5.2.2. Динамические характеристики гармонического колебания

Сила прямо пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия, т.е. F = kx. Подставив в это выражение значения k и x из (5.2) и (5.4), получим:

F = Acos (₀ t +) = ma .

Как видно из этого выражения, период и фаза силы совпадает с периодом и фазой ускорения.

Квазиупругая сила является консервативной, поэтому полная энергия гармонического колебания должна оставаться постоянной. В процессе колебаний происходит превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем в моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия Е состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего наибольшего значения Е_п,max :

E = Е_п,max = . (5.11)

При прохождении же системы через положение равновесия полная энергия состоит лишь из кинетической энергии, которая в эти моменты достигает своего наибольшего значения Е_к,max :

E = E_к,max= . (5.12)

Выясним, как изменяются со временем кинетическая и потенциальная энергии гармонического колебания. Кинетическая энергия (с учетом выражения (5.9))

E_к = sin² (₀ t + ) . (5.13)

Потенциальная энергия

Е_п = cos² (₀ t + ) . (5.14)

Складывая (5.13) с (5.14) и принимая во внимание, что , получим формулу для полной энергии:

. (5.15)

5.3. Маятник

В физике под маятником понимают твердое тело, совершающее под действием квазиупругой силы колебания вокруг неподвижной точки или оси. Наиболее часто рассматривают математический и физический маятники.

5.3.1. Математический маятник

Математическим маятником называют идеализированную систему, состоящую из невесомой и нерастяжимой нити, на которой подвешено тело масса которого сосредоточена в одной точке, и которое совершает колебательное движение под действием силы тяжести.Достаточно хорошим приближением к математическому маятнику служит небольшой тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити.

Выведем уравнение движения математического маятника. Отклонение его от положения равновесия будем характеризовать углом , образованным нитью с вертикалью (рис. 5.3). При отклонении маятника от положения равновесия возникает вращательный момент М, равный по величине mgl sin  (m – масса, l – длина маятника). Этот момент направлен так, что стремится вернуть маятник в положение равновесия, и его действие аналогично действию квазиупругой силы. Поэтому так же, как смещению и квазиупругой силе, проекциям момента М и углового смещения  на ось z нужно приписывать противоположные знаки. Следовательно, выражение для вращательного момента имеет вид:

M = mgl sin  . (5.16)

Запишем для маятника уравнение динамики вращательного движения. Обозначим угловое ускорение через . Учитывая, что момент инерции маятникаI = ml² (момент инерции для материальной точки), получим

ml² =  mgl sin  (5.17)

Разделив обе части уравнения на (ml) и введя обозначение

, (5.18)

выражение (5.16) можно переписать в виде

. (5.19)

Ограничимся рассмотрением малых колебаний, тогда можно положить

sin. (5.20)

С учетом (5.20) выражение (5.19) примет вид

. (5.21)

Уравнение (5.21) представляет собой дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Его решение имеет вид

 = A cos (₀ t +) . (5.22)

Следовательно, при малых колебаниях угловое смещение математического маятника изменяется со временем по гармоническому закону.

Как следует из (5.18), частота колебаний математического маятника зависит только от ускорения свободного падения и от длины маятника и не зависит от его массы. Формула (5.5) с учетом (5.18) дает выражение для периода колебаний математического маятника:

. (5.23)