pismennyy_d_t_konspekt_lekciy_po_vysshey_matematike_polnyy_k

При.мер 56. 6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой

х = а · cos3 t, у = а· sin3 t.

Q Решение: При обхождении астроиды в положительном направлении

параметр t изменяется от О до 2п (см. рис. 245). Применяя формулы (56.17) и (56.4}; получим:

z

у

а

ах

§57. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 1 РОДА

57.1. Основные понятия

Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх­

ностный интеграл.

Пусть в точках некоторой поверхности S, с площадью S, простран­

ства Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Разобьем по­ верхность S на п час;тей S,, площади которых обозначим через ЛS,

(см. рис. 246), а диаметры - через d" i = 1;п. В каждой части S,

420

возьмем произвольную точку М,(х,; у,; z,) и составим сумму

i=l

Она называется интегралъноil для функции f(x; у; z) по noвepxЖJ­

cmu S.

~Если при>. = max d, -4 О интегральная сумма (57.1) имеет пре­

ц;~~n

дел, то он называется nовер:z:ностным интегралом 1 рода от

функции f (х;у; z) по поверхности S и обозначается jj f (х;у; z) ds.

li/ Отметим, что «если поверхность S гладкая (в каждой ее 1·очке су-

ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с

перемещением точки по поверхности), а функция J(x; у; z) непрерывна

на этой поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема

существования).

Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

= S1 US2, а пересечение S1 и S2 состоит лишь из границы, их разделя­

ющей, то

jj f(x;y;z)ds = jj f(x;y;z)ds+ jj f(x;y;z)ds.

421

7. Если f (х; у; z) непрерывна на поверхности S, то на этой поверх­ ности существует точка (хе; Yci zc) такая, что

jj /(х;у; z) ds = f(Xci Yci Zc) · S s

(теорема о среднем значении).

57.2. Вычисление поверхностного интеграла 1 рода

Вычисление поверхностного инте~·рала I рода сводится к вычисле­

проекцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется раэбитой

на п частей а1, 0"2, .•. , О"п· Воэьмем в O"i прои·звольную точку Pi(x;; Yi) и

восстановим перпендикуляр к нлоскости Оху до пересечения с поверх­

ностью s. Получим точку Mi(XiiYiiZi) на поверхности si. Проведем в

точке Mi касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть Ti, которая

на плоскость Оху проектируется в область O"i (см. рис. 247). Площади элементарных частей Si, Ti и а1 обозначим как дSi, ЛТ~ и даi соот­

ветственно. Будем приближенно считать, что

Обозначив через 'Yi острый угол между осью

Oz и нормалью ni к поверхности в точке Mi, по­

(область O"i есть проекция Ti на плоскость Оху).

Если поверхность S задана уравнением z =

= z(x;y), то, как известно (Fм. (45.2)), уравнение

касательной плоскости в точке Mi есть

z~(Xii Yi). (х -Xi) + z~(Xii Yi). (Y-Yi) - (z - Zi) =о,

где z~(XiiYi), z~(xi;y;), -1 - координаты нор­

мального вектора к плоскости. Острый угол 'Yi

есть угол между векторами k = (О; О; 1) и

Рис. 247

ni = (-z~(xi; Yi)i -z~(xi; Yi); 1).

Следовательно,

1

422

Равенство (57.4) принимает вид

дТi = J1+z~2 (xi;Yi) + z~2 (xi; Yi)дui.

В правой части формулы (57.2) заменим дSi (учитывая (57.З)) на по­ лученное выражение для лтi, а Zi заменим на z(Xii Yi)· Поэтому, пе­ реходя к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра si (а следовательно, и O'i), получаем формулу

выражающую интеграл по поверхности S через двойной интеграл по

проекции S на плоскость Оху.

Отметим, что если поверхность S задана уравнением вида у

= у(х; z) или х = х(у; z), то аналогично получим:

JJ f(x;y;z)ds= JJ f(x;y(x;z);z)·J1+y~2 +y~2 dxdz

плоскости 4х+Зу+2z-4 =О, расположенной в I октанте (см. рис. 248).

Q Решение: Запишем уравнение плоскости в виде z = 2 - 2х - ~У· Находим zx' = -2, zy' =-~.По формуле (57.5) имеем:

1 ~[j(х-Зу+4-4х-Зу)· j1 +4 + ~dxdy~

423

где S - часть цилиндрической поверхности х = V!7, отсеченной

плоскостями z =О, z = 2 (см. рис. 249).

Q Решение: Воспользуемся формулой (57.6). Поскольку ху'

= -~, Xz 1 =0, ТО

v'l -y2

•

424

57.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла

1 рода

Приведем некоторые примеры применения поверхностного инте­ грала 1 рода.

Площадь поверхности

Если поверхность S задана уравнением z = z (х; у), а ее проекция на плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), z"'(x;y) и zy'(x;y) -

непрерывные функции, то ее площадь S вычисляется по формуле

S= /! ds, s

или S= JJ J1 + Zx' 2 + Zy 12 dxdy.

D

Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления

массы, координаг центра масс, моментов инерции материальных по­

верхностей с известной поверхностной плотностью распределения мас­

сы 'У= -у(х; у; z). Все эти величины определяются одним и тем же спо­

собом: данную область разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой области деления упрощающие задачу предположе­ ния; находят приближенное значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном измельчении области деления. Проиллю­ стрируем описанный способ на примере определения массы материаль­

ной поверхности.

Масса поверхности

Пусть плотность распределения массы материальной поверхности

есть 'У= -у(х; у; z). Для нахождения массы поверхности:

1.Разбиваем поверхность S на п частей S" i = 1, 2, ... , п, площадь которой обозначим дS,.

2.Берем произвольную точку М,(х,; у,; z,) в каждой области S,.

Предполагаем, что в пределах области S, плотность постоянна и равна значению ее в точке М,.

3.Масса m, области S, мало отличается от массы -у(х,; у,; z,)дS,

фиктивной однородной области с постоянной плотностью

'У= -у(х,; у,; z,).

n

4. Суммируя m, по всей области, получаем: т ~ L -у(х,; у,; z,)дS"

i=l

5. За точное значение массы материальной поверхности S принима-

ется предел, к которому стремится полученное приближенное значение

425

при стремлении к нулю диаметров областей S;, т. е.

s

Моменты, центр тяжести поверхности

Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты

инерции материальной поверхности S находятся по соотв<'Тствующим

Пример 57.3. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой

точке поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от

радиуса, перпендикулярного основанию полусферы.

О Решение: На рисунке 250 изображена полусфера радиуса R. Ее

426

Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки r = R sin t:

Поверхностный интеграл П рода строится по образцу криволиней­ ного интегра.11а П рода, где направленную кривую разJ1агали на элемен­ ты и 11роектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости

от того, совпада.110 ли се направление с направлением оси или н<>т.

~Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является

плоскость, эллипсоид, любая поверхность, "Jадаваемая урав~юни­

ем z = f(x;y), где f(x;y), fx' и fy 1 - функции, непрерывные в неко­

торой области D плоскости Оху и т. д.). После обхода такой понерх­

ности, не персс<'кая ее границы, направление нормали к ней не меня­

ется. Примером оdносторон:н,еii, поверхности является так называемый

лист Мебиуса, получающийся при склсиnании сторон АВ и CD пря­

моугольника АБСD так, что точка А совмещается с точкой С, а В -

с D (см. рис. 251).

:..........___________:t=:: ;::з

Рис. 251

Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности

S в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Вы­ бранную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ориентирована) разбиваем на части Si, где i = 1, 2, ... , п, и проекти­ руем их на координатные плоскости. При этом площадь проекции Ли,

берем со знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности,

или, что то же самое, если нормаль n к выбранной стороне поверхно­

сти составляет с осью Oz острый угол (см. рис. 252, а), т. е. cos'Y, >О; со знаком «минус», если выбрана нижняя сторона поверхности (или cos'Y, <О) (см. рис. 252, б). В этом случае интегральная сумма имеет

i=l

427

существует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части

Si и от выбора точек Mi Е Si, называется nоверхностним интегралом II рода (по координатам) от функции /(х; у; z) по переменным х и у по

выбранной стороне поверхности и обозначается

jj /(х; у; z) dx dy. s

Итак,

n

11 f(x;y;z)dxdy = l~ l:Лxi;Yi;zi)дai.

Аналогично определяются поверхностные интегралы 11 рода по пе­

ременным у и z и z и х:

Общим видом поверхностного интеграла П рода служит интеграл

// Р(х;у; z) dy dz + Q(x; у; z) dz dx + R(x; у; z) dx dy s

(= JJ Pdydz + JJQdzdx + JJ Rdxdy), s s s

где Р, Q, R - непрермвные функции, определенные в точках двусто­ ронней поверхности S.

428

Отметим, что если 8 - замкнутая поверхность, то поверхностный

интеграл по внешней стороне ее обозначается ff, по внутренней Н.

Из определения поверхностного интеграла П рода вытекают сле-

дующие его свойства:

1. Поверхностный интеграл П рода изменяет знак при перемене

стороны поверхности.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного

интеграла.

3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соот­

ветствующих интегралов от слагаемых.

4. Поверхностный интеграл П рода по всей поверхности 8 = 8 1 +82 равен сумме интегралов по ее частям 8 1 и S2 (аддитивное свойство),

если 8 1 и 8 2 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.

5. Если S1 , S2 , S3 - цилиндрические поверхности с образующими, параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то

jj R(x;y;z)dxdy == jj P(x;y;z)dydz = jj Q(x;y;z)dxdz ==О.

58.2. Вычисление поверхностного интеграла 11 роАа

Вычисление поверхностного интеграла П рода сводится к вычисле­

нию двойного интегра.па.

Пусть функция R(x; у; z) непрерывна во всех точках поверхности

S, заданной уравнением z == z(x;y), где z(x;y) -- непрерывная функ­ ция в замкнутой области D (или Dж11) - проекции поверхности 8 на

плоскость Оху.

Выберем ту сторону поверхности 8, где нормаль к ней образует с

Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции

R(x; у; z(x; у)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равен­ стве (58.2) при Л --+ О, получаем формулу

выражающую поверхностный интеграл П рода по переменным х и у че­ рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю,

429