7.9. Число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул

До сих пор мы предполагали, что молекулы газа – материальные точки, т.е. имеют исчезающее малые размеры. Это позволило не учитывать соударения между хаотически движущимися молекулами. В действительности молекулы имеют конечные размеры и непрерывно соударяются друг с другом. Между двумя последовательными столкновениями молекулы движутся прямолинейно и равномерно, проходя при этом расстояния l, называемые длинами свободных пробегов. Так как эти расстояния могут быть самыми разными, вводится понятиесредней длины свободного пробега .

Чтобы найти , будем считать, что молекулы газа представляют собой шарики некоторого диаметраd. Подdпонимают то наименьшее расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул,эффективный диаметр молекулы(рис. 7.11).

Площадь круга диаметром d=d²называетсяэффективным сечением молекулы.

Средний путь, проходимый молекулой за единицу времени, численно равенсредней скорости ее движения.

Если среднее число столкновений, испытываемых молекулой за единицу времени, обозначить через , тосредняя длина свободного пробегазаписывается в виде

. (7.28)

Подсчитаем в предположении, что молекулыупругие шарики диаметромd; все молекулы, кроме рассматриваемой нами, неподвижны. Вследствие непрерывных столкновений молекула движется по некоторой ломаной линии, при этом за единицу времени она столкнется со всеми молекулами, лежащими внутри коленчатого цилиндра диаметром 2dи длиной(рис. 7.12). Умножив объем этого цилиндраd²на концентрацию молекулn, найдем:

= d ² n . (7.29)

Если учесть, что в движении участвуют все молекулы, то число столкновений определяется средней скоростью движения молекул по от- ношению друг к другу (относительной скоростью), и это приводит к увеличению числа столкновений в раз или

=d ² n . (7.30)

Подставив (7.30) в (7.28), получим среднюю длину свободного пробега

(7.31)

или при определении через эффективное сечение молекул

. (7.32)

Так как , то формулу (7.31) можно записать в виде:

. (7.33)

При некотором давлении средняя длина свободного пробега может оказаться равной или даже больше линейных размеров сосуда.Такое состояние газа, при котором больше размеров сосуда или равна им, называется вакуумом. В состоянии вакуума между молекулами газа практически отсутствуют столкновения, хотя концентрация молекул при этом весьма значительна (прир= 10^3мм рт. ст.n10¹⁹ м^3 ).

7.10. Явления переноса в газах

При отсутствии равновесия в газе всегда имеется пространственная неоднородность тех или иных его параметров – плотности, давления, температуры. Если такой газ предоставить самому себе, то хаотическое движение молекул постепенно выравнивает эти неоднородности и газ приходит в состояние термодинамического равновесия.

Явления выравнивания сопровождаются направленным переносом ряда физических величин: массы, импульса, энергии, электрического заряда и т. д. и поэтому называютявлениями переноса.

К явлениям переноса относятся диффузия (обусловленная переносом массы), теплопроводность (обусловленная переносом энергии) и внутреннее трение или вязкость (обусловленная переносом импульса). В основе всех явлений переноса лежит один и тот же следующий механизм: беспорядочность теплового движения молекул газа, непрерывные соударения между ними приводят к постоянному перемешиванию частиц и изменению их скоростей и энергий. Если в газе существует пространственная неоднородность (градиент) плотности, температуры, или скорости упорядоченного перемещения отдельных слоев газа, то тепловое движение молекул выравнивает эти неоднородности. Таким образом, явления переноса возникают вследствие наложения хаотического движения молекул окружающей среды на упорядоченное перемещение молекул в отдельных слоях газа.

Диффузия. Диффузия в газе – это процесс перемешивания молекул, сопровождающийся переносом массы из мест с большей концентрацией (плотностью) данных молекул в места с меньшей концентрацией этих молекул. Таким образом, в процессе диффузии переносится масса, а изменяющейся величиной является плотность газа .

Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону Фика:

, (7.34)

где J_m – плотность потока массы – величина, определяемая массой вещества, диффундирующего в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x:

;

D– коэффициент диффузии;градиент плотности, равный скорости изменения плотности на единицу длины х в направлении нормали к этой площадке.

Знак минус показывает, что перенос массы происходит в направлении убывания плотности (поэтому знаки J_m ипротивоположны). Коэффициент диффузииDчисленно равен плотности потока массы при единичном градиенте плотности. Согласно кинетической теории газов

. (7.35)

Теплопроводность.Если в одной области газа средняя кинетическая энергия молекул больше, чем в другой, то с течением времени вследствие постоянных столкновений молекул происходит процесс выравнивания средних кинетических энергий молекул, т.е., иными словами, выравнивание температур.

Перенос энергии в форме теплоты подчиняется закону Фурье:

, (7.36)

где J_E–плотность теплового потока – величина, определяемая энергией, переносимой в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную оси x:

;

  коэффициент теплопроводности;  градиент температуры, равный изменению температуры на единицу длиныxв направлении нормали к этой площадке. Знак минус показывает, что при теплопроводности тепловая энергия переносится в направлении убывания температуры. Коэффициент теплопроводности численно равен плотности теплового потока при единичном градиенте температуры.

Можно показать, что

, (7.37)

где c_V– удельная теплоемкость газа при постоянном объеме (количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг газа на 1 К при постоянном объеме);плотность газа;средняя скорость теплового движения молекул;средняя длина свободного пробега.

Внутреннее трение (вязкость). Вязкость – это возникновение сил трения между слоями газа или жидкости, перемещающимися параллельно друг другу с различными скоростями.

С точки зрения молекулярно-кинетической теории газов причиной внутреннего трения является наложение упорядоченного движения слоев газа с различными скоростями (рис. 7.13) на хаотическое тепловое движение молекул.

Рассмотрим два слоя газа, движущиеся параллельно друг другу со скоростями v₁иv₂, причемv₁ < v₂. Благодаря тепловому движению молекулы переходят из слоя 1, движущегося со скоростьюv₁, в слой 2, движущейся со скоростьюv₂, (см. рис. 7.13). При этом молекулы из слоя 1 переносят в слой 2 импульсmv₁своего упорядоченного движения. Так какv₁ < v₂, то молекулы из слоя 1, соударяясь с молекулами слоя 2, отбирают у них часть импульса и замедляют движение слоя 1. Наоборот, при попадании молекул из слоя 2 в слой 1 они отдают часть импульса молекулам слоя 1 и ускоряют движение этого слоя.

Таким образом, со стороны слоя, движущегося быстрее, на более медленно движущийся слой действует ускоряющая сила. Наоборот, медленно перемещающийся слой тормозит более быстро движущийся слой. Силы трения, которые при этом возникают, направлены по касательной к поверхности соприкосновения слоев.

Явление вязкости сопровождается переносом импульса направленного движения из более быстрых слоев в более медленные в направлении z, перпендикулярном направлениюxдвижения слов газа.

Сила внутреннего трения описывается законом Ньютона:

, (7.38)

где коэффициент динамической вязкости;градиент скорости, показывающий изменение скорости в направленииx, перпендикулярном направлению движения слоев;S– площадь, на которую действует силаF.

Взаимодействие двух слоев согласно второму закону Ньютона можно рассматривать как процесс, при котором от одного слоя к другому в единицу времени передается импульс, по модулю равный действующей силе. Тогда выражение (7.38) можно представить в виде

, (7.39)

где J_p–плотность потока импульса – величина, определяемая полным импульсом, переносимым в единицу времени в положительном направлении оси x через единичную площадку, перпендикулярную этой оси:

.

Знак минус указывает, что импульс переносится в направлении убывания скорости, градиент скорости.

Динамическая вязкость численно равна плотности потока импульса при единичном градиенте скорости. Она вычисляется по формуле

. (7.40)

Из сопоставления формул (7.34), (7.36) и (7.39), описывающих явления переноса, следует, что закономерности всех явлений переноса сходны между собой.

Формулы (7.35), (7.37) и (7.40) связывают коэффициенты переноса и характеристики теплового движения молекул.

Из этих формул вытекают простые зависимости между D и:

 =  D , / ( c_V ) = 1.

Используя эти формулы, можно по найденным из опыта одним величинам определить другие.