pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

Триrонометрические функции

Тригонометрические функции комплексного аргумента z = х + iy

При действительных z эти определения приводят к тригонометриче­

ским функциям действительного переменного. Так, при z = х (у= О)

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраня­

ют многие свойства тригонометрических функций действительного пе­ ременного. В частности,

sin2 z + cos2 z = 1, sin 2z = 2 sin z cos z,

cos(z1 + z2) =cosz1 cosz2 - sinz1 sinz2, sin(z + 211') = sin z,

cos(-z) = cos z,

sin(-z) = - sin z, tg(z + 11') = tgz,

71'

cosz =О при z = '2+ k11' (k = 0,±1,±2, ...),

2tgz tg2z = 1 - tg2 z ,

sin(z + ~) = cosz,

530

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометриче­

скими функциями. Заменяя н указанных функциях z на iz, получим:

shiz =isinz, или sinz = -ishiz, chiz = cosz

(а также tgiz = itgz, ctgiz = -ictgz).

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул,

связывающих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле sin2 z + cos2 z = 1 тригонометрические функции гиперболическими, по-

лучим

(-i sh iz) 2 + (ch iz) 2 = l,

или -sh2 iz+ch2iz = 1. Так как здесь z -любое комплексное "!исло, то iz можно заменить на z; получим формулу ch2 z - sh2 z = 1. Приведем

еще ряд формул:

и т.д.

Из опредЕ>ления гиперболических функций следует, что функции sh z и ch z периодические с периодом 27ri; функции th z и cth z имеют

период 7ri.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции

§Число w называется арксинусом числа z, если sin w = z, и обо­ значается w = Arcsin z.

Используя определение синуса, имеем z = sin w = еiw 2.ie -iw , или

e2iw_2izeiw_1 =О. Отсюдае~w = iz+J(iz)2 +1, т. е. eiw = iz+../f=Z2

(перед корнем можно не писать знак ±, так как ..;г=-zz имеет два

531

значения). Тогда iw = Ln(iz + vг=-i2), или w = tLn(iz + v'l - z 2 ).

Таким образом,

w = Arcsin z = -i Ln{iz + ~).

Функция w = Arcsin z многозначна (беск(')Нечнозначна). Аналогично

определяются другие обратные тригонометрические функции. Можно

показать, что

Arccosz = -i Ln(z + vГz2=1),

Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно w = Arshz (ареасинус), w = Archz (ареакосинус), w = Arthz (ареа­ тангенс), w = Arcthz (ареакотангенс).

Обратные гиперболически~:> функции имею1 следующие выраже-

Все эти функции бесконечнозначны.

74.4.Дифференцирование функции комплексного

переменного. Условия Эйлера-Даламбера

Пусть однозначная функция w = f (z) определена в некоторой

окрестности точки z, включая и саму точку. Тогда предел

если он существует, называется npouaвoiJн.oit функции f(z) в точке z, а функция f(z) называется дuфферен.цируемоit в

mо'Чке z.

Подчеркнем, что в равенстве (74.4) дz любым

образом стремится к нулю, т. е. точка z + дz может приближаться к точке z по любому из бесконечного

множества различных направлений (см. рис. 283) (в

аналогичной ситуации для функции одного действи­

тельного 'переменного точка х + дх приближается к

Рис. 283 точке х лишь по двум направлениям: слева и справа).

532

Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z сле­

дует ее непрерывность в этой точке (отношение 1~ при дz --+ О мо­

жет стремиться к конечному пределу f'(z) лишь при условии, что и

дw--+ О). Обратное утверждение не имеет места.

лельной мнимой оси (оси Оу), то дz = iду--+ О, дх =О. В этом случае

533

а аз - бесконечно малая высшего порядка относительно lдzj. Отсюда

534

Правила дифференцирования функций действительного перемен­ ного справедливы и для функций комплексного переменного, диффе­

ренцируемых в точке z. Это означает, что если fi(z) и f 2(z) дифферен­

цируемы в некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следу­

ющее:

4. Если ip(z) диффер('нцируема в ·1uчке z, а!(w) дифференцируема

в rочке w = ip(z), то (f(ip(z)))' = f~(ip) · ip~(z).

5. Если в некоторой TO'JK(' z функция f (z) диффрренцирусма и

обратная функции f (z).

liJ Приведем без доказательства теорему о дифференцuруемо-

стu основных элементарных фyнкv,uii. комплексного пе­ ременного: функции w = ez, w = sinz, w = cosz, w = shz, w = chz,

(п Е N) дифференцируемы в любой точке комплексной плос­

окрестности каждой точки z =/:- О можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируемой в точке z функцией.

74.5. Аналитическая функция. Дифференциал

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного пе­ ременного является понятие аналитической функции.

~Однозначная функция f(z) называется аналитuческоii. (голоморфной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены

условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки.

Функция f(z) называется aнaлumuчecкoii. в области D, если она

дифференцируема в каждой точке z Е D.

Как видно из э1ого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке

(первое условие - более сильное).

535

~Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) анали­

тична, называются nравU.11.ьными точками f(z). Точки, в кото­

рых функция f(z) не является аналитической, называются особыми

Тогда приращение функции можно записать так: дw = f'(z)дz + а:дz. Если f'(z) "1 О, то первое слагаемое f'(z)Лz является при дz -+ О

бесконечно малой того же порядка, что и дz; второе слагаемое о:дz

есть бесконечно малая более высокого порядка, чем дz. Следователь­

но, пЕ>рвое слагаемое составляет главную часть приращения функции

w = /(z).

дифференциа.па функции к дифференциалу независимого перемЕ>нного.

Заме'Чание. Если функция f(z) = u(.z:, у) + iv(x; у) ана.питична н некоторой области D, то функции и(х;у) и v(x;y) удовлетворяют диф-

а21.Р а2~

ференциальному уравнению Лапласа (а?"+ ау· =О, см. п. 72.2).

Q Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Далам­

Функции и(х; у) и v(x; у) являются гармонu'Ческими функциями.

Пример 7,4.З. Проверить, является ли функция w = z 2 аналити­

ческой. Найти ее производную.

О Решение: Находим действительную Re w = и и мнимую Im w = v

части функции:

536

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция w = z2 дифференцируема, следовательно, аналитична во

всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из фор­

мул (74.6), например по первой:

т. е. (z2 )' = 2z.

Заметим, что производную функции ш = z2 можно найти, восполь­

зовавшись определением производной (74.4):

О Решение. Отметим, что функция и является гармонической функ-

у, находим:

v = j ~~ dy = j (3х2 - Зу2)dy = 3х2у - у3 + ip(x).

Для определения функции rp(x) воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как

то -6ху = -(бху + rp'(x)). Отсюда rp'(x) =О и rp(x) =С, где С== const.

Поэтому v == 3х2у -у3 +С. Находим функцию w =и+ iv:

w = и + iv = х3 - 3ху2 + 2 + i(3x2 y - уз +С) =

= х3 +~3а:2у-Зху2 -~уз +2 +Ci = (x+iy) 3 +2 +iC = z 3 +2 +iC. 8

537

74.б. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Понятие о конформном отображении

Пусть функция w = f(z) аналитична в.. точке zo и f'(zo) f:. О. Вы­

ясним геометрический смысл аргумента и модуля производной.

Функция w = f(z) отображает точку z0 плоскости z в точку wo = f (zo) плоскости w.

Пусть произвольная точка z = zo + дz из окрестности точки zo

перемещается к точке z0 по некоторой непрерывной кривой l. Тогда в

плоскости w соответствующая точка w = wo +дw будет перемещаться

к точке wo по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой l в плоскости w (рис. 285).

у

х и

Рис. 285

lf'(zo)I есть предел отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками wo и w0 + дw к бесконечно малому рассто­ янию между точками z0 и zo + дz. Этот предел не1 зависит (J(z) ана­

литична в точке z0 ) от выбора кривой l, проходящей через точку z0 .

одинаков во всех направлениях.

~Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: ве-

личина IJ'(zo)Iопределяет коэффициент растяжения (подобия) в

точке zo при отображении w = f(z). Величину lf'(zo)Iназывают коэф­ фuчuентом расm..я;нсенuя, если !f'(zo)I> 1, или коэффициентом с:нсатu.я, если lf'(zo)I< 1.

Пример 74.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для

функции w = !z2 в точке zo = 3 - 4i.

538

на который нужно повернуть касательную к кривой l в точке zo для того, чтобы получить направление касательной к кривой L в точке w0 .

Другими словами, argf'(z0 ) - это угол между отображенным и пер­

воначальным направлениями касательных к кривым l и L в точках z0 и ш0 соответственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента

производной arg f'(zo).

В силу аналитичности функции f(z) в точке z0 (мы предположи­ ли, что f(zo) -::f. О) угол arg f'(z0 ) один и тот же для всех кривых, про­

ходящих через точку zo. Для другой пары кривых l 1 и Ll в тех же

точках zo и wo будем иметь argf'(z0 ) =а:~ - а:~ = 'Р· Таким образом, argf'(zo) = а:2-а1 = а~-а:~, т.е. если кривые l и 11 образуют в точке zo

на плоскости z угол <р = arg f'(zo), то такой же угол 'Р = argf'(zo) будут

образовывать в точке wo кривые L и L 1 , являющиеся отображениями

:/'о

Рис. 286

Это свойство отображения w = f (z) называется сво11ством сохра­ нения (консерватизма) уг.лов в точке z0 .

~Отображение w = f(z), обладающее свойством сохранения углов и постоянством растяжений в точке zo, называется конформным

539