6.5.Интерференция волн

Согласованное протекание во времени и пространстве нескольких колебательных или волновых процессов связывают с понятием когерентности. Волны называются когерентными, если разность их фаз в каждой точке пространства остается постоянной во времени.При наложении двух когерентных волн в разных его точках получается усиление или ослабление результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами этих волн. Это явление называется интерференцией волн.

Пусть уравнения двух когерентных сферических волн, накладывающихся друг на друга, заданы в виде

₁ = cos (t – kr₁ + ₁), ₂ = cos (t – kr₂ + ₂),

где r₁ иr₂ – расстояния от источников волн до рассматриваемой точки,k– волновое число;₁и₂– начальные фазы обеих накладывающихся сферических волн. Безразмерная амплитуда результирующей волны

.

Так как для когерентных источников разность начальных фаз (₁ ₂) = =const, то результат наложения двух волн в различных точках зависит от величины=r₁ – r₂, называемойразностью хода волн. В точках, где

k(r₁ – r₂) – (₁ –₂) =2m(m= 0, 1, 2, …), (6.18)

наблюдается интерференционный максимум: безразмерная амплитуда ре­зуль­тирующего колебания

.

Условие (6.18) называется условием интерференционного мак­си­мума.

В точках, где

k(r₁  r₂) – (₁ ₂) =2(m+ 1)(m= 0, 1, 2, …), (6.19)

наблюдается интерференционный минимум: амплитуда результирующего колебания

,

m называется соответственнопорядком интерференционного максимума или минимума.

6.6. Стоячие волны

Особым случаем интерференции являются стоячие волны – это волны, образующиеся при наложении двух бегущих волн, распространяющихся навстречу друг другу с одинаковыми частотами и амплитудами.

Для вывода уравнения стоячей волны предположим, что две плоские волны распространяются навстречу друг другу вдоль оси хв среде без затухания, причем обе волны характеризуются одинаковыми частотами и амплитудами. Кроме того, начало координат выберем в точке, в которой обе волны имеют одинаковую фазу, а отсчет времени начнем с момента, когда фазы обеих волн равны нулю. Тогда соответственно уравнения волны, распростра­ня­ю­щейся вдоль положительного направления осих, и волны, распро­стра­ня­ющейся ей навстречу, будут иметь вид

₁ = A cos (t – kx),

(6.20)

₂ = A cos (t + kx).

Сложив эти уравнения и учитывая, что k = 2/, получим

 = ₁+₂ = 2Acos kx cos t = 2A cos (2x/) cos t . (6.21)

Выражение (6.21) представляет собой уравнение стоячей волны.Из этого уравнения следует, что в каждой точке стоячей волны происходят колебания одной и той же частотыс амплитудойА_ст =2А cos (2x/), зависящей от координатыхрассматриваемой точки.

В точках среды, где

2x/=m(m = 0, 1, 2, …) , (6.22)

амплитуда колебаний достигает максимального значения, равного 2А. В точках среды, где

2x/=(m+/2) (m = 0, 1, 2, …) (6.23)

амплитуда колебаний обращается в нуль.

Точки, в которых амплитуда колебаний максимальна (А_ст = 2А), называются пучностями стоячей волны, а точки, в которых амплитуда колебаний равна нулю (А_ст = 0),  узлами стоячей волны. Точки среды, находящихся в узлах, колебаний не совершают.

Из выражений (6.22) и (6.23) получим соответственно координаты пучностей и узлов:

(m = 0, 1, 2, …) ; (6.24)

(m = 0, 1, 2, …) . (6.25)

Из формул (6.24) и (6.25) следует, что расстояния между двумя соседними пучностями и двумя соседними узлами одинаковы и равны /2. Расстояние между соседними пучностью и узлом стоячей волны равно/4.

В отличие от бегущей волны, все точки которой совершают колебания с одинаковой амплитудой, но с запаздыванием по фазе, все точки стоячей волны между двумя узлами колеблются с разными амплитудами, с одинаковыми фазами. При переходе через узел множитель 2A cos (2x/) меняет свой знак, поэтому фаза колебаний по разные стороны от узла отличается на, т.е. точки, лежащие по разные стороны от узла, колеблются в противофазе. Образование стоячих волн наблюдается при интерференции бегущей и отраженной волн. Что будет ли на границе отраженияузел или пучность, зависит от соотношения плотностей сред. Если среда, от которой происходит отражение, менее плотная, то в месте отражения получается пучность (рис. 6.3,а), если более плотная – узел (рис. 6.3,б). В случае стоячей волны переноса энергии не наблюдается.

Вопросы для самоконтроля

1. Какое движение называется волновым?

2. Какие волны называются продольными, поперечными?

3. Каковы физические условия возникновения продольных и поперечных волн?

4. Что такое фронт волны?

5. Что называется волновой поверхностью?

6. Какими величинами характеризуются волны в упругой среде?

7. Какая характеристика называется длиной волны?

8. Какими соотношениями длина волны связана со скоростью распро­стра­нения волны и частотой?

9. Запишите уравнение плоской незатухающей бегущей волны.

10. Запишите волновое уравнение.

11. Каков физический смысл величин, входящих в уравнение плоской незатухающей бегущей волны?

12. Какая величина называется вектором Умова (вектором плотности потока энергии)?