pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

56.2. Вычисление криволинейноrо интеграла 11 рОАа

Вычисление криволинейного интеграла П рода, как и I рода, может быть сведено к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования

Пусть кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t)

и у = y(t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими про­ из1юдными x'(t) и y'(t) на отре"!ке [а:;,8], причем начальной точке А

кривой соответствует значf'ние параметра t = а:, а конечной точке В -

значение t = ,8. И пусть функция Р(х; у) непрерывна на кривой АВ.

Тогда, по определению,

то по формуле Лагранжа (см. (25.2)) имеем: дх, = х'(с,)дt" где с, Е

Е (t,-1;t,), дt, = t, -ti-1·

интегральной суммой для функции одной переменной P(x(t); y(t)) ·x'(t) на промежутке [а:; ,В]. Поэтому

JР(х;у)dx + Q(x; У_)dy = fJ(P(x(t); y(t) )x'(t) +Q(x(t); y(t) )y'(t)) dt.

410

Явное представление кривой интегрирования

Если кривая АВ задана уравнением у= ср(х), х Е [а; Ь], где функ­ ция ср(х) и ее производная ip'(x) непрерывны на отрезке [а; Ь], то из

формулы (56.4), приняв х за параметр, имеем параметрические урав­

нения кривой АВ: х = х, у= ср(х), х Е [а; Ь], откуда получим:

Если АВ - гладкая пространственная кривая, которая описыва­

ется непрерывными на отр~к1:> [о; ,В] функциями х = x(t), у = y(t) и z = z(t), то криволинЕ>йный интеграл

j Р(х; у; z) dx + Q(x; у; z)dy + R(x; у; z) dz

АВ

вычисляется по формуле

образованные касательной к кривой АВ в точке М(х;у) с осями Ох и

Оу соответственно.

411

гласно формуле (56.5), имеем:

Пример 56.2. Вычислить I = Jу2 dx+ (х2 +z) dy+ (x+y+z 2 ) dz,

L

L -- отрезок прямой в пространстве от точки A(l; О; 2) до точки

В(З; 1; 4).

Q Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и

В: х 21 = 1f = z 22 или в параметрической форме: х = 2t + 1, у= t,

z = 2t +2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется

от О до 1. По формулf' (56.7) находим, что

о

56.З. Формула Остроградского-Грина

Связь между двойным интегралом по области D и криволиней­ ным интегралом по границе L этой области устанавливает формула

Остроградского-Грина, которая широко применяется в математиче­

ском анализе.

Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой,

пересекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не

более чем в двух точках, т. е. область D -- правильная.

Теорема 56.2. Если функции Р(х;у) и Q(x;y) непрерывны вместе

со своими частными производными ~~ и ~ в области D, то имеет

где L - грани~ области D и интегрирЬвание вдоль кривой L произ­

водится в положительном направлении (при движении вдоль кривой,

область D остается слева).

412

Формула (56.8) называется формулой Остроградского-Грина.

Заме-чание. Формула (56.8) справед.,'lива и для произвольной обла­

сти, которую можно разбить на конечное число правильных областей.

Пример 56.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вы­

числить

I = f .../х2 + у2 dx + у · (ху + ln (х + .../х2 + у2)) dy,

L

где L - контур прямоугольника с вершинами А(З; 2), В(6; 2), С(6; 4),

D(З;4).

О Решение: На рисунке 241 изображен контур интегрирования. По-

ле (56.8) имеем:

413

56.4.Условия независимости криволинейного интеграла 11 рода от пути интегрирования

~Пусть А(х1 ;у1) и В(х2;У2) - две произвольные точки односвязной области D плоскости Оху (область D называется односвяэ­

ноiJ, если для любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им часть плоскости целиком принадлежит D (область

без «дыр»)). Точки А и В можно соединить различными линиями (на рис. 242 это L 1 , L2 и L3 ). По каждой из этих кривых интеграл

l= J P(x;y)dx+Q(x;y)dy

имеет, вообще говоря, свое значение.

Если же его значения по всевозможным кривым АВ одинаковы, то говорят, что интеграл I не зависит от вида пути интегрирования. В

этом случае для интеграла I достаточно отметить лишь его начальную

точку А(х1;у1) и его конечную точку В(х2;у2) пути. Записывают:

Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл 11 рода не зависел от вида пути интегрирования?

414

Теорема 56.3. Для того чтобы криволинейный интеграл

I = j Pdx+Qdy

L

не зависел от пути интегрирования в односвязной области D, в кото­

рой функции Р(х; у), Q(x; у) непрерывны вместе со своими частными

производными, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие

Q Докажем достаточность условия (56 .12). Рассмотрим произвольный замкнутый контур АтВпА (иJ•и: L) в области D (см. рис. 243). Для него имеет место формула Острогу~,дского,-Грина (56.8). В силу усло­ вия (56.12) имеем:

Учитывая свойства криволинейного ин­

теграла, имеем:

f Pdx + Qdy =

liJ В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется

условие i~ = ~, то интеграл по замкнутому контуру равен ну­

L

Верно и обратное утверждение.

415

Следствие 56.1. Если выполнено условие (56.12), то подынтеграль­ ное выражение Р(х; y)dx + Q(x; y)dy является полным дифференци­ алом некоторой функции и= и(х; у) (см. (44.5)), т. е.

Формула (56.14) называется обобщенной формулой Ньютона­

Лейбница для криволинейного интеграла от полного дифференциала.

Следствие 56.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть

полный дифференциал и путь интегрирования L замкнутый, то

f Pdx + Qdy =О.

L

Замечани.я.

1.Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пре­

делом х, переменную интегрирования обознача~рт другой буквой (на­ пример, t, ~,и т.д.).

2.Функцию И= И(х; у), удовлетворяющую условию (56.12), можно

найти, используя формулу

В качестве начальной точки (х0; у0) обычно берут точку (О; О) -- начало координат (см. пример 56.5).

3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного ин-

теграла

JPdx + Qdy + Rdz

L

416

по пространственной кривой. Условие (56.12), равенство (56.13), фор­

мулы (56.14) и (56.15) имеют соответственно вид:

Pdx + Qdy + Rdz = dU(x;y; z),

(z2;y2;z2)

/Pdx + Qdy + Rdz = U(x2;Y2;z2)\, - U(x1;y1;z1),

веденной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В ка­

честве пути интегрирования можно взять отрезок прямой у= х, дугу

параболы у = х2 и т. д. или воспользоваться формулой (56.14). Так как ydx + xdy = d(xy), то

представляет собой полный дифференциал некоторой функции И(х; у)

и найти ее.

Q Решение: ДJiя ТОГО чтобы указанное выражение ЯВЛЯЛОСЬ ПОЛНЫМ

дифференциалом, необходимо выполнение условий (56.12):

-условия выполнены, следовательно, е-11dx - (2у +хе-У )dy = dU (х; у).

Атак как полный дифференциал имеет вид

14 Конспект лекций по высшей математике. Полный курс

417

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом

вместо постоянной интегрирования следует поставить 1.р(у) - неизвест­

ную функцию, зависящую только от у:

И(х;у) = Jе-У dx =хе-У+ r.p(y).

Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (56.16), най­ дем <р(у):

Отметим, что функцию И проще найти, используя формулу (56.15):

И(х; у) = Jх е-0 dx + Jу (-2f. +хе-{)df, +С=

оо = х - у2 +хе-У - х +С= хе-У -у2 +С.

56.5.Некоторые приложения криволинейного интеграла 11 рода

Площадь плоской фиrуры

Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и

при этом кривая L обходится против часовой стрелки.

О Действительно, положив в формуле ОстроградскогоГрина (56.8) Р(х; у)= О, Q(x; у)= х, получим:

jj(l-O)dxdy= f O·dx+xdy,

L

Аналогично, полагая Р = -у, Q =О, найдем еще одну формулу

для вычисления площади фигуры с помощью криволинейного инте-

L

418

Сложив почленно равенства (56.18) и (56.19) и разделив на два,

Формула (56.17) используется чаще, чем формулы (56.18) и (56.19).

Работа переменной силы

Переменная сила F(P(x;y);Q(x;y)) на криволинейном участке АВ

АВ

О Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием пе­

ременной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой

АВ (от точки А до точки В).

Fi = (P(x,;y,);Q(xiiYi)).

Тогда скалярное произведение .Fi · Mi-tMi можно рассматривать

как приближенное значение работы Fi вдоль дуги м:-;JJ,:

А;~ Fi · Mi-1Mi = P(xiiYi) · Лх; + Q(x;;yi) · дуi.

Приближенное значение работы А силы F на всей кривой составит

А= L Ai ~ L P(xi; Yi) · дх~ + L Q(xi; Yi) · дуi.

i=l i=l t=l

За точное значение работы А примем предел полученной суммы при

Л = max дli--+ О (тогда, очевидно, дхi --+О и дуi--+ О):

l~i~n

Заме-чание. В случае пространственной кривой АВ имеем:

А= J P(x;y;z)dx+Q(x;y;z)dy+R(x;y;z)dz.

АВ

419