pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

В частности, когда ряд (62.3) сходится лишь в одной точке х0 =О,

то считаем, что R =О. Если же ряд (62.3) сходится при всех значениях

х Е IR (т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что R = оо. Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и

при х = -R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.

Для нахождения радиуса сходимос;~ степенного ряда (62.3) мож­

но поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов

данного степенного ряда

laol + la1xl + la2x21 + ... + lanxnl + ...

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует пре­

дел

ряд, составленный из модулей членов ряда (62.3), расходится при тех

3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан непол­

ный степенной ряд, т<1 интервал сходимости ряда находят без опреде­

ления радиуса сходимости (формулы (63.1) и (63.2)), а непосредственно

460

применяя признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из

модулей членов данного ряда.

Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

•

Q Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Да­

ламбера. Для данного ряда имеем:

Ряд абсолютно сходится, если х2 < 1 или -1 < х < 1. Исследуем

поведение ряда на концах интервала сходИмости.

При х = -1 имеем ряд -1 + ~ - ! + +- ... ,который сходится по

признаку Лейбница.

При х = 1 имеем ряд + 1 - ! + i - ~ + ... - это тоже сходящий­

ся лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного

Пример 63.3. Найти область сходимости ряда

f= ~.::~~-

n=I

Q Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (63.1):

461

Следовательно, ряд сходится при -2 < х + 2 < 2, т. е. при -4 < х <О.

При х = -4 имеем ряд

~ (-2)n =2~(-l)n_!

мости <'ООтветственно R 1 и R2 , можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, <'уммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R 1 и R2 •

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно

4. Степенной ряд можно почленно интегрирО'Вать на каждом от­

резке, расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ря­

да (63.3) при -R <а< х < R выполняется равенство (см. замечание 1,

с. 416)

Ряды (63.4) и (63.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный

степенной ряд.

Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для сте­

пенных рядов вида (62.4).

Свойства степенных рядов широко используются в теоретических

исследованиях и в приближенных вычислениях.

462

§ 64. РАЗЛОЖЕНИ!: ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ

РЯДЫ 64.1. Ряды Тейлора и Маклорена

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степен­

ного ряда.

Как известно (см. теорема 26.1), для любой функции f(x), опре­

форме Лагранжа. Число с можно записать в виде с= х0 +В(х-х0), rде О< В< 1. Формулу (64.1) кратко можно записать в виде

1 f(x) = Pn(x) + Rп(т), 1

гдеPn(x) =/(хо)+ /'~~о)(х-хо)+... + J<n:~xo)(х-xo)n - многочлен

Тейлора.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бес­

конечно дифференцируема) в окрестности точки х0 и остаточный член

Rn(x) стремится к нулю при п -+ оо ( liш Rn(x) =О), то из формулы n-+oo

Тейлора получается разложение функции !(х) по степеням (х - х0),

называемое рлдо.м Teil.л,opa:

функции по степеням х в так называемый р.яд Мак.л,орена:

n=O

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой

бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в

463

окрестности точки хо. Но отсюда еще не следует, что он будет схо­

диться к данной функции f (х); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так, например, функция

имеет в точке х = О производные всех порядков, причем f(n)(O) = О

при всяком п (см. пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид

Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не f(x). Пусть для функции /(х) составлен соответствующий ей ряд Тей­

лора.

Теорема 64.1. Для того чтобы ряд Тейлора (64.2) функции f(x) схо­

дился к f(x) в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точ­

ке остаточный член формулы Тейлора (64.1) стремился к нулю при

п--+ оо, т. е. чтобы lim Rn(x) =О. n-+oo

Q Пусть ряд Тейлора (64.2) сходится к функции f(x) в некоторой

окрестности точки Хо, т. е. f(x) = lim Sn(x). Так как п-я частичная n-+oo

сумма Sn(x) ряда (64.2) совпадает с многочленом Тейлора Pn(x), т. е.

Sn(x) = Pn(x), находим:

Заме-ч,ание. Если ряд Тейлора (64.2) сходится к порождающей функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ря­

да Тейлора, т. е. Rn(x) = rп(х). (Напомним, что Rn(x) = f(x) - Sn(x),

ряд сведена по существу к определению значений х, при которых

464

Rn(x) -+О (при n-+ оо). Если сделать это не просто, то следует каким­

нибудь иным способом убедиться, что написанный ряд Тейлора схо­

дится к данной функции.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Теорема 64.2. Если модули всех производных функций f (х) ограни­

чены в окрестности точки х0 одним и тем же числом М > О, то для

любого х из этой окрестности ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f (х), т. е. имеет место разложение (64.2).

О Согласно теореме 64.1, достаточно показать, что liш Rn(x) = О. n-+oo

По ус.ловию теоремы 64.2 для любого n имеет место неравенство

/J(n)(x)/:;:; М. Тогда имеем:

то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но тогда, в силу необходимого признака сходимости,

64.2.Разложение некоторых элементарных функций

вряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (64.З) нужно:

а) найти производные f'(x), f"(x), ... , f(n) (х), ... ;

6) вычислить значения производных в точке х0 = О;

465

в) написать ряд (64.3) для заданной функции и найти его интервал

сходимости;

г) найти интервал (- R; R), в :котором остаточный член ряда Ма­

клорена Rn(x)-+ О при п-+ оо. Если такой интервал существует, то в нем функция / (х) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Заме'Чание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный

член стремится к нулю при п--+ оо.

Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена не­

которых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):

466

все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом

рить, что полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех

х Е (-оо; оо);

г) любая производная функции f(x) = sinx по модулю не пре-

Докажем формулу (64.6). Пусть f(x) = cosx.

Q Формулу (64.6) можно доказать так же, как и формулу (64.5). Одна­

ко проще получить разложение функции cos х, воспользовавшись свой­

ством 3 степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (64.5),

467

справедливое для всех х Е (-оо; оо).

Суммируя (и вычитая) почленно равенства (64.4) и (64.15), полу­

чим разложение гиперболического косинуса (синуса):

Q Формула (64.8) может быть получена разными способами:· 1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;

468

2) рассматривая ряд 1 + х + х2 + х3 + ... + xn + ... как ряд геоме­

трической прогрессии, первый член которой равен единице и знамена­

Q Положив в формуле (64.7) а = -1 и заменив х на х2 , получим

равенство

Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при

Докажем формулу (64.12). Пусть /(х) = arcsinx.

469