pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

4. div rot ii = \7 · (\! х ii) = О, так как смешанное прои3ведепие трех

векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что

поле вихря - соленоидальное.

5. rot rot ii = \7 х (\! х ii) = \7(\! ·ii) - (\! ·\l)ii = grad div ii - Лii, так

как двойное векторное произведение обладае 1 своikтвом

а х (Б х ё) = Б. а. ё - ё. а· Б.

Здесь Лii = ЛР z+ ЛQ i + ЛR k векторная Df'личина, полученная в

результате применения оператора Лапласа к вектору ii.

§73. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ КЛАССОВ ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ

73.1. Соленоидальное поле

Напомним, что векторное поле ii называется солен.оидальн'Ьt.М, если

во всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div ii = О. Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных ско­

ростей вращающегося твердого тела (см. пример 71.4); магнитное поJ1е,

создаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет элек­ трический ток, и другие.

Приведем некоторые своiJ.ства соленоидальногli) поля.

1. В соленоидальном поле ii поток вектора Чf'рез любую замкну­ тую поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает

из формулы (71.8). Таким образом, соленоидальноf' поле не имеет ис­

точников и стоков.

2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого вектор­

ного поля, т. е. если div ii = О, то существует такое поле Б, что ii = rot Б. Вектор Б называется векторным потен.циа.110.м поля а.

Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения

соленоидального поля.

Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное

утверждение - поле ротЬра векторного поля есть соленоидальное --

нами доказано (выше мы показали, что divrota =О).

520

3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное се­

чение векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсивностъю трубки).

Q Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными се­

чениями S1 и S2; боковую поверхность трубки обозначим через S

(см. рис. 280). Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую

из S 1 , S 2 и S, равен нулю. Следовательно,

где n - внешняя нормаль.

Рис. 280

Так как на боковой поверхности векторной трубки норма.ль n пер­

пендикулярна к векторам поля, то JJan ds = О и, следовательно, s

Переменив направление нормали на площадке 5 1 , т. е. взяв вну­

треннюю нормаль n1' получим:

•

В поле скоростей: текущей жидкости полученный результат означа­

ет, что количество жидкости, втекающей в трубку "ja единицу времени,

равно количеству жидкости, вытекающей из нее.

73.2. Потенциальное поле

Векторное поле а называется потенциа.л.ъным (или безвихревым, или градиентним), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е.

521

rot ii = О. Примером потенциального поля является электрическое поле

напряженности точечного заряда (и другие). Приведем основные свойства потенциального поля.

СвоiJ.ство 1. Циркуляция потенциального поля ii по любому за­

мкнутому контуру в этом поле равна нулю.

L

В частности, для силового потенциального поля это означает, что работа силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле ск1:r ростей текущей жидкости равенство С = О означает, что в потоке нет

замкнутых струек, т. е. нет водоворотов.

M 1pM2qM1 лежал внутри поля (см. рис. 281). Тогда, в силу свойства 1,

имеем

f Pdx+Qdy+Rdz=O.

M1pM2qM1

Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

СвоiJ.ство 3. Потенциальное поле является полем градиента неко­

торой скалярной функции U(x;y;z), т. е. если rota =О, то существует функция U(x;y;z) такая, что ii = gradU.

522

(xo,yo,zo)

523

yz-2x xz - 2у ху

Следовательно, поле вектора а потенциальное.

Найдем потенциал И по формуле (73.1), выбирая в качестве фик­

если оно одновременно является потенциальным и соленоида.пьным,

т. е. если rot а = О и div а = О.

Примером гармонического 11оля является поле линейных скоро­ стей стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в

нем источников и стоков.

Так как поле ii потенциально, то его можно записать в видf'

а= gradU, где И= U(x;y;z) - потенциал поля.

Но так как поле одновременно и соленоидальное, то

div ii = div grad И = О,

т. е. потенциальная функция И гармонического поля а является реше­ нием дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция назы­

вается, как уже упоминали, гармонической.

Глава XVll. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ

КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

1Лекции 63-681

§74. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

74.1. Основные понятия

Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются

комплексные числа (см. гл. VI). Числа z = х + iy множества D будем

изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = и+ iv множества Е -- точками комплексной плоскости ш.

~Еели каждому ЧИС'ЛУ (ТОЧКЕ') z Е D ПО НРКОТОрому правилу по-

ставлено в соответстние определенное число (точка) w Е Е, то

говорят, что на множестве определена однозначна.я функция комn­

л,ексного переменного w = f(z), отображающая множество D в мно­ жество Е (см. рис. 282).

ство Е1 всех значений w, которые f(z)

принимает на Е, называется областью

точка множества Е является значением функции, то Е - область зна­

чений функции; в этом случае функция f отображает D на Е). Далее, как правило, будем рассматривать такие функции w = f(z),

для которых множества D и Е1 являются областями. Областью ком­ плексной плоскости наэывается множество точек плоскости, обладаю­

щих свойствами открытости и связности (см. п. 43.1). Функцию w = f(z) можно записать в виде

u+iv=f(x+iy),

Функцию и(х; у) при этом называют деitствительноil 'Частью функции

f(z), а v(x; у) - .мни.моil.

Таким образом, задание функции комплексного переменного рав­ носильно заданию двух функций двух действительных переменных.

525

Пример 74.1. Найти действительную и мнимую части функции

74.2. Предел и непрерывность функции комплексного

переменного

Пусть однозначная функция w = J(z) определена в некоторой

окрестности точки zo, исключая, может быть, саму точку z0 . Под б­

окрестностью точки zo комплексной плоскости понимают внутрен­

ность круга радиуса б с центром в точк{' z0 .

~Число wo называется пределом функции w = f(z) в точке z0 (или при z -+ z0 ), если для любого положин•льного с: найдется

такое положительное число б, что для всех z :/:- z0 , удовлетворяющих

неравенству lz - zol < б, выполняется Н{'равенство lf(z) - шоl <с:.

Верно и обрашое утверждение.

Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции од­

ного (или нескольких) действительного переменноrо остаются справед­

ливыми и для функции комплексного переменного. Так, если функции fi(z) и /2(z) имеют пределы в точке zo Е D, то

526

~Пусть функция w = f(z) определена в точке z = zo и в некоторой ее окрестности. Функция w = f(z) называется неnрерывноit в

mо'Ч.ке zo, если lim f(z) = f(zo).

Z1ZQ

Определение непрерывности можно сформулировать и так: функ-

ция /(х) непрерывна в точке zo, если бесконечно малому приращению

аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции:

lim д/(z) =О.

дz1О

Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в ка­

ждой точке этой области.

Модуль непрерывной функции комплексного переменного облада­ ет теми же свойствами, что и Нf>прерывная функция действительного

переменного (см. теорема 43.1).

74.З. Основные элементарные функции комплексного

переменного

Определим основные элементарные функции комплексного пере­

менно~ о z = х + iy.

Показательная функция

~Показательная функция w = ez определяется формулой

Положив в этом равенстве у= О, устанавливаем, что для действитель­ ных значений z = х показательная функция е совпадает с показатель­

ной функцией действительного переменного: ez = ех.

Показательная функция w = ez обладает «известным» свойством: ez 1 · ez2 = ez 1+z2 . Действительно, по правилу умножения комплексных чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», п. 28.3),

имеем:

ez 1 · ez2 = ех1 • еж2 ( cos(y1 + У2) + i sin(y1 + У2)) =

= ех1+х2. (cos(yi +у2) +isin(yi +у2)) = ex1+x2+i(y1+y2) = ez1+z2.

Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: ez 1 :ez2 =ez1-z2 , (ez)n=enz (n Е N).

Учитывая, что lezl = ех, а еж-::/:- О, утверждаем, что показательная функция ez нигде в нуль не обращается, т. е. ez -::/:- О.

Исходя из определения (74.1), легко убедиться, что

выражение ez при z --+ оо не имеет смысла.

527

Положив в равенстве (74.1) х = О, у = <р, получим классиче­

скую формулу Эйлера eN' = cos <р + i sin r.p. С ее помощью, в частности,

можно представить тригонометрическую форму комплексного числа z = r-(cosr.p+isinr.p) в более компактной форме z = r·e'"'(= lzl ·e•arsz),

называемой nоказателъноii, формоii, комплексного числа (см. п. 27.З)

liJ

специфическим свойством: она является nepuoдuчecкou с мни­ мым основным периодом 27Гi.

О Действительно,

еz+2:п-• = ez · е2,..' = ez · (cos 27Г + i sin 21Г) = ez,

Логарифмическаи функции

~Эта функция определяется как функция, обратная показательной:

число w называется логарифмом числа z ::/:-О, если ew = z, обо­

значается w = Ln z. Так как значения показательной функции ew = z всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция w = Ln z опре­

делена на всей плоскости z, кроме точки z = О (ста.110 быть, имеет

смысл и выражение Ln(-2)).

Положив z = r · е'"', w = и + iv, получим, согласно определению

логарифмической функции, e"+•v = r · е''Р, или е" · e•v = r · е•'Р. Отсюда

имеем:

e"=r, v=r.p+2k1Г, т.e.u=lnr, v=r.p+2k1Г(k=0,±1,±2, ...).

Следовательно,

w = Lnz =и+ iv = lnr + i(r.p + 2k7Г) = ln lzl + i(argz + 2k7Г), (74.2)

т. е. Ln z :::: ln lz\ + i(arg z + 2k7Г) или, Ln z = ln \z\ + i Arg z, где Argz = argz + 2k7Г.

Формула (74.2) показывает, что логарифмичес'кая функция ком­

плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е. w = Ln z - многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в

формулу (74.2) определенное значение k. Положив k =О, получим од­ нозначную функцию, которую наэывают главным зна'Чением логариф­

ма Ln z и обозначают символом ln z:

тельного числа совпадаеТ' с обычным натуральным логарифмом этого

числа.

528

Формулу (74.2) можно переписать так: Lnz = lnz + 2k-тri.

Из формулы (74.2) следует, что логарифмическая функция w = Ln z обладает известными свойствами логарифма действительного

переменного:

Ln(z1 · z2) = Lnz1 + Lnz2,

Ln(;~) = Lnz1 - Lnz2,

Lnzn = п · Lnz,

Степенная функция w = zn

Если п - натуральное число, то степенная функция определяется

1

Здесь функция w = zч есть многозначная (q-значная) функция. Одно-

значную ветвь этой функции можно получи1ь, придав k определенное

значение, например k = О.

Если п = 1!., где р, q Е N, то степенная функция определяется

Степенна.я функция ш = za с произвольным комплексным показа­ телем а= а+ i/3 определяется равенством

W = za = eaLnz.

529