pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

или, коротко,

d2

dxу;= F2(XiY1iY2; ... ;yп)·

Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значе-

ния производных ~' ... , ~ из системы (52.1), получим

d3dxу31 = Fз(х;у1;у2;. · · ;уп)·

Продолжая этот процесс (дифференцируем - nодставляем - получа­

ем), находим:

(52.3)

Из первых (п -1) уравнений системы (52.3) выра·шм функции у2, у3, •..

... , Уп через х, функцию У1 и ее производные у11 , у111 , ... , у1(п-1) . Полу-

Найденные значения У2, у3, ... , Уп подставим в nоследнее уравнение си-

стемы (52.3). Получим одно ДУ n-го порядка относительно искомой

функции у1: ~;1 = Ф(х;у1;у~;.";у~п-l)). Пусть его общее решение

есть

У1 = \01 (х; С1; C2j ".;Сп)-

Продифференцировав его (п - 1) раз и подставив значения произ-

водных у~, у~', ... , у~п-l) в уравнения системы (52.4), найдем функции

у2,у3, . .. ,уп:

Yz = 1i02(x;c1;c2; ... ;сп), .. · 1Уп = 'Рп(х;с1;с2; ... ;сп)·

Прuмер 52.1. Решить систему уравнений

{~~~ == 4y2у--3z,3z.

370

ла (52.5)). Получим:

Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет

Заме-ч.ание. Систему уравнений (52.1) можно решать методом ин­

тегрuруем'ЫХ комбuнацuit. Суть метода состоит в том, что посредством арифметических операций из уравнений данной системы образуют так называемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения относительно новой неизвестной функции.

Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.

Пример 52.2. Решить систему уравнений:

{~~=у+ 1,

!dtЕ1. = х + 1.

Q Решение: Сложим почленно данные уравнения: х'+у' = х+у+2, или

(х+у)' = (х+у)+2. Обозначим х+у = z. Тогда имеем z' = z+2. Решаем

Получили так называемый первы:IJ, интеграл систем'Ы. Из него можно выразить одну из искомых функций через другую, тем самым

371

уменьшить на единицу число искомых функций. Например, у = с1et - - 2 - х. Тогда первое уравнение системы примет вид

х' = c1et - 2 - х + 1, т. е. х' + х = c1et - 1.

Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем

и у.

Заме'Чание. Данная сис1ема «позволяет» образовать еще одну ин­

52.З. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы

уравнений (52.1) в случае, когда она представляет собой систему ли­

неi/,ных однородн:ых ДУ с посто.я.нн'ьtми коэффициента.ми, т. е. систему

Подставив эти функции в систему (52.6) и сократив на множитель ekx =f:. О, получим:

ak = ана + ai2f3 + а1з"(,

(Зk = а21а + a22f3 + а2з"(,

{ "(k = аз1а + аз2f3 + азз"(,

372

аз1а + аз2/3 + (азз - k)-y =О.

Систему (52.8) можно рассматривать как однородную систему трех ал­

гебраических уравнений с тремя неизвестными а, (3, -у. Чтобы эта си­ стема имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы опре­

делитель системы был равен нулю:

=0. (52.9)

~Уравнение (52.9) называется xapaкmepucmuчecкuм уравнени­ ем системы (52.6). Раскрыв опрf'делитель, получим уравнение тре­

тьей степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и

различны: k1, k2, k3. Для каждого корня k, (i = 1,2,3) напишем систе­ му (52.8) и определим коэффициенты а" (3,, -у, (один из коэффициентов

можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня kз - yf3) = a3ekзz' у~3) = f3зeksz' у~3) = '"Узеkз:r:.

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систе­

му, общее решение системы (52.6) записывается в виде

Пример 52.3. Решить систему уравнений:

у~2) = f32 ek2 x. Найдем O:i и /31 (i = 1, 2).

373

При k1 = -1 система (52.8) имеет вид

решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Заме'Ч.ание. Вместо полученных частных решений можно взять их

линейные комбинации (п. 50.1, случай 3), применяя формулы Эйле­

ра; в результате получим два действительных решения, содержащих

функции вида еах · cosbx, еах · sinbx. Или, выделяя действительные и

мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим

два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом пон'ятно, что комплексно­

сопряженный корень k 2 = а - ib не даст новых линейно независимых

действительных решений.

Пример 52.4. Найти частное решение системы

!~ =У1 +у2,

~= -у1 + У2 - Уз,

~= Зу2 +уз,

удовлетворяющее начальным условиям: У1(О) = 7, У2(О) = 2, Уз(О) = 1.

374

Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Отсюда находим: а2 = 1 (положили), (32 = 2i, 1 2 = 3. Частное комп­

лексное решение системы:

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

yi2) = е(1+2•)х = ех(cos 2х + i sin 2х),

Как уже отмечено, корень k3 = 1 - 2i приведет к этим же самым реше­

ниям.

375

Таким образом, общее решение системы имеет вид

У1 = С1ех + с2ех cos 2х + Сзех sin 2х,

У2 = с1 ·О - 2с2ех sin 2х + 2сзех cos 2х, Уз = -с1ех + 3с2ех cos 2~ + 3сзех sin 2х.

Выделим частное решение системы. При заданных начальных услови­

ях получаем систему уравнений для определения постоянных с1 , с2, сз:

7 = С1 + С2 + 0,

Случаi1 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратно­

сти т (т = 2, 3). Решf'ние системы, соответствующее кратному корню,

следует искать в виде:

а) если т = 2, то у1 = (А+ Bx)ek"', у2 = (С+ Dx)ek"', Уз = = (Е + Fx)ekx;

б) если т = 3, то у1 = (А+ Вх + Cx2 )ek"', У2 = (D + Ех + Fx2 )ek"', уз= (G + Нх + Nx2 )ek"'.

Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные А, В, С, . .. , N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т ли­

нейно независимых частных решений системы (52.6).

При.мер 52.5. Решить систему уравнений:

Q Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

1-k -1 1

1 1-k -1 =0,

о -1 2-k

376

Глава XI. ДВОИНЫЕ И ТРОИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

/Лекции 44-46 1

§53. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ

53.1. Основные понятия и определения

Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пе-

ременных является так называемый двойной интеграл.

на дS, и составим сумму всех таких произведений:

n

/(х1;у1)дS1 + /(х2;у2)дS2 + ··+ /(ХпiУп)дSп = Lf(x,;y,)дS,.

•=1

(53.1)

Эта сумма называется интеграл:ьной суммой функции f (х; у) в обла­

сти D.

Рассмотрим предел интегральной суммы (53.1), когда п стремит­

ся к бесконечности таким образом, что max d, --+ О. Если этот предел существует и не зависит ни от способа разбиения области D на ча­ сти, ни от выбора точек в них, то он называется двойным интегралом

от функции /(х;у) по области D и обозначается// f(x;y)dxdy (или

Jj f(x;y)ds). D

D

~Таким образом, двoi:i:н.oii. интеграл определяется равенством

~В этом случае функция f(x; у) называется и.нmегрuруемоЬ в

области D; D - область интегрирования; х и у - пере­

менные uнmегри.ровани..я; dxdy (или dS) - элемент площади.

378

Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На

этот вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь

без доказательства.

Теорема 53.1 (Аостаточное условие интегрируемости функции). Если функция z = f(x; у) непрерывна в замкнутой области D, то она

интегрируема в этой области

Заме"tанил.

у

1. Далее будем рассматривать толь­ ко функции, непрерывные в области инте­

грирования, хотя двойной ин reгpaJI может

существовать не только для непрерывных

Лу,

функций.

прямыми, параллельными координатным осям (см. рис. 215). При этом

дS, = дх, · ду,, равенство (53.2) можно записать в виде

53.2. Геометрический и физический смысл АВОЙного

интеграла

Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.

Объем цилинАрического тела

Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x; у) ~

~О, снизу - замкнутой областью D плоскости Оху, с боков - цилин­

дрической поверхностью, образующая которой параллельна оси Oz, а

направляющей служит граница области D (см. рис. 216). Такое тело

называется ци.r~индри"tеским. Найдем его объем V. Для этого разобьем

область D (проекция поверхности z = f(x; у) на плоскость Оху) произ­ вольным образом на п областей D" площади которых равны дS, (i = = 1, п). Рассмотрим цилиндрические столбики с основаниями D" огра­ ниченные сверху кусками поверхности z = f(x; у) (на рис. 216 один из

379