4.4. Кинетическая энергия вращающегося тела

Если вращающееся тело в процессе движения совершает работу А_вр и при этом тормозится, изменяя угловую скорость от ω₁ до ₂ (₁ > ₂), то работа тормозящего момента силы определяется формулой (4.8), причем

M = I  = I (d/dt) .

Следовательно, изменение энергии тела можно представить в виде:

или

. (4.16)

Кинетическая энергия вращающегося тела равна половине произведения момента инерции тела на квадрат его угловой скорости.

4.5. Потенциальная энергия

Тело обладает не только энергией движения, но и энергией взаимодействия с другими телами. Однако пока тело неподвижно, запас его энергии никак не проявляется. Энергия существует скрыто, и можно говорить лишь о потенциальных возможностях этого тела передавать свою энергию другим телам.

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними.

Потенциальной энергией обладает, например, тело, поднятое над Землей, сжатая или растянутая пружина и т.д. Следует, однако, отметить, что не всякое состояние и не всякое взаимодействие может характеризоваться потенциальной энергией. Состояние взаимодействующих тел может характеризоваться потенциальной энергией, если между ними действуют консервативные силы.

В каждом конкретном случае величина потенциальной энергии зависит от характера взаимодействия и взаимного расположения тел (или частей тел). Потенциальная энергия физической системы может изменяться, если действующие силы совершают работу:

Е_п = –А = А′. (4.17)

Здесь А – работа внутренних, а А′ – работа внешних для данной системы сил. Знак «минус» показывает, что внутренние силы совершают работу за счет убыли потенциальной энергии.

Получим формулы для вычисления потенциальной энергии в двух практически важных случаях: 1 – для сил тяготения, 2 – для упругих сил.

1. Найдем работу, которую совершает сила тяготения со стороны Земли, действующая на некоторое тело при его перемещении по произвольному пути из точки 1, находящейся на высоте h₁ над поверхностью Земли, в точку 2, находящуюся на высоте h₂. Перемещение может происходить по любому пути (рис. 4.4).

Элементарная работа, совершаемая силой тяготения при бесконечно малом перемещении dr

соs  . (4.18)

Полная работа на конечном участке пути

. (4.19)

Здесь учтено, что проекция перемещения dr на направление h отрицательна и dr cos = dh.

Из уравнения (4.19) видно, что работа, совершаемая силой тяготения при изменении высоты тела над поверхностью Земли, зависит только от начального и конечного положения тела относительно Земли и не зависит от формы пути, по которому происходило перемещение из начальной точки 1 в конечную точку 2. Это означает, что силы тяготения являются консервативными.

Потенциальная энергия определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная Е_п по координатам. Поэтому потенциальную энергию тела в некотором положении выбирают нулевой, а энергию тела в других положениях отсчитывают относительно нулевого уровня. Обычно таким нулевым уровнем отсчета выбирают поверхность Земли. Тогда потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью Земли на высоту h

E_п = mgh . (4.20)

Говоря об энергии, следует иметь в виду, что она всегда характеризует систему, состоящую, по крайней мере, из двух тел, и нет смысла говорить о движении или взаимодействии данного тела, если не указано другое тело, относительно которого данное тело движется или с которым оно взаимодействует.

Как видно из формулы (4.19), работа, совершаемая силой тяготения при изменении относительного расположения тела и Земли, равна убыли потенциальной энергии этой системы. Таким образом, когда потенциальная энергия тела уменьшается, работа силы тяготения положительна, и наоборот. Сила тяжести в данной системе является внутренней.

2. Мы рассмотрели потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения различных макроскопических тел. Теперь рассмотрим потенциальную энергию, зависящую от взаимного расположения частей одного и того же тела, например от расстояния между соседними витками растянутой или сжатой пружины.

Опыт показывает, что для того чтобы сжать (или растянуть) пружину, необходимо приложить внешнюю силу. Эта сила в процессе деформации пружины совершает работу. В результате потенциальная энергия пружины увеличивается. Освобожденная от внешнего воздействия, пружина восстанавливает свою форму под действием силы упругости и совершает при этом работу.

Вычислим работу, которую совершает внешняя сила при удлинении пружины от величины х₁ до величины х₂ (х₁ < х₂).

Сила упругости пропорциональна деформации: F_{x упр} = – kx , где F_{х упр} – проекция силы упругости на ось х; k – коэффициент упругости, а знак минус указывает, что F_{х упр.} направлена в сторону, противоположную деформации х.

По третьему закону Ньютона деформирующая сила равна по модулю силе упругости и противоположно ей направлена, т. е.

F_x = – F_{x упр.} = kx .

Элементарная работа dA, совершаемая внешней силой F_x при малой деформации dx, равна

dA = F_x dx = kxdx,

а полная работа

. (4.21)

Из формулы (4.21) видно, что произведенная работа не зависит от того, каким образом произошло изменение длины пружины. Упругая сила, также как и сила тяготения, консервативна.

Принимая за нулевую потенциальную энергию недеформированной пружины (Е_п = 0 при х = 0), получаем выражение потенциальной энергии деформированной пружины в виде

Е_п,упр. = kx²/2 . (4.22)

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.