![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1 Лекция 1. Понятие моделирования. Цели моделирования
- •2 Лекция 2. Основные термины в математическом моделировании. Виды математических моделей
- •2.1 Основные термины в математическом моделировании
- •2.2. Основные виды математических моделей
- •3 Лекция 3. Этапы процесса моделирования. Общие принципы построения моделей
- •3.1 Этапы процесса моделирования
- •3.2 Общие принципы построения моделей
- •4 Лекция 4. Аналитические методы определения характеристик объектов
- •4.1 Основные уравнения динамики
- •4.2 Упрощение уравнений динамики
- •4.3 Линеаризация уравнений
- •5 Лекция 5. Аналитические методы моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •6 Лекция 6. Примеры моделирования объектов с сосредоточенными параметрами
- •7 Лекция 7. Объекты с сосредоточенными параметрами. Динамика теплообменных процессов
- •8 Лекция 8. Аналитические методы определения характеристик тепловых объектов
- •9 Лекция 9. Моделирование объектов с распределенными параметрами
- •10 Лекция 10. Общие сведения о проблеме идентификации
- •10.1 Основные понятия
- •10.2 Классификация методов идентификации
- •11 Лекция 11. Постановка задачи идентификации
- •11.1 Объект идентификации
- •11.2 Постановка задачи идентификации
- •12 Лекция 12. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •12.1 Прямые методы определения динамических характеристик
- •12.2 Идентификация с помощью переходной функции
- •13 Лекция 13. Идентификация линейных динамических объектов. Прямые методы
- •13.1 Графическая идентификация с помощью переходной функции процессов второго порядка
- •13.2 Графическая идентификация с помощью импульсной переходной функции
- •13.3 Идентификация с помощью частотной характеристики
- •14 Лекция 14. Параметрическая идентификация линейных объектов
- •14.1 Статические детерминированные линейные модели
- •14.2 Динамические детерминированные модели
- •15 Лекция 15. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Корреляционные функции
- •15.1 Общий подход к определению непараметрической модели
- •15.2 Определение корреляционных функций сигналов
- •16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Уравнение Винера-Хопфа
- •16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции
- •16.2 Алгебраический метод решения уравнения Винера-Хопфа
- •17 Лекция 17. Методы идентификации, основанные на
- •17.1 Краткие сведения об аппроксимации функций
- •17.2 Сглаживание дискретных значений импульсной переходной функции
- •17.3 Метод идентификации, основанный на предварительной аппроксимации импульсной переходной функции
- •18 Лекция 18. Методы идентификации, основанные на аппроксимации характеристик объектов и сигналов
- •18.1 Метод идентификации, основанный на совместной аппроксимации импульсной переходной и корреляционных функций
- •18.2 Метод идентификации, основанный на аппроксимации сигналов
- •19 Лекция 19. Идентификация нелинейных объектов
- •19.1 Особенности идентификации нелинейных динамических объектов
- •19.2 Методы идентификации, основанные на линеаризации характеристик объектов
- •19.3 Идентификация нелинейных функций априорно известного вида
- •19.4 Идентификация объекта с нелинейностями общего вида
- •20 Лекция 20. Алгоритмы предварительной обработки и оценки идентичности
- •20.1 Алгоритмы оценки стационарности и линейности объекта
- •20.2 Количественная оценка степени идентичности модели реальному объекту
- •Список литературы
16 Лекция 16. Непараметрическая идентификация линейных динамических объектов. Уравнение Винера-Хопфа
Содержание лекции:
- непараметрическая идентификация линейных динамических объектов.
Цель лекции:
- изучить методынепараметрической идентификации линейных динамических объектов.
16.1 Уравнение Винера-Хопфа для определения импульсной переходной функции
Для объекта с одним входом и одним выходом, описываемого линейным уравнением с постоянными коэффициентами, входное воздействие x(t) и реакция y(t) связаны уравнением свертки
(16.1)
x(t) = 0 при t <0, y(t) =v(t)+εy(t), x(t) = u(t)+εx(t), v(t) и u(t) – истинные значения сигналов, εx(t), εy(t) - помехи, возникающие при эксперименте.
Определение импульсной переходной функции непосредственно из уравнения свертки нежелательно в силу следующих причин: интегральные уравнения вида (16.1) являются уравнения Вольтерра (первого или второго рода), которые плохо обусловлены и для получения корректного решения необходимо применение специальных методов регуляризации. Кроме того, в результате измерений значения случайных процессов на входе и выходе объекта получаются с большими погрешностями, которые необходимо сгладить.
При стационарном случайном возмущении исходным уравнением для получения статистическим методом импульсной переходной функции является уравнение, аналогичное (16.1), но связывающее корреляционные функции. Выведем это уравнение.
Автокорреляционная функция входа
(16.2)
И взаимно-корреляционная функция входа и выхода
(16.3)
Будем считать, что корреляции помех во входах и выходах отсутствуют, помехиεx(t), εy(t) независимы и являются белым шумом. Тогда можно не считаться с наличием помех измерений, то есть Rxx(τ) ≈ Ruu(τ),Rxy(τ) ≈ Ruv(τ).
Ради этого и рассматривается корреляционный подход, который позволяет минимизировать влияние помех. Напомним, что мы ищем оператор объекта по минимуму среднеквадратичного отклонения, которое является математическим ожиданием функции потерь. Корреляционная функция – тоже второй центральный момент.
Имеем выражение (16.3), но y(t) связан сx(t) уравнением (16.1):
Отсюда
(16.4)
- уравнение Винера-Хопфа.
Это
уравнение можно интерпретировать как
уравнение (16.1), если рассматривать Rxx(t)
как входное воздействие, а Ryx(t)
- как реакцию. Идентификация сводится
к решению уравнения (16.4) в промежутке
[0,T].
Но так как g(t)
– затухающая функция, то есть при
то,
начиная с некоторого момента времени Tg ее
значения неинформативны. Обычно Tg определяют
до идентификации. Например, можно
определить время TR,
начиная с которого |R(τ)|<=
0.05Rmax . ЭтоTR различно
для Rxx(t)
и Ryx(t)
. Но так как нас интересуют динамические
свойства объекта, а они отражаются
в Ryx(t)
, тоTR определяют
поRyx(t).
Таким образом, задача определения динамических характеристик разбивается на следующие этапы:
1. Запись случайных процессов на входе и выходе объекта.
2. Вычисление корреляционной функции входного сигнала и взаимно-корреляционной функции входного и выходного сигналов.
3. Определение параметра TR.
4. Решение интегрального уравнения (16.4).
Итак, привели задачу определения импульсной переходной функции к решению уравнения Винера-Хопфа. Рассмотрим методы решения уравнения Винера-Хопфа.