл (78.1) по параметру р (обоснование законности этой операции
582
опустим), получим
00 |
00 |
= / |
f(t)·(-t)e-ptdt= / (-t·f(t))e-ptdtф-t·f(t), |
оо
т. е. F'(p) ф -t ·/(t). Тогда F"(p) = (F'(p))' ф -t(-t · f(t)) = t2 • /(t),
F"'(p) ф -t(t2 · /(t)) = -t3 · /(t) и вообще p(n)(p) ф (-l)'i·tn · f(t). 8
Пример 78.10. Найти изображения функций tn (п Е N), eat · tn,
t · sin wt, t · cos wt, t · sh wt, t · ch wt, eat · t ·sin wt, eat · t · cos wt.
Q Решение: Так как 1 ф ~, то, в силу свойства дифференцирования
изображения, имеем -t ·1 ф - ~, т. е.
р
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t=;= |
2· |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
Далее находим -t2 |
ф (~)' = -!, т. е. t 2 ф ~· Продолжая диффе- |
|||||||||||
|
|
р |
|
|
р |
|
|
р |
|
|
р |
|
ренцирование, получим |
|
|
n . |
|
п! |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t |
|
::;= |
n+l · |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
С учетом свойства смещения получаем |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
е |
at |
n |
|
· |
( |
n! |
|
|
|
|
|
|
|
. t |
::;= |
)n+l. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р-а |
|
|
|
Согласно формуле (78.5), sinwt Ф |
|
w |
|
. Следовательно, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
р2 + (.V |
2 |
|
|
|
|
|
|
р2 |
w |
2 |
) |
1 |
ф -tsinwt, |
|
|||
|
|
( |
+u.1 |
|
р |
|
|
|
|
|||
2wp |
_,_ |
t . |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
Т. е. - (р2 + (.V 2)2 |
..,... - |
SШUJ |
, |
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
. |
|
2wp |
|
(78.15) |
|
|
|
t sш wt ::;= |
(р2 +w2 ) 2 . |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
Аналогично, используя формулы (78.6), |
(78.7) и (78.8), находим |
|
||||||||||
•р2 - (.V2
tcoswt=;= |
(p2 |
+r...12 ) 2 , |
(78.16) |
. |
|
2pw |
|
tshwt ::;= |
(р2 |
- (J)2 ) 2 , |
|
. |
Р2 +w2 |
|
|
t ch wt ::;= |
(р2 |
_ l.JJ 2 ) 2 . |
|
583
С учетом свойства смещения и формул (78.15) и (78.16), получаем |
|
||||
at |
• |
• |
2'..!(р - а) |
|
|
е |
· t · sшwt ::;= |
((р- а)2 + w2 ) 2 |
, |
|
|
at |
t |
t . |
(р - а)~, - w2 |
|
• |
е |
· ·cosw ::;= |
((р-а) 2 +w2 ) 2 |
· |
||
Интегрирование оригинала |
|
|
|
|
|
liJ Если J(t) ~ F(p), |
t |
|
|
|
|
то Jf(т)dт ~ F~), т. е. интегрированию ори |
|||||
о
гинала от О до t соответствует деление его изображения на р.
t
О Функция ер(t) = Jf (т)dт является оригиналом (можно проверить).
о
Пусть cp(t) ~ Ф(р). Тогда по свойству дифференцирования оригинала
имеем
ер'(t) ~ р ·Ф(р) - ср(О) = р ·Ф(р)
(так как ср(О) =О). А так как
cp'(t) = (if(т)dт):= f(t),
то F(p) = р· Ф(р). Оrсюда Ф(р) |
t |
|
• |
= flcl, т. е. Jf(т)dт ~ !JJ!l. |
|||
|
р |
р |
|
|
о |
|
|
Интегрирование изображения |
|
|
|
Если J(t) ~ F(p) и интеграл CXJ F(p) dp сходится, то |
CXJ F(p) dp ~ |
||
рр
~f~t), т. е. интегрированию изображения от р до оо соответствует
деление его оригинала на t.
Q Используя формулу (78.1) и изменяя порядок интегрирования (об
основание законности этой операции опускаем), получаем
1F(p) dp = 1(1J(t)e-pt dt) dp = |
1(1e-pt dp) f(t) dt = |
|
р |
р о |
о р |
|
= f (-1e-ptl~)J(t)dt= 1f~t)e_Ptdt~ f~t)_ 8 |
|
|
о |
о |
584
Прuмер 78.11. Найти изображение функции si~t; найти изобра
жение интегрального синуса jt |
si~т dт. |
|
|
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
О Решение: Так какsin t Ф р2 ~ 1 , то si~t |
Ф Jр2 ~ 1 dp = ~-arctgp, |
||||||
|
|
|
|
|
|
р |
|
т. е. si~t ф ~ - |
arctgp = arcctgp. Применяя свойство интегрирования |
||||||
|
|
|
t |
|
|
|
• |
|
|
|
о |
|
|
|
|
оригинала |
, |
получаем Jsin т dт |
::::: |
.1L _ arctg Р. |
|
||
|
|
т |
. |
2р |
р |
|
|
Умножение изображений |
|
|
|
|
|||
Если fi(t) |
Ф F1(p), f2(t) Ф F2(p), то |
|
|
||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
F1(p) · F2(p) Ф Jf1(т) · f2(t - т) dт. |
(78.17) |
|||
о
t
Q Можно показать, что функция/ / 1 (т) · f2(t - т) dт является ориги
о
налом.
Используя преобразование Лапласа (78.1), можно записать
i f~(т)·/2(t-т)dтф l(i f1(т)·f2(t-т)dт)e-ptdt=
о |
о |
о |
|
|
00 |
t |
|
= |
Je-pt dt |
Jfi(т) · f2(t - т) dт. |
т |
оо
Область D интегрирования полученного дву
кратного интеграла определяется условиями О ~ t < |
t |
|
< оо, О~ т ~ t |
(см. рис. 309). |
|
Изменяя |
порядок интегрирования и полагая |
Рис. 309 |
t - т = ti, получим
t 00 00
J/1(т)·f2(t-т)dтф Jfi(т~dт Je-pt·f2(t-т)dt=
оо т
00 |
00 |
|
Jf~(т)е-рт dт |
Jf2(t1)e-pt 1 dt1 = F1(p) · F2(p). |
• |
оо
585
~Интеграл в правой части формулы (78.17) называется сверткой
фуккцuu /1(t) и / 2(t) и обозначается символом fi(t) * /2(t), т. е.
fi (t) *f2(t) = jt !1 (т) · f2(t - т)dт.
о
Можно убедиться (положив t - т = и), что свертывание обладает
свойством переместительности, т. е. f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t).
Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.
При.мер 78.12. Найти оригинал функций
F(p) = |
|
1 |
|
и |
F(p) = |
|
р |
|
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
2)2 · |
|
|
|||||||
|
(p+UJ) |
|
|
|
|
|
(p+UJ |
|
|
|
|
|
|||
Q Решение: Так как F(p) = ( |
2 |
1 |
2) · ( |
2 |
1 |
|
2), и |
|
|
2 |
1 |
2 |
:ф l .sinwt, |
||
|
|
р |
|
+w |
р |
|
+w |
|
р |
|
+UJ |
|
w |
||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(p) :ф / - · sinwт · - · sinw(t - т) dт = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
w |
(JJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о
1t
=-2w2 · j(cosw(2т - t) - cosUJt) dт =
о
= 2~2 (2~ · sinw(2т- |
t)I: -cosUJt · тl:) = |
|||||||||
= |
1(1 . |
|
tcoswt |
) |
1( . |
|||||
- 2 |
-SШUJt - |
|
= - 3 SШUJt - |
|||||||
|
2UJ |
UJ |
|
|
|
|
|
|
2UJ |
|
т. е. |
1 |
|
|
|
:ф - 1 |
(s.шwt - |
wt · coswt), |
|||
|
|
) |
|
|||||||
(р2 + UJ 2 |
|
2 |
2UJ3 |
|
|
|
|
|||
Аналогично получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
. |
1 |
t . |
||
|
(р2 +w2)2 |
::;= 2UJ |
. . sщwt. |
|||||||
UJt. COSUJt),
•
Следствие 78.2. Если fi *f2 :ф F1(P) ·F2(p) и /{(t) также является
оригиналом, то
t |
|
р· F1 (р) ·F2(p) Ф JJ{(т) · f2(t - т) dт + fi (О) · f2(t). |
(78.18) |
о
586
Q Запишем произведение р · F1 (р) · F2 (р) |
в виде |
р · F1(p) · F2(p) = р · F1(p) · F2(p) - fi(O) · F2(p) + fi(O) · F2(p), |
|
или |
|
р · F1 (р) · F2(P) = (р · F1 (р) - /i (О)) |
· F2(p) + f1 (О)· F2(p). |
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот
ветствующих оригиналам f{ (t) (!{ (t) =i= p·F1 (р)- fi (О)) и f2(t). Поэтому
на основании свойства умножения изображений и линейности можно
записать р · F1 (р) · F2(p) =i= f{ (t) * f2(t) + fi (О)· f2(t) или
t |
|
p·F1(p)·F2(p) =i= JJ~(т)·f2(t-т)dт+fi(O)·f2(t). |
• |
о
~Формула (78.18) называется форму.л,оii, Дюа.м.еJtS&.
На основании свойства переместительности свертки формулу Дю
амеля можно записать в виде
t
p·F1(p)·F2(p)=i= j f2(т)·f{(t-т)dт+f2(t)·f1(0).
о
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по известным изображениям.
Пример 78.13. Найти оригинал, соответствующий изображению
2р2
F(p) = (р2 + 1)2.
О Решение: Так как
2р2 |
1 |
р |
и |
1 |
. . t |
, |
|
р . |
t |
, |
|
(р2 + 1)2 = 2р. р2 + 1 . р2 + 1 |
- 2 -- |
=:= sш |
|
- 2 -- :::;= cos |
|
||||||
|
р + 1 |
|
|
|
р |
+ 1 |
|
|
|||
то на основании формулы Дюамеля (78.18) имеем |
|
|
|
|
|
||||||
2р· - 2-- · +-- ~ 2 Jcos т · cos(t - т) dт + О = t · cos t + sin t. |
|
8 |
|||||||||
1 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p+l p+l |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение ориrиналов |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
-y+ioo |
|
|
||||
Если fi(t) =i= F1(p) и f2(t) ~ F2(p), то |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
1'+ioo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fi(t) · f2(t) =i= - |
j |
F1(z) · F2(p- z)dz, |
|
|
|
|
|
|
|
||
27П |
')'-ioo |
• |
|
|
|
|
|
Во |
'У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где путь интегрирования - |
вертикальная пря- |
О |
|
ry-ioo |
|
8 |
|||||
мая Rez = 'У > so |
(см. рис. 310) |
(примем без |
|
|
|
Рис. 310 |
|
|
|||
доказательства). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
587
Резюме
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют
собой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для
удобства пользования перечислим эти свойства.
1. |
Линейность: с1 · fi(t) + с2 · f2(t) =€ = |
с1'<. Fi(p) + с2 · F2(p). |
|||
2. Подобие: J(>..t) ~ ±. F(x), л >о. |
|
|
|||
3. |
Смещение: eat · f(t) |
~ F(p - а). |
|
|
|
4. |
Запаздывание: f (t - |
т} ~ е-рт · F(p), т > О. |
|
||
5. Дифференцирование оригинала: |
|
|
|||
|
/'(t) Фр· F(p) - |
/(О}, |
|
|
|
|
J"(t) Ф р2 • F(p) - |
р ·f(O) - |
/'(О), |
|
|
|
f 111 (t) ~ р3 · F(p) - |
р2 ·/(О) - |
р · f'(O) |
- J"(O), |
|
6. Дифференцирование изображения |
|
|
|||
|
F'(p) ~ -t · j(t), |
|
|
||
|
F"(p) ~ (-1)2 ·t2 |
• f(t), |
|
||
|
|
|
t |
|
|
7. |
Интегрированиеоригинала: J/(т)dт ~ F~). |
||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
00 |
|
f~t). |
8. |
Интегрирование изображения: JF(p) dp =€= |
||||
|
|
|
р |
|
|
9. |
Умножение изображений: F1(p) · F2(p) ~ jt f1(т) · f2(t -т)dт = |
||||
= !1 * fz. |
|
|
о |
' |
|
|
|
|
|
1+ioo |
|
10. Умножениеоригиналов:f~(t)·/2(t) =€= 2~i |
J F1(z)·F2(p-z)dz. |
||||
")'-ioo
78.3. Таблица оригиналов и изображений
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие ме
жду некоторыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изображениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изобра
жений, позволяющая по заданному оригиналу находить изображение
и наоборот, есть, в частн~ти, в книге «Справочник по операционному
исчислению» (авторы В. А.Диткин и П. И. Кузнецов).
588
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
Таблица орuгuнадов u uзобра;нсенuii.
Оригинал |
Изображение |
|
00 |
f(t) |
F(p) = / f(t)e-pt dt |
|
о |
1
e"'t
t
sinu.Jt
COSUJt
shu.Jt
chu.Jt
e"'t · sin wt
e"'t · cos wt
e"'t · shwt
eat · ch wt
tn (п - целое)
eat. tn
t · sin wt
t ·COSl.Ut
t · shwt
t ·chc..Jt
e"'t · t ·sin wt
eat · t ·COS"'1t
2~з (sin ""t - wt сов"'1t)
2~3(u;t ch u;t - sh "'1t)
1
_J_
р-а
1
?
UJ
р2 + UJ2
р
р2 + IJJ2
UJ
р2 - (JJ2
р
р2 -и}
(J)
(р _ а)2 + w2
(р-рat-а+ w2
(р - а)2 - w2
р-а
(р _ а)2 _ c..J2
n!
pn+I
n!
(р- a)n+l
2u.Jp
(р2 + (J.)2i
~2 IJJ
сР +1.U2)2
2u.Jp
(р2 - (J.)2i
~2 + (,)
(Р - ,"})2
2"'1(р- а}
+ ""2/ (р - а)2 - ""
((р _ а)2 + w2)2
1
(р2 + w2)2
1
(р2 _ w2)2
589