7.15. Уравнение Бернулли

Прежде чем рассмотреть уравнение Бернулли, введем несколько определений и понятий.

Воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения, называется идеальной.

Линиями тока называются такие линии касательные, к которым совпадают с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениямиS₁ иS₂по которой слева направо течет жидкость (рис. 7.18). Пусть в месте сеченияS₁скорость течения равнаv_1, давлениер₁и высота, на которой это сечение расположено,h₁. Аналогично, в месте сеченияS₂скорость теченияv₂,давлениер₂и высота сеченияh₂.

За малый промежуток времени tжидкость перемещается от сеченийS₁иS₂к сечениями.

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии Е₂ – Е₁идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работеАвнешних сил по перемещению массыmжидкости:

Е₂ – Е₁ = А , (7.54)

где Е₁иЕ₂– полные энергии жидкости массойmв местах сеченийS₁иS₂соответственно.

С другой стороны, А– это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениямиS₁иS₂, за рассматриваемый малый промежуток времениt. Для перенесения массыmотS₁дожидкость должна переместиться на расстояниеl₁ = v₁tи отS₂дона расстояниеl₂ =v₂t. Отметим, чтоl₁иl₂ настолько малы, что всем точкам объемов, закрашенным на рис. 7.18, приписывают постоянные значения скоростиv, давленияри высотыh. Следовательно,

А = F₁ l₁ + F₂ l₂, (7.55)

где F₁ = p₁S₁иF₂ =  p₂S₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противоположную течению жидкости, см. рис. 7.18).

Полные энергии Е₁иЕ₂складываются из кинетической и потенциальной энергий массыmжидкости:

, (7.56)

. (7.57)

Подставляя (7.56) и (7.57) в (7.54) и приравнивая (7.54) и (7.55), получим

+р₁S₁v₁t=+р₂S₂v₂t(7.58)

Объем несжимаемой жидкости остается постоянным, т.е. V = S₁v₁t = S₂v₂t.

Разделив (7.58) на V, получим

,

где плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

. (7.59)

Выражение (7.59) называется уравнением Бернулли, и оно является выражением закона сохранения энергии применительно к установившемуся течению идеальной жидкости.

Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Величина рв формуле (7.59) называется статическим давлением(давление жидкости на поверхности обтекаемого ею тела),динамическим давлением,gh–гидростатическим давлением.

Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) выражение (7.59) принимает вид

, (7.60)

где называетсяполным давлением.