5.4.3. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим результат сложения двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одной частоты ₀, происходящих вдоль координатных осей x и y. Если возбудить оба колебания, то материальная точка будет двигаться по некоторой, вообще говоря, криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз обоих колебаний.

Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза первого колебания была равна нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x = A cos ₀ t, y = B cos (₀ t + ) , (5.37)

где   разность фаз обоих колебаний.

Выражение (5.37) представляет собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (5.37) параметр t. Из первого уравнения следует, что

. (5.38)

Следовательно, sin ₀ t = . (5.39)

Теперь развернем косинус во втором из уравнений (5.37) по формуле для косинуса суммы, подставляя при этом вместо cos ₀ t и sin ₀ t их значения (5.38) и (5.39). В результате получим

. (5.40)

Последнее уравнение после несложных преобразований можно привести к виду

+ = sin²  . (5.41)

Из аналитической геометрии известно, что уравнение (5.41) есть уравнение эллипса, оси которого ориентированы относительно координатных осей x и y произвольно. Ориентация эллипса и величина его полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд А и В и разности фаз .

Исследуем форму траектории в некоторых частных случаях:

1. Разность фаз равна нулю, т.е.  = 0. В этом случае уравнение (5.41) принимает вид

,

откуда получается уравнение прямой

. (5.42)

Колеблющаяся точка перемещается по этой прямой, причем расстояние ее от начала координат . Подставляя сюда выражение (5.37) дляx и y и учитывая, что  = 0, получим закон, по которому r изменяется со временем:

. (5.43)

Из (5.43) следует, что результирующее движение является гармоническим колебанием вдоль прямой с частотой ₀ и амплитудой, равной (рис. 5.8).

2. Разность фаз = . Уравнение (5.41) имеет вид

,

откуда получается, что результирующее движение пред­ставляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 5.9.)

.

3. При  =  /2 уравнение (5.41) переходит в уравнение эллипса

, (5.44)

приведенного к координатным осям, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд эллипс вырождается в окружность.

Случаи иотличаются направлением движения по эллипсу или по окружности. Если приуравнение (5.41) можно записать следующим образом:

x =A cos ₀ t, y =  B sin ₀ t , (5.45)

то в момент t = 0 тело находится в точке 1 (рис. 5.10). В последующие моменты времени координата x уменьшается, а координата y становится отрицательной. Следовательно, движение совершается по часовой стрелке.

При уравнения колебания имеют вид

x = A cos ₀ t, y = B sin ₀ t . (5.46)

Отсюда можно заключить, что движение происходит против часовой стрелки.

Из сказанного следует, что равномерное движение по окружности радиуса R с угловой скоростью ₀ может быть представлено как сумма двух взаимно перпендикулярных колебаний:

x = R cos ₀ t, y =  R sin ₀ t , (5.47)

(знак «+» в выражении для y соответствует движению против часовой стрелки, знак «» – движению по часовой стрелке).

В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на очень малую величину ₀, их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с изменяющейся разностью фаз. В самом деле, уравнения колебаний можно представить следующим образом:

x = A cos ₀ t ,

y= B cos [₀ t+(₀ t +)] , (5.48)

и выражение ₀t+ рассматривать как разность фаз, медленно изменяющуюся со временем по линейному закону.

Результирующее движение в этом случае происходит по медленно видоизменяющейся кривой, которая последовательно принимает форму, отвечающую всем значениям разности фаз от  до +.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего дви­жения имеет вид довольно слож­ных кривых, называемых фи­гурами Лиссажу. На рис. 5.11 показана одна из прос­тейших траекторий, получающа­я­ся при отношении частот 1:2 и разности фаз, равной /2.

Уравнения колебаний имеют сле­дующий вид

X = A cos ₀ t, y = B cos (2₀ t+/2).

За то время, пока вдоль оси x точ­ка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое, вдоль оси y, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое положение.

При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 5.12), по которой точка движется туда и обратно.

Чем ближе к единице дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 5.13. для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фаз, равной /2.