pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k
.pdf(т. е. отображением, сохраняющим форму). Если при этом сохраня
ется и направление отсчета углов, то такое отображение называется конфор.м.н'ЫМ отобра;нсением 1-го рода; если направление отсчета
углов изменяется на противоположное - |
конформным оmобра;нсе |
нием 2-го рода. |
|
liJ Таким образом, если функция f(z) |
является аналитической в не |
которой точке z0 комплексной плоскости z и в этой точке ее про
изводная отлична от нуля, то отображение w = f(z) конформно в этой
точке
Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если
оно конформно в каждой точкР этой области.
\il
отображение конформно в D; если отображение w = f(z) конформно в области D, то функция w = f(z) ана.пигична в D и во ВС'ех точках этой области f'(z) =/;О.
Пример 14.в. Выяснить геометрическую картину отображения, осуществляемого функцией w = 2z.
О Решение. Отображение ш = 2z конформно во всех точках плоскости z, т.к. w' = 2 f:. О.
Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так как arg w' = arg 2 = О, то направление при отображении не меняется.
Таким образом, отображение w = 2z есть преобразование гомотетии с
центром в нулевой точке (w =О при z =О) и коэффициентом гомоте
тии, равным 2. |
8 |
§ 75. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
75.1. Определение, свойства и правила в'ычисления
интеграла
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в
точке zo и концом в точке Z определена непрерывная функция /(z). Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении
от zo к z точками z1, z2, ... , Zn-1 (см. рис. 287) |
|
В каждой «элементарной дуге» ~ (k = |
1, 2, ... , п) выберем |
|
n |
произвольную точку Ck и составим интегральную сумму 2: f(Ck)дzk, |
|
где дzk = Zk - Zk-1 · |
k=l |
~Предел такой интегральной суммы при стремлении к нулю длины наибольшей из элементарных дуг, если он существует, называется
540
у
Yk
Yk--1
zo
z
|
|
о |
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 287 |
|
интегралом от функции f( z) |
по кpuвoii. (по контуру) L и обозна |
||||
чается символом j f(z) dz. |
|
|
|
||
|
|
[, |
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(75.1) |
|
|
Покажем, что если L - |
гладкая кривая, а f(z) - |
непрерывная и |
|
однозначная функция, то интеrрал (75.1) существует. |
= х + iy, ck = |
||||
|
|
Действительно, пусть f{z) |
= и(х; у) + iv(x; у), z |
||
= Xk + iyk. Тогда |
|
|
|
||
|
|
f(Ck) = и(хk; Yk) + iv(xk; Yk), |
|
||
|
|
Лzk = (xk + iyk) - |
(xk-1 + iyk-1) = Лхk + iЛyk. |
||
Поэтому |
|
|
|
||
n |
|
n |
|
|
|
Lf(Ck)дz1,: = L(и(XkiYk) + zv(xkiYk)) · (дхk +iдyk) = |
|||||
k=I |
k=l |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
= |
L(и(XkiYk)Лxk -v(xk; У,,,)Луk) +i L(v(xk; У,,,)Лхk +и(хk; Yk)Лyk)· |
||||
|
k=l |
|
k=l |
|
|
Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства,
являются интегральными суммами для соответствующих криволиней
ных интегралов (см. п. 56.1).
При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пре делы этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в по следнем равенстве) при max IЛzkl--+ О получим:
Jf(z)dz= j udx-vdy+i j vdx+udy. |
(75.2) |
||
L |
L |
L |
|
541
Формула (75.2) показывает, что вычисление интеграла от функции
комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных ин
тегралов от действительных функций действительных переменных.
Формулу (75.2) можно записать в удобном для запоминания виде:
Jf(z) dz = J(и+ iv)(dx + i dy). |
(75.3) |
||
L |
L |
|
|
~ Если х = x(t), у= y(t), где ti ~ t ~ t2 - |
параметрические уравне |
||
ния кривой L, то z = z(t) |
= x(t) +iy(t) |
называют комnл.ексны.м. |
|
nараметрическu.м уравнением кривой L; формула (75.3) преобра зуется в формулу
|
t2 |
|
Jf(z) dz = Jf(z(t))z'(t) dt. |
(75.4) |
|
L |
t1 |
|
Q Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой
функцией, получаем
|
|
t2 |
|
|
|
Jf(z) dz = J(и+ iv)(dx + i dy) = J(и+ iv)(x~ + iy~) dt = |
|
||||
L |
L |
ti |
jt2 |
f (z(t) )z'(t) dt. |
8 |
|
|
|
t1 |
|
|
Приведем основные своtJ.ства интеграла от функции комплексного |
|||||
переменного. |
|
|
|
|
|
1. |
j dz = z - zo. |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
Q Е дzk = дz1 +.. .+Лzn = Z1 -zo+z2-z1 +.. .+zп-Zn-1 = z-zo. |
8 |
||||
k=1 |
|
/2(z)) dz = Jfi(z) dz ± |
|
|
|
2. |
j (!1(z) ± |
j f2(z) dz. |
|
||
|
L |
L |
L |
|
|
3. |
Ja/(z) dz =а Jf(z) dz, а - комплексное число. |
|
|||
|
L |
L |
|
|
|
4. |
j f(z) dz |
= - j f(z) dz, т. е. при перемене направления пути |
|||
|
L |
L- |
|
|
|
интегрирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в
других обозначениях крmюй: j = - J).
АВ ВА
542
5. Jf(z) dz = Jf(z) dz+ Jf(z) dz, где L = Li +L2, т. е. интеграл
L |
Li |
L2 |
по всему пути L равен сумме интегралов по его частям L 1 и L2. |
||
6. Оценка модуля интеграла. Если /f(z)/ ~ М во всех точках кри |
||
вой L, то// f(z)dz/ |
~ Ml, гдеl - длинакривой L. |
|
L
а Действительно,
n
где 2: /дzk/ - длина ломаной zoz1z2 ... Zn, вписанной в кривую L. 8
k=1
Все приведенные свойства интеграла функции комплексного пере-
менного непосредственно вытекают из Pro определения (75.1) и пред ставления (75.2).
Пример 75.1. Вычислить
1 = JImzdz,
L |
L |
где L - полуокружность /z/ |
= 1, О ~ |
~ argz ~ 1Г (см. рис. 288). |
-1 |
Q Решение: Используя формулу (75.3), имеем:
у
x=cost, 1 { y=sint
~-.-~
о 1 х
Рис. 288
1= Jy(dx+idy)= Jydx+i Jydy=
L |
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= j |
~dx+i j JI - x 2 ;Ьdх= |
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
1 - |
х2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,-1 |
|
|
|
,-1 |
|
|
|
|
|
х |
г.----; |
1 |
|
|
|
|
) |
|
х2 |
|
1Г |
||||
|
|
= ('2у 1 - |
х2 + |
2' |
arcsin х |
|
1 -i 2 |
|
1 |
= - 2. |
|||||||
Используя формулу (75.4), имеем (z = cos t + i |
sin t): |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 = j sin t( - |
sin t + i cos t) dt = j -~(1 - |
|
cos 2t) dt + i |
j sin t cos t dt = |
|||||||||||||
о |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
• |
|
|
= ( |
1 |
1 . 2 |
t |
) \1Г |
. 1 . 2 |
t |
\1Г |
|
|
1Г |
|||||
|
|
--t+ -sш |
|
о |
+i-sш |
о |
= --. |
||||||||||
|
|
|
2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|||
543
75.2.Теорема Коши. Первообразная и неопределенный
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 75.1 (Коши). Если функция f (z) аналитична в односвяз
ной области D, то интеграл от этой функцИи по любому замкнутому
контуру L, лежащему в области D, равен нулю, т. е. / f(z)dz =О.
L
Q Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f' (z) (это упрощает доказательство). По формуле (75.2) имеем:
/ f(z)dz= / |
udx-vdy+i / vdx+udy. |
|
||
L |
/, |
|
L |
|
В силу аналитичности |
f(z) |
= и + iv и |
непрерывности |
f'(z) в одно |
связной области D, функции и = и(х; у) |
и v = v(x; у) |
непрерывны и |
||
дифференцируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера- |
||
Даламбера: t |
= д~~v) и g~ = g~. Эти условия означают равенство |
|
нулю интегралов /иdx - |
11 dy и / v dx +иdy (см. теорему 56.3). Сле- |
|
довательно, f |
L |
L |
f(z)dz = О. |
• |
|
L
Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной
области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область D, ограни ченную внешним контуром L и внутренними контурами L 1 и L2. Выбе рем положительное направление обхода контуров: при обходе область
D остается слева (см. рис. 289).
Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контурах L, L1 и
L2 ( т. е. в замкнутой области D; функция называется аналитической
взамкнутой области 75, если она аналитична в некоторой области,
содержащей внутри себя область D и ее границу L).
Проведя два разреза (две дуги) 11 и12 области D (см. рис. 289), по
лучим новую односнязную область D 1 , ограниченную замкнутым ори
ентированным контуром Г, состоящим из контуров L, Li, L2 и разрезов
')'1и'"f2:Г=L+1t + Li +-у:}:+ L2 + -У2 + '"ft· По теореме Коши для
односвязной области f f(z) dz =О, но
! =о,
'У{+"Yt +"'12 +'У)
544
т. к. каждый из разрезов (дуг) -у1 и 1'2 при интегрировании проходится
дважды в противоположных направлениях. Поэтому получаем:
j |
J(z)dz= f J(z)dz+ f J(z)dz+ f J(z)dz=O, |
||
Г |
L |
Li |
L2 |
т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области 75
функции J(z) по границе области D, проходимой в положительном на
правлении, равен нулю.
|
Рис. 289 |
|
|
Рис. 290 |
|
Заме-чаtше. Изменив направление обхода внутренних контуров L 1 |
|||||
и L2, будем иметь |
f |
J(z) dz = f |
J(z) dz + |
f |
J(z) dz, где все контуры |
|
L |
L, |
|
L2 |
|
(L, L 1 и L2 ) обходятся в одном направлении: против часовой стрелки
(или по часовой стрелке). В частности, если J(z) аналитична в двусвяз
ной области, ограниченной контурами L и l и на самих этих контурах |
||
(см. рис. 290), то f |
f(z) dz = f |
J(z) dz, т. е. «интеграл от функции f(z) |
L |
l |
|
по внешнему контуру L равен интегралу от функции f(z) по внутрен-
нему контуру l» (контуры L и l обходят в одном направлении).
Следствие 75.1. Если f(z) - аналитическаи функции в односвизной области D, то интеграл от нее не зависит от формы пути интегриро
вании, а зависит лишь от начальной точки z0 и конечной точки z пути
интегрировании.
О Действительно, пусть L1 |
и L 2 - две кривые в области D, соединя |
|||
ющие точки zo и z (рис. 291). |
|
|
||
ПотеоремеКоши f |
f(z)dz=O,т.e. JJ(z)dz+ J J(z)dz=O, |
|||
или J f(z)dz - |
L 1 +L2 |
Li |
L2 |
|
Jf(z)dz =О, откуда JJ(z)dz = |
JJ(z)dz. |
8 |
||
Li |
L2 |
Li |
L2 |
|
18 КонспектлекцнА по вьrсшеА мвтематих:е. Полный курс
545
В таких случаях, когда интеграл зависит только от начальной точ
ки и конечной точки пути интегрирования, пользуются обозначением |
|||
|
j f (z) dz |
= j |
z |
~Q, |
f (z) dz. Если здесь зафиксиро- |
||
L |
|
zo |
|
|
~ |
z |
|
|
вать точку z0 , |
а точ«у z изменять, то Jf(z) dz |
|
- L1 |
будет функцией от z. Обозначим эту функцию |
||
|
|
z |
|
Рис. 291 |
через F(z): F(z) = j f(z) dz. Можно доказать, |
||
zo
что если функция /(z) аналитична в односвязной области D, то функ
ция F(z) также аналитична в D, причем
F'(z) = ( j f(z) dz)' = f(z).
Zo
S Функция F(z) называется nервообразноil. для функции f (z) в области D, если F'(z) = f(z).
Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для f(z), то совокупность всех первообразных f(z) определяется формулой
F(z) +С, где С= const. |
|
S Совокупность всех первообразных функций f(z) называется не |
|
оnреiJеленн'ЬtМ интегралом от функции f(z) и обозначается |
|
символом j f(z) dz, т. е. |
|
г--j1-f-(-z)_d_z-=-F-(z_)_+_C_,-гд_e_F-(-z)_=_f_(_z)_,.1 |
|
|
1 |
|
z |
Пусть функция F(z) = j f(z) dz есть первообразнаяфункция для |
|
z |
zo |
f(z). Следовательно, j |
f(z) dz = F(z) +С. Положив здесь z = zo, по- |
zо
лучим О= F(zo) +С (контур замкнется, интеграл ра'вен нулю). Отсюда
С= -F(z0 ), а значит,
z
j f(z) dz = F(z) - F(zo).
zo
Полученная формула называется формулоii, Ньютона-Леii,бниv,а.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул
и методов, что и в действительном анализе.
i |
3 |
i |
Так, j е•dz = е•+С; / sinzdz = -cosz+C; j 3z2 dz = 3· zз |
1 = -i |
|
о |
|
0 |
|
|
|
и т.д.
546
Прuмер 75.2. Вычислить интегралы: а) j |
__rk___;б) j(z-z0 )ndz |
|
Z - Zo |
L |
L |
(п =j:. -1), где L есть окружность радиуса R с центром в точке z0 , обхо-
димая против часовой стрелки (см. рис. 292).
О Решение: |
а) Теорема |
Коши неприменима, |
т. к. |
|
функция - |
- |
не аналитична в точке z0 . Пара- |
||
|
1 |
|
|
|
Z - |
|
Zo |
окружности L есть |
х = |
метрические |
|
уравнения |
||
=хо+ Rcost, у= Уо + Rsint, где О:::; t:::; 2л. Следо-
вательно,
z = х + iy = х0 + Rcost + iy0 + iRsint =
=(хо+ iyo) + R(cost + isint)
У
уо -®
1
оХо х
Рис. 292
= z0 + R · eit.
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое урав
нение данной окружности есть z = z0 + R · eit, О :::; t :::; 21Т. Поэтому по
формуле (75.4) получим: |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
-dz |
|
2п i · R · eit |
71" |
dt = 21Тi. |
|
|||||
|
f -- = |
! |
it |
dt = i ! |
|
|||||||
|
z-zo |
|
|
R·e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
О |
|
О |
|
|
|
|
|
|
6) При п =j:. -1 имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
j(z-zo)ndz= |
j271" (R·eit)nR·i·eitdt= |
|
|
|
|
|
|
|||||
L |
|
О |
2п |
. |
|
|
i(n+l)t |
2 |
71" |
= |
|
|
|
= iRn+l |
! |
ei(n+l)t dt = Rn+I . е |
п + 1 |
1 |
|
|
|||||
|
Rn+l |
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
||
= |
|
О |
|
|
|
|
|
яп+I |
|
|||
--(cos27r(n + 1) + i sin 2л(п + 1) - е0 ) = -- (1 - 1) =О. |
|
|||||||||||
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
|
n+1 |
|
||
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lf |
dz |
. |
j |
(z - |
zo)ndz =О, п - |
целое, п =j:. -1. |
• |
|||||
-- = |
27П, |
|||||||||||
Z - Zo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L
75.З. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 75.2. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой одно
связной |
области D и L - |
граница |
области D. Тогда |
имеет место |
|
формула |
f (zo) |
1 |
1 |
f(z) |
(75.5) |
|
= 2'r -- dz, |
||||
|
|
71'i |
L. Z - Zo |
|
|
где z0 Е |
D - любая точка внутри области D, а интегрирование по |
||||
контуру L производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).
547
~Интеграл, находящийся в правой части равенства (75.5), называ
ется uнmегралом Кош.и, а сама эта формуJiа называется uнте
гральноii фор.му.л.оli. Кош.и.
ФормулаКоши (75.5) является одной из важнейших в теории функ
ций комплексного переменного. Она позволяет находить значения ана
литической функции J(z) в любой точке Zo, лежащей внутри области
D через ее значения на границе этой области.
Q Построим окружность lr с центром в точке Zo, взяв радиус r столь
малым, чтобы данная окружность была расположена внутри области
(чтобы lr не пересекала L).
Получим двусвязную область D 1 (заштрихо
ванную на рис. 293), ограниченную контурами L
|
|
|
и lr, в которой функция /(z) |
аналитична. |
|||||
|
|
|
|
|
|
z -.zo |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда, согласно замечанию к теореме Коши |
|||||
|
|
|
(с. 545), имеем: |
= f |
|
|
|
||
Рис. 293 |
|
f |
J(z)dz |
f(z)dz_ |
|
||||
|
|
|
|
z-zo |
|
z-zo |
|
||
|
|
|
|
L |
|
lr |
|
|
|
Огсюда следует: |
|
|
|
|
|
|
|
||
_1 / |
J(z) dz = _1 f f(z) dz = _1 f /(Zo) + f(z) - /(Zo) dz = |
||||||||
21Гi |
Z - |
Zo |
21Гi |
Z - Zo |
21Гi |
|
Z - |
Zo |
|
L |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~/(Zo) f ~ + ~ f |
f(z) - |
/(Zo) dz. |
|||
|
|
|
|
27ri |
Z - Zo |
27ri |
|
Z - |
ZQ |
|
|
|
|
lr |
|
|
lr |
|
|
Но/~= 21Гi (см. пример 75.2). Следовательно, |
|
||||||||
z-zo |
|
|
|
|
|
|
|
||
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
~ f f(z)dz |
= ~/(Zo). 21Гi + ~ f f(z) - |
f(zo) dz, |
||||||
|
21Г~ |
z - |
zo |
211"i |
21Г~ |
4 |
z - |
zo |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. |
|
~ f f(z) dz _ /(zo) = ~ f f(z) - |
|
|
|
||||
|
|
f (Zo) dz. |
(75.6) |
||||||
|
|
211"t |
Z - |
Zo |
211"i |
Z - |
Zo |
|
|
|
|
L |
|
|
lr |
|
|
|
|
Оценим разность в левой части равенства (75.6). Так как аналитиче
ская функция / (z) непрерывна в точке Zo Е D, то для любого числа
Е >О найдется число r >.0 такое, что при lz - zol ~ r (на окружности lr имеем lz - zol = r) справедливо неравенство l/(z) - /(zo)I <с:.
548
Применяя свойство 6 об оценке моцуля интеграла (п. 75.1), имеем:
/ |
~ / |
f(z) dz _ f(zo)/ |
= 1~ f |
f(z) - |
f(zo) |
dz/ ~ |
|
|
|
21ГZ |
z - Zo |
21ГZ |
z - |
Zo |
|
|
|
|
|
L |
|
lr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.., 2_ f \f(z) - f(zo)I d .., 2_~ |
2 |
_ |
||||
|
|
|
~ 2тт |
z - zo |
1 |
Z ~ 21Г r |
1ГТ - Е:. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lr |
|
|
|
|
|
Так как е может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть по
следнего неравенства не зависит от е, то она равна нулю:
~ f f(z) dz - f(zo) =О,
21ГZ Z - Zo
L
откуда слецует формула (75.5). |
• |
|
|
Отметим, что интегральная формула Коши (75.5) справедлива и |
|
для многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область D оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать слецую
щие теоремы-следствия.
Теорема 75.3. Для всякой дифференцируемой в точке z0 функции f(z) существуют производные всех порядков, причем п-я производная
имеет вид:
j(n)(zo) = ~ f |
f(z) |
dz. |
(75.7) |
21Гi |
(z - z0 )n+l |
|
|
L |
|
|
|
Теорема 75.4. В окрестности каждой точки z0 , где существует про
изводная f'(z), функция /(z) может быть представлена сходящимся |
||
0 |
|
|
рядом: |
|
|
f(z) = /(zo) + f'(zo)(z - zo) + J"~:o)(z - z0 ) 2 + ... |
|
|
... + j(n)(zo) |
(z - zo) n |
+ ... (75.8) |
п.1 |
|
|
li\ Таким образом, nроuзводна.я aнaлumuчecкoii функцuu так -;нсе явл.яется аналuтuческоо функцuеii.
Напомним, что из дифференцируемости действительной функции
не слецует даже существования второй производной (функция у = {/Х
549