pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

последовательность частичных сумм монотонно во-зрастает и ограни­

чена сверху (числом и1 +А), то, по признаку существования предела, имеет предел. Следовательно, ряд (59.1) сходится.

при п-+ оо. Учитывая, что Sn > jn f(x) dx + Un (см. (60.7)), получаем,

1

k

в ряде (59.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость)

ряда.

00

Пример 60. 7. Исследовать на сходимость ряд L --1- .

n= 2 п · 1nn

Q Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция

450

Ряд

(60.8)

где р > О - действительное число, называется обобщен:н:ым гармони­

-ческим рядом. Для исследования ряда (60.8) на сходимость применим интегральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимости не дают).

Рассмотрим функцию /(х) = 1Р. Эта функция непрерывна, мона­

Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакополо­

жительных рядов позволяют судить о сходимости практически любого положительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практи­

ке.

§ 61. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ

ИЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ

61.1.Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующи­ мися. Знако-чередующимс.я рядом называется ряд вида

n=1

где u 11 >О для всех 11 Е N (т. е. ряд, положительные и отрицательные члены которого следуют друг за другом поочередно).

Для знакочередующихся рядов имеет место достато·ч:ныi1 признак

сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бер­ нулли).

451

Теорема 61.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (61.1)

сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно

убывает, т. е. и~ > и2 >из > · · · > иn > ... ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: Цm иn = О. n'-+oo

При этом сумма S ряда (61.1) удовлетворяет неравенствам

Q Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2m) членов

ряда (61.1). Имеем

Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, поло­

жительно. Следовательно, сумма S2m > О и во~растает с возрастанием

номера 2m.

С другой стороны, S2 m можно переписать так:

S2m =и~ - (и2 - из) - (щ - иs) - · · · - (и2m-2 - и2т-1) - и2т·

Легко видеть, что S2m < и~. Таким образом, последовательность82, S4,

S6 , ..• , S2m, . . . возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она

имеет предел lim S2m = S, причем О < S < и~. n-H>O

Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2m+l) членов ряда (61.1). Очевидно, что S2m+i = S2m + и2m+l· Отсюда следует,

что

lim S2m+1 = lim (S2m + и2m+1) = lim S2m +О= S,

как при четном n, так и при нечетном n. Следовательно, ряд (61.1)

(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его членов на (-1) к исследованию ряда (61.1).

Ряды (61.1) и (61.3), для которых выполняются условия теоремы Лейбница, называются лейбничевскuми (или рядами Лейбница).

Jil 2. Соотношение (~1.2) позволяет получить простую и удобную

оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного

452

ряда его частичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) предста­ вляет собой также знакочередующийся ряд (-1)n+ 1 ( Un+ 1 - Un+2 + ... ),

сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, т. е.

Sn < Un+1· Поэтому ошибка меньше модуля первого из отброшенных

членов.

При.мер 61.1. Вычислить приблизительно сумму ряда

f (-l)n-1. __;..

61.2. Общий достаточный признак сходимости

знакопеременных рядов

Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопере­

оо

менного ряда. Числовой ряд 2: Un, содержащий бесконечное мно­

n=l

жество положительных и бесконечное множество отрицательных чле-

нов, называется энакоnеременн'ЫМ.

Для знакопеременных рядов имеет место следующий общиil доста­ mо'Чныil признак сходимости.

Теорема 61.2. Пусть дан знакопеременный ряд

Если сходится ряд

(61.5)

составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам

знакопеременный ряд (61.4).

453

Q Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов

(61.4) и (61.5):

00

(и~+ lи1I) + (и2 + lи2I) + ···+ (ип + lипl) + ···= L(Un + lипl).

n=l

00

Очевидно, что О~ Un + lиnl ~ 2lиnl для всех п Е N. Но ряд L 2lиnl

n=l

сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 59.1)

. Следовательно, на основании признака сравнения (п. 59.3) сходится

00

и ряд L (un + lиnl). Поскольку данный знакопеременный ряд (61.4)

n=I

представляет собой разность двух сходящихся рядов

00 00 00

n=I n=l n=l

·10, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (61.4)) сходится.

•

Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд (61.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (61.5).

Пример 61.2. Исследовать сходимость ряда Е (-l)n+l .1.

n=l n

Q Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены

условия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходит­

ся. Однако ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е.

61.3.Абсолютная и условная сходимости числовых

рядов. Свойства абсолютно сходящихся рядов

~Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся,

если ряд, составленный из модулРй его членов, сходится.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если

сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расхо­

дится.

Так, ряд, показанный в примере (61.2), условно сходящийся. Ряд

'°'(-l)n-1 . _

L.J п!

n=l

454

абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов,

сходится (см. пример 60.4).

Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды зани­ мают особое место: на такие ряды переносятся основные свойства ко­

нечных сумм (переместительность, сочетательность, распределитель­

ность).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим бРз до­

казательства.

il 1. Если ряд абсолютно сходится и ИМЕ'Е'Т сумму S, то ряд, полу­

ченный из него перестановкой чл('нов, такж(' сходится и имеет ту

же сумму S, что и исходный ряд (теорема Дирихл(').

2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами 5 1 и S2 можно почл('нно

складывать (вычитать). В рР-зультате получаf'тся абсолютно сходящий­

Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами S1 и S2 есть абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна 5 1 • S2.

Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычи­ таются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не за­

висят от порядка записи членов.

В случае условно сходящихся рядов соответствующие утвЕ'ржде­

ния (свойства), вообще говоря, не имеют места.

Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добить­

ся того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 - ! + i -! + ...

условно сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Пе­ репишем его члены так, что после одного положительного члена будут идти два отрицательных. Получим ряд

Сумма уменьшилась вдвое!

Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ря­ да можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или

расходящийся ряд (теорема Римана).

455

Глава XIV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

/Лекции 53-551

§62. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

62.1. Основные понятия

Ряд, членами которого являются функции от х, называется функ­

циональным:

00

(62.1)

n=l

Придавая х определенн()(' значение :r0 , мы получим числовой ряд

ui(xo) + u2(xo) + .. + un(xo) + ... ,

который может быть как сходящимся, так и расходящимся.

~Если полученный числовой ряд сходится, то точка Хо называет­

ся точкоi1 сходимости ряда (62.1); если же ряд расходится -

точкоii расходимости функционального ряда.

Совокупность числовых значений аргументах, при которых функ­

циональный ряд сходится, называется его областью сходимости.

В области сходимости функционального ряда его сумма являет­ ся некО'Iорой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области

сходимости равенством

S(x) = lim Sn(x), где Sn(x) =и~ (х) + и2(х) + ... + un(x) -

n--too

частичная сумма ряда.

00

Пример 62.1. Найти область сходимости ряда L xn. n=O

О Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии

со ';!Наменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при JxJ < 1,

Пример 62.2. Исследовать сходимость функционального ряда

~ sinn2 x

L.,, 2 • n=l n

457

О Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного

а ряд с общим членом А сходится (обобщf'нный гармонический ряд,

п

р = 2 > 1, см. п. 60.4), то по признаку сравнения ряд (62.2) сходится

при х Е R Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех

~Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую роль играет ряд, членами которого являются степенные функ­

ции аргументах, т. е. так называемый cmeneн:нou ряд:

n=O

~Действительные (или комплексные) числа ао, а1 , а2, •.. , ап, ... на­

зываются коэффициентами ряда (62.3), х Е R - действитель­

ная перf'менная.

Ряд (62.3) расположен по степеням х. Рассматриваюг также сте­

пенной ряд, расположенный по степеням (х - хо), т. е. ряд вида

00

L ап(х - хо)п = ао + а1(х - хо)+···+ ап(х - хо)п + ... , (62.4)

n=O

где х0 - некоторое постоянное число.

Ряд (62.4) легко приводится к виду (62.3), если положить х-хо = z.

Поэтому при изучении степf'нных рядов можем ограничиться степен­ ными рядами вида (62.3).

§ 63. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ

Выясним вопрос о сходимости степенного рма (62.3).

Область сходимости степенного ряда (62.З) содержит по крайней

мере одну точку: х =О (ряд (62.4) сходится в точке х = х0).

бЗ.1. Теорема Н. Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из

следующей теоремы.

Теорема 63.1 (Абель). Если степенной ряд (62.3) сходится при

х = х0 ::/: О, то он абсолютно сходится при всех значениях х, удо­

влетворяющих неравенству lxl < lxol·

458

459