5.4.1. Сложение колебаний одной частоты, направленных вдоль одной прямой

Пусть тело участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одной частоты ₀ .Смещение х колеблющегося тела будет суммой смещений х₁ и х₂, которые запишутся следующим образом:

х₁ = А₁ cos (₀t +₁),

x₂ = A₂ cos (₀t+ ₂). (5.31)

Представим оба колебания с помощью векторов А₁ и А₂ (рис. 5.6). Построим по правилам сложения векторов результирующий вектор А. Проекция этого вектора на ось х равна сумме проекций слагаемых векторов:

х = х₁ + х₂ .

Следовательно, вектор А представляет собой результирующее колебание. Этот вектор вращается с той же угловой скоростью ₀, что и векторы А₁ и А₂, так что результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой ₀, амплитудой А и начальной фазой . Из построения видно, что

А² =А2 А₁А₂ cos cos () , (5.32)

. (5.33)

Проанализируем выражение (5.32) для амплитуды:

1. Если разность фаз обоих ко­ле­­ба­ний ₂  ₁ = 0, то амплитуда ре­зуль­тирующего колебания А = А₁ + А₂ .

2. Если ₂  ₁ = , т.е. оба колебания находятся в противофазе, то.

Если частоты колебаний х₁ и х₂ неодинаковы, векторы А₁ и А₂ будут вращаться с различной скоростью. В этом случае результирующий вектор А пульсирует по величине и вращается с непостоянной скоростью. Результирующим движением в этом случае будет не гармоническое колебание, а некоторый сложный процесс.

5.4.2. Биения

Особый интерес представляет случай, когда два складываемых гармонических колебания мало отличаются по частоте. Результирующее движение при этих условиях можно рассматривать как гармонические колебания с пульсирующей амплитудой. Такие колебания называются биениями.

Обозначим частоту одного из колебаний через , а частоту второго колебания через  + . По условию  << . Амплитуды обоих колебаний будем полагать одинаковыми и равными А. Допустим, что начальные фазы обоих колебаний равны нулю, тогда уравнения колебаний будут иметь следующий вид:

x₁ = A cos  t , x₂ = A cos ( + ) t . (5.34)

Складывая эти выражения и применяя тригонометрическую формулу для суммы косинусов, получим

x = x₁ + x₂ = (2A cos ) cos t (5.35)

(во втором множителе пренебрегаем членом  по сравнению с ). График функции (5.35) представлен на рис. 5.7, а. Изображен случай / = 10.

З

Рис. 5.7.

аключенный в скобки множитель в формуле (5.35) изменяется гораздо медленнее, чем второй множитель. Вследствие условия >>  за то время, за которое множитель cos t совершает несколько полных колебаний, множитель, стоящий в скобках, почти не изменится. Это дает нам основание рассматривать колебание (5.35) как гармоническое колебание частоты , амплитуда которого изменяется по некоторому периодическому закону. График амплитуды показан на рис. 5.7,б. Аналитическое выражение амплитуды, очевидно, имеет вид

Амплитуда = . (5.36)

Выражение (5.36) является периодической функцией с частотой, в 2 раза превышающей частоту выражения, стоящего под знаком модуля, т.е. с частотой . Таким образом, частота пульсаций амплитуды – ее называют частотой биения – равна разности частот складываемых колебаний.