pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от х = а до х = Ь,

ь

получаем S = j уdx.

а

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена «ниже»

оси Ох (f(x) <О), то ее площадь может-быть найдена по формуле

у

Если плоская фигура имеет «сложную» форму (см. рис. 175), то

прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так,

чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

Если криволинейная трапеция ограничена прямыми у = с и у = d,

осью Оу и непрерывной кривой х = ср(у) ~ О (см. рис. 176), то ее

d

площадь находится по формуле S = j xdy.

с

280

И, наконец, если криволинейная трапеция ограничена кpuвoit, эа- данноi/, параметрu'Ческu

{х = x(t), t Е [а;,8],

у= y(t),

прямыми х =а их= Ь и осью Ох, то площадь ее находится по формуле

S ~ !y(t) · x'(t) d+

где а и ,В определяются из равенств х(а) =а и х(,В) = Ь.

у

у

ь

Q Решение: Найдем сначала i площади S. Здесь х изменяется от О

до а, следовательно, t изменяется от~ до О (см. рис. 178). Находим:

281

S(f3) = S)

2 Если текущий полярный угол 'Р получит приращение д'{J = d'fJ,

то приращение площади дS равно площади «элементарного криволи­

нейного сектора» ОАВ.

Дифференциал dS предс'lавляет собой главную часть приращения

дS при d!p -t О и равен площади кругового сектора ОАС (на рисун­

ке она заштрихована) радиуса r с цРнтрал1,ным углом d'fJ. Поэтому

dS = !r2

3. Интегрируя полученное равенство в пределах от ер= а до t.p = (3,

получим искомую площадь

= 1 J{3 2

S 2 r (ip) dep.

ct

р

Рис. 179 Рис 180

Пример 41.З. Найти площадь фигуры, ограниченной «трехле­

пестковой розой» r = acosЗt.p (см. рис. 180).

282

Q Решение: Найдем сначала площадь половины одного лепестка «ро­

зы», т. е. gчасть всей площади фигуры:

оо

форму, то лучами, выходящими из потоса, <'е следует разбить на криволинейны<' секторы, к

которым нрименить полученную формулу для

нахождения площади. Так, для фигуры, и ю­ браженной на рисунке 181, имеем.

41.3. Вычисление длины дуги плоской кривой

Прямоугольные кооминаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая АВ,

уравнение которой у= f(x), где а~ х ~ Ь.

~Под д.л:иноi1. дуги АВ понимается предел, к которому стремится

длина ломаной линии, вписанной в ;,ту дугу, когда число звеньев

ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего ~вена ее стре­

отрезок (а; Ь) на п частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответ­

ствуют точки М0 = А, М1 , ... , Мп = В на кривой АВ. Проведем хорды

МоМ1, М1М2, ••• , Мп-~Мп, длины которых обозначим соответствен­

но через ЛL1, ЛL2, ... , ЛLn. Получим ломаную МоМ1М2 ... Мп-1Мп,

n

длина которой равна Ln = ЛL1 + ЛL2 + ... + ЛLn = I: ЛLi.

1.=l

283

2. Дпину хорды (или звена ломаной) дL, можно найти по теореме

Пифагора из треугольника с катетами д:r, и ду,:

дL, = J(дх,)2 + (ду,)2,

•=1

Заметим, что при дL,-tO также и дх,-+0 (дL,=J(дх,)2+(ду,)2 и,

следовательно, lдx,j<дL,). Функция Jl+(/'(x)) 2 непрерывна на от­

резке (а; Ь], так как, по условию, непрерывна функция f'(x). Следова­ тельно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда mахдх,-+0:

Ьа,

=JJ1 + (у~)2 dx.

а

284

Если уравнение кривой АВ задано в параметрической форме

{х = x(t),

а ::::;: t ::::;: /3,

у = y(t),

где x(t) и y(t) - непрерывные функции с непрерывными производными

и х(а:) =а, х(/3) = Ь, то длина l кривой АВ находится по формуле

Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой

Вычисление длины дуги может быть основано на применении ме­

тода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему П (метод дифференциала).

1. Возьмем произвольное значение х Е [а; Ь] и рассмотрим перемен­ ный отрезок [а; х]. На нем величина l становится функцией от х, т. е.

l = l(x) (l(a) =О и l(b) = l).

2. Находим дифференциал dl функции l = l(x) при изменении хна

малую величину дх = dx: dl = l'(x) dx. Найдем l'(x), заменяя беско-

нечно малую дугуМNхордой дl, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):

Стало быть, dl = .Jl + (у~)2 dx.

285

ь

3. Интегрируя dl в пределах от адо Ь, получаем l = j J1+у~2 dx.

а

~ Равенство dl = J1+у~2 dx называется формулой дифференциа­

ла дуги в прямоугольных координатах.

т / !!Jl.

ак как Ух= dx' то

dl = .j(dx)2 + (dy) 2 .

Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для беско­

нечно малого треугольника мет (см. рис. 185).

у

А

Полярные кооминаты

Пусть кривая АВ задана уравнением в поляр-

ных координатах т = r(<p), а ::;; <р ::;; /3. Предположим, что т(~,о) и r'(ip) непрерывны на отрезке [а; /3].

Если в равенствах х = т cos <р, у = т sin <р, связывающих полярные

286

Применяя формулу (41.5), получаем

rз

l = JVr2 + r' 2 dr.p.

°'

При.мер 41.5. Найти длину кардиоиды r = a(l + cosr.p).

О Решение: Кардиоида r = a(l + cosr.p) имеет вид, изображенный на

рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем по­

ловину длины кардиоиды:

2а Р

41.4. Вычисление объема тела

Вычисление объема тела по известным площадям параллельных сечений

Пусть требуется найти объем V тела, причем известны площади S

сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными некоторой оси,

например оси Ох: S = S(x), а~ х ~ Ь.

Применим схему П (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­ пендикулярную оси Ох (см. рис. 187). Обозначим через S(x) площадь

287

сечения тела этой плоскостью; S(x) считаем известной и непрерывно

изменяющейся при изменении х. Через v(x) обозначим объем части те­

ла, лежащее левее плоскости П. Будем считать, что на отрезке [а; х] величина v есть функция от х, т. е. v = v(x) (v(a) =О, v(b) = V).

2. Находим дифференциал dV функции v = v(x). Он представляет

собой «элементарный слой» тела, закл!Оченный между параллельными плоскостями, пересекающими ось Ох в точках х и х+Лх, который при­

ближенно может бьпъ приня'Т за цилиндр с основанием S(x) и высотой dx. По3тому дифференциал объема dV = S(x) dx.

3. Находим искомую величину V путем интегрирования dA в пре­

делах от а до Ь:

а

Полученная формула называется формул,оii. обr5ема mел,а no n.яощади nарал,л,ел,ьнъtх се-чениii..

2 2 2

Пример 41.б. Найти объем эллипсоида~+ 'fG-b + ~ = 1.

а с

О Решение: Рассекая эллипсоид плоскостью, параллельной плоскости

Oyz и на расстоянии х от нее (-а ~ х ~ а), получим эллипс (см.

Объем тела вращения

Пусть вокруг оси Ох вращается криволинейная трапеция, огра­

ниченная непрерывной линией у = f(x) ~ О, отрезком а ~ х ~ Ь и прямыми х =а их= Ь (см. рис. 189). Полученная от вращения фигура

называется телом вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпен­

дикулярной оси Ох, проведенной через произвольную точку х оси Ох

(х Е [а; Ь]), есть круг с радиусом у= f(x). Следовательно, S(x) = 7Гу2 •

Применяя формулу (41.6) объема тела по площади параллельных

сечений, получаем

а

288

Если криволинейная трапеция ограничена графиком непрерывной функции х = rp(y) ~ О и прямыми х = О, у = с, у = d (с < d), то

объем тела, образованного вращением этой трапеции вокруг оси Оу, по

аналогии с формулой (41.7), равен

ох

о х

Рис. 189 Рис. 190

Пример 41. 7. Найти объем тела, образованного вращением фи­

гуры, ограниченной линиями у= Х:, х =О, у= 2../2 вокруг оси Оу (см.

рис. 190).

Q Решение: По формуле (41.8) находим:

о

41.5. Вычисление площади поверхности вращения

Пусть кривая АВ является графиком функции у = J(x) ~О, где

х Е [а; Ь], а функция у = f(x) и ее производная у' = f'(x) непрерывны

на этом отрезке.

Найдем площадь S поверхности, образованной вращением кривой АВ вокруг оси Ох.

Применим схему П (метод дифференциала).

1. Через произвольную точку х Е [а; Ь] проведем плоскость П, пер­

пендикулярную оси Ох. Плоскость П пересекает поверхность враще­

ния по окружности с радиусом у = f(x) (см. рис. 191). Величина S

поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, явля­

ется функцией от х, т. е. s = s(x) (s(a) = О и s(Ь) = S).

JО Конспект лекuий по высшей математике. Полный курс

289